导数与函数单调性、极(最)值

导与数单性极与值题知要：导与调的系在某个区间

f

，则函数

yf

在这个区间内单调递增；若

f

f

在这个区间内单调递减．求函

yf()

单区的骤(1)确定函数

yf()

的定义域；(2)导数

y

f

()

；(3)解不等式

f'()

，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式

f

()

，解集在定义域内的部分为减区间．求数f方是解方程f(1)如果在x附近的左侧f00(2)如果在x附近的左侧f00求函极的般骤(1)确定函数的定义域(2)求函数的导数

f

；求方程

f

的根；(4)用方程

f

的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格；(5)由

f

在方程

f

的根左右的符号，来判断

f(x)

在这个根处取极值的情况．求数

f与小的步是

求函数

f

的各极值与端点处的函数值

f

比较其最大的一个是最大值小的一个是最小值．练：．函数

f)x

3

ax

2

x，已知)

在

x

时取得极值，则a=（）A2B．C．D．函数

yx3x

的极大值为

m

，极小值为

，则

为（）A0B1．2．．三次函数

f

3

x在x

，（）A

B

C．

D．

a

13．知向量

,lnxnf(x)),//n

曲线

f(在f

处的切线与y轴直，F(x)

x

f

．k的及

F(x)

x

f

的单调区间和最大值．．已知函数

af()，其中R，且曲线f(x)点(1,4x

处的切线垂直于yx．(1)求的；(2)求函数

f()

的单调区间和极值．

．已知函数

f()

ax33

2

，

(Ra0)

．(1)求

f)

的单调区间；(2)令

g(x)

14

x

4

f(xx

有且仅有3个值点，求

a

的取值范围．例分：．已知R，数

f()

a

．(1)如果函数

(x)f

是偶函数，求

f(x)

的极大值和极小值；(2)如果函数

f(x是(

上的单调函数，求a的取值范围．．已知函数

fx)xe

x

．(1)求(2)求

f(xf(x

的单调区间；在区间[0,1]的最小值．．已知函数

f()ln(aR)

．(1)求函数

f(x

的单调区间；(2)当，求函数

f(x)在知函数

f()

x

2

其中ab

为自然对数的底数

g()

是函数

fx的导数，求

()

在区间[0,1]的最小值．．已知函数

f()

11x)x2)x(a0).3（I）求

fx

的单调区间；（II）若

fx

在[0上调递增，求a的值范围．．已知函数

f()

11x(m2mx,x(3

是常数

).（1当m时求函数

f)

的单调区间；（2若函数

fx)

在区间

(1,

上有两个极值点，求实数

m

的取值范围．．已知函数

f(x)

x

32

10图象上斜率为两条切线间的距离为，函数

g(x)f(x)a2

．（Ⅰ）若函g(x)

在x处有极值，求)

的解析式；（Ⅱ）若数g(x)

在区间[

上为增函数且

4g)

在区间[

上都成立求数m的

值范围．．已知函数

f()

13

x

3

2

)（）函数

f(x)

在

xx12

处取得极值，且

x12

，求

的值及

f(x)

的单调区间；（）

a

12

，讨论曲线

fx

与

1g()x(x2

的交点个数．知数

fx

3

2

在点处得极小值其数

f'()的x的值范围为(1,3)：（1

f()

的解析式；（2若过点

(m)

可作曲线

f(x)

的三条切线，求实数

的取值范围．

33．解）

f'x)x(当时令f

()解x

1或x0令f'()解x0a

，所以

f)

的递增区间为

1()a

，递减区间为

1,0)a

当

a0

时，同理可得

f)

的递增区间为

(0

1a

，递减区间为

(

1(a

（2

g()

1x4x3x43

2

有且仅有3个值

3

2

(x

2

=0有3个，则x0或

2

ax，a方程

x

2

ax

有两个非零实根，所以

2

a或

而当

aa时可证函数

(x)

有且仅有个极值点例分：．解：

f

14

xx

.（Ⅰ）∵

f

是偶函数，∴

.

此时

f(x)

11xx，f124

2

，令

f

，解得：

x3

.列表如下：

(－－3)

－2

(－3)

,+∞)f

+

－

+f(x

递增

极大值

递减

极小值

递增可知：

f(x

的极大值为

(3)

，

f(x)

的极小值为

(23)

.（Ⅱ）∵函数

f)

是

(

上的单调函数，∴

f

14

x2axa

，在给定区间R恒成判别式法则

2

14

a2，

解得：

0

.综上，的取值范围是

{a2}

.．解）

fx)exxe

由

f

，f

得x

，所以

f(x

的单调递增区间是

(

，

f(x

的单调递减区间是

(

；

aa（II）令

f

得x

，①当

k即k，函数

f(x)

在区间[上单调递增，所以

f(

min

f(0)

；②当

即

时，由（I知，函数

f(x)

在区间

[

上单调递减，在区间

(1,1]

上单调递增，所以

(x)

min

f(k

；③当

k即2，函数

f(x)

在区间[0,1]上调递减，所以

f()

min

f)e

．综上所述当

k

时，函数

f(x)

在区间

[0,1]

上的最小值为

;

12

时，函数

f(x)

区间

[0,1]

上的最小值为

;当2，函数

f(x)

在区间[0,1]上最小值为

(1e

．解：(Ⅰ)

f

1x

(0)①当a≤

f

1x

0

，故数

f(x

增函数，即函数的

f(x

单调增区间为(0,②当时令

f

11，得xxa当

0x

1ax1时，f；x时，faxax

，故函数

fx

的单调递增区间为

,单调减区间是

(Ⅱ)①当

1a

,a函数f(x)

在区间上减函数

∴

f(x)

的最小值是

f(2)ln

②当

11，时函数a

f(x)

在区间[上增数，∴

f(x)

的最小值是

f(1)

③当

1

11，a

时，函数

f(x)

在

1,上增函数，在2

是减函数．又

ff2

，∴当

12

时,最值是

f

；当

ln2

时最值为

f(2)2a

综上当

时函数fx)

的最小值是

f()

min

；a,f(x)

的最小值是

f(x

min

2

．解：∵

f()x2∴g(x)fx①当

a0

时，

g

恒成立，∴

g(x)

在

[0,1]

上单调递增∴

()

min

g(0)②当

0

时，令

，得

xlna

。g(x)在(2

单调递减，

g(x)在(ln2a,

单调递增；（ⅰ）当

ln2a0

，即

0

12

时，

()

在

[0,1]

上单调递增，∴

()

min

g(0)

32223222（ⅱ）当

a

时，即

1e22

，

(x)

在

[0,lna]

上单调递减，在

g(x)

在

[ln2a,1]

上单调递增，所以当

122

时，

()(ln2a2min（ⅲ）当

ln2a

，即

a

e2

时，

(x)

在

[0,1]

上单调递减。∴

)amin综上，当

a

11e时，()为最小值为；时，gx)222

为最小值为aaln；

e2

时，

(x)

为最小值为

。

f

）

f

2

(2)xx).、

当af

0恒立,

当且仅当

x

时取“”号，

f(x)在

单调递增。、

时f

得x且xx12单调增区间：

(a

，

单调减区间：

(a（II）当

f(x)在[增

则子集：、时f(x(

单调递增符合意、

，

综上，a取值范围[，1]．解：函数的定义域为

R

（Ⅰ）当m4时f(x＝－＋10，2f

＝x－x＋，

f

，解得

x5,

或

x2

令

f

，解得

5可知函数f(x的单调递增区间为(和5＋∞调减区间为（Ⅱ）

f

＝x－m＋＋6,要使函数y＝(在，∞）有两个极值

f

＝x

－(＋＋m＋的在，∞）根分布问题：

4(m0;则m．

，解得＞．解）

f'(x)xxx,212(x)112

2

x4a12

2

……………………2分f

令

f

得

xx令

f

得x∴

fx

的单调递增区间为

((1,单调减区间为……5分（）题

f()()

得

1x32x2ax36即

11xa)x2ax32令

(x)

11x3)x2ax(32

…6分x

a(xx令

得

x2a

或

x

…………7a

12a当x

即

时

(

)

a

92

－

当

9此时,022a

a0有一个交点；……91时，2x

()

2a

,1)

33

＋

—)

a

92

21a2(3)36

2a(3a)03

∴当

9即a216

时有个交点；当

9，0即2

a

时，有两个交点；当

0

19时，022

，有一个交点．……13分综上可知，当

a

916

或

0

12

时，有一个交点；当

916

a

时，有两个交点．………………14分）题意得：

f)ax

2

x1)(∴在

(

上

f)

；在

(1,3)

上

f'(

；在

(3,

上

f)因此

f()在x0

处取得极小值

∴

①，

f'(1)a

②，

fb

③由①②③联立得：，∴