向量的数量积(二)+课件【核心知识精研精讲】高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数量积(二)1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．向量数量积的运算律1通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，可以得到数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？两个实数的乘法满足什么样的运算律？能类比到两个向量的数量积吗？提示：实数乘法满足交换律、结合律和分配律.问题1.对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a(交换律).(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).知识梳理知识梳理多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝____________(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝____________(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝________(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝__________________________2.a2＋2a·b＋b2a2－2a·b＋b2a2－b2a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a(1)a·b＝b·c推不出a＝c.(2)(a·b)c≠a(b·c).注意想一想为什么？例1(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是A.a·c－b·c＝(a－b)·cB.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C.|a|－|b|<|a－b|D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2√解析

根据数量积的分配律知A正确；数量积是否为零＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是A.a·c－b·c＝(a－b)·cB.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C.|a|－|b|<|a－b|D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2例1√√解析

∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确.故正确结论的选项是ACD.数形结合√反思感悟向量数量积和实数乘积的区别②向量的数量积不满足结合律.①由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.给出下列结论：①若a·b＝a·c，则b＝c；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2.其中正确的是________.(填序号)②解析由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确.跟踪训练1利用数量积求向量的模和向量的夹角2(1)若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°√例2如何求夹角？例2(2)已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a.①求向量a与b的夹角；解

①因为|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，所以c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，因为〈a，b〉∈[0，π]，和问题(1)求夹角有何不同？例2(2)已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a.②求|3a＋b|.利用a2＝|a|2反思感悟求解向量的模以及夹角夹角

模要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方.解设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，跟踪训练2与垂直、夹角有关的问题3例3

√垂直如何应用？本例中的条件不变，“(xa＋b)⊥b”改为xa＋b与b的夹角为锐角.求x的取值范围.解|b|＝4t(t>0)，(xa＋b)·b＝xa·b＋|b|2＝(4x＋16)t2>0，x>－4，若xa＋b＝mb，m>0，xa＝(m－1)b，∴m＝1，x＝0.此时xa＋b与b同向.∴x的取值范围为x>－4且x≠0.延伸探究解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量).反思感悟√跟踪训练3解析设a与b的夹角为θ，因为非零向量a，b满足2|a|＝|b|，且(3a＋b)⊥(a－2b)，所以(3a＋b)·(a－2b)＝0，即3a2－5a·b－2b2＝0，所以