勾股定理的逆定理

据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图。这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角。知道为什么吗？这节课我们一起来探讨这个问题，相信同学们会感兴趣的.做一做:用圆规、直尺作△ABC，使AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，如图，量一量∠C，它是90°吗？ABC543∠C是直角吗？再画一个△ABC，使它的三边长分别是5cm、12cm、13cm，这个三角形有什么特征？为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？猜想:

如果一个三角形的三边长a、b、c满足下面的关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形吗？

证明作△A’B’C’，使∠C’=90°，

A’C’=b，B’C’=a，如图（2），那么A’B’2=a2+b2.（勾股定理）又∵a2+b2=c2，（已知）∴A’B’2=c2，A’B’=c(A’B’＞0)在ABC和A’B’C’中，∵BC=a=B’C’，

CA=b=C’A’，

AB=c=A’B’，∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)ABCbca（1）A′B′C′ba（2）

∴∠C=∠C’=90°，∴△ABC是直角三角形.已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2，如图（1）.求证：∠C=90°.归纳总结:

通过上面的证明可以得到如下定理.勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.几何符号语言：如图△ABC中a2+b2=c2则△ABC是直角三角形ABCacb归纳：若两个命题的题设与结论正好相反，这两个命题叫做互逆命题。其中一个叫原命题，另一个叫它的逆命题，经证明正确的逆命题叫逆定理。例1根据下列三角形的三边a、b、c的值，判断三角形是不是直角三角形。如果是，指出哪条边所对的角是直角？（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15.解（1）∵最大边是c=17，c2=289，a2+b2=225+64=289，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.第（2）题由同学们仿照上面自己解答.小试牛刀

1、已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n＞1）.求证：△ABC为直角三角形.分析：在a、b、c三边中，哪一条边是最大的边？需要得出什么，才能证明△ABC为直角三角形？请同学们自己完成证明过程.能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.思考：除3、4、5外，再写出3组勾股数.想想看，可以怎样找？举一反三：1.判断下列三个边长组成的三角形是不是直角三角形？（1）a=2，b=3，c=4.（2）a=9，b=7，c=12.（3）a=25，b=20，c=15.2.在△ABC中，三边长a、b、c满足(a+c)(a-c)=b2，则△ABC是什么三角形？3.给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来判断课桌面的角是直角？用这种办法能判断柱子是否与地面垂直吗？学会了吗？例3某港口位于东西方向的海岸线上,“远航”号.“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里.“海天”号每小时航行12海里.它们

离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”沿

东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?pERQSRN分析：由题意画出图形。若求出两艘轮船的航向所成的角，即可知海天号的航向了。解:根据题意画出如图.PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.由远航号沿东北方向航行可知,∠QPS=45°,所以∠RPS=45°.即“海天”号沿西北方向航行.