黑龙江省哈尔滨市2018-2022年近五年中考数学试卷及答案

黑龙江省哈尔滨市

2018

年中考数学试卷一、选择题1． 的绝对值是(A．).B．C．D．2．下列运算一定正确的是().A．B．C． D．3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.A．B．C．D．4．六个大小相同的正力体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）.A．B．C．D．5．如图，点

P

为⊙O

外一点，PA

为⊙O

的切线，A

为切点，PO

交⊙0

于点

B，∠P=30°，OB=3，则线段BP

的长为（ ）.A．3B． C．6 D．9+1

向左平移

1

个单位长度，再向下平移

2

个单位长度，所得到的抛物线为（6．将抛物线

y=-5x）.A．y=-5(x+1)2

-1C．y=-5(x+1)2

+3B．y=-5(x-1)2

-1D．y=-5(x-1)2

+37．方程的解为（）.A．x=-1 B．x=0 C．x= D．x=18．如图，在菱形

ABCD

中，对角线

AC、BD

相交于点

0，BD=8，tan∠ABD=，则线段

AB

的长为().A．B．2C．5D．10已知反比例函数 的图象经过点(1，1)，则

k

的值为（ ）.A．-1 B．0 C．1 D．2如图，在△ABC

中，点

D

在

BC

边上，连接

AD，点

G

在线段

AD

上，GE∥BD，且交

AB

于点E，GF∥AC，且交

CD

于点

F，则下列结论一定正确的是( ).D．A． B． C．二、填空题将数

920

000

000

用科学记数法表示为

.函数 中，自变量

x

的取值范围是

.把多项式

x3

-25x

分解因式的结果是

.不等式组 的解集为

.计算 的结果是

.抛物线

y=2(x+2)

2

+4

的顶点坐标为

.一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分別刻有

1

到

6

的点数，张兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是

3

的倍数的概率是

.一个扇形的圆心角为

135°，弧长为

3πcm，则此扇形的面积是

.在△ABC

中，

AB=AC，∠BAC=100°，点

D

在

BC

边上，连接

AD，若△ABD

为直角三角形，则∠ADC的度数为

.如图，在平行四边形

ABCD

中，对角线

AC、BD

相交于点

0，AB=OB，点

E、点

F

分别是

OA、OD

的中点，连接

EF，∠CEF=45°EM⊥BC

于点

M，EM

交

BD

于点

N，FN= ，则线段

BC

的长为

.三、解答题先化简，再求代数式 的值，其中

a=4cos30°+3tan45°.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为

1，线段

AB

的两个端点均在小正方形的顶点上.①在图中画出以线段

AB

为一边的矩形

ABCD(不是正方形)，且点

C

和点

D

均在小正方形的顶点上；②在图中画出以线段

AB

为一腰，底边长为

2 的等腰三角形

ABE，点

E

在小正方形的顶点上.连接CE，请直接写出线段

CE

的长.23．为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种?(必选且只选一种)”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图.请你根据图中提供的信息回答下列问题：本次调查共抽取了多少名学生?通过计算补全条形统计图；若军宁中学共有

960

名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？24．已知：在四边形

ABCD

中，对角线

AC、BD

相交于点

E，且

AC⊥BD，作

BF⊥CD

垂足为点

F，BF

与

AC交于点

G.∠BGE=∠ADE.（1）如图

1，求证：AD=CD；（2）如图

2，BH

是△ABE

的中线，若

AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2

中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE

面积的

2

倍.春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买

A

型，B

型两种型号的放大镜，若购买

8个

A

型放大镜和

5

个

B

型放大镜需用

220

元；若购买

4

个

A

型放大镜和

6

个

B

型放大镜需用

152

元.求每个

A

型放大镜和每个

B

型放大镜各多少元？春平中学决定购买

A

型放大镜和

B

型放大镜共

75

个，总费用不超过

1180

元，那么最多可以购买多少个

A

型放大镜?已知：⊙O

是正方形

ABCD

的外接圆，点

E

在弧

AB

上，连接

BE、DE，点

F

在弧

AD

上，连接

BF，DF，BF

与

DE、DA

分别交于点

G、点

H，且

DA

平分∠EDF.如图

1，求证：∠CBE=∠DHG；如图

2，在线段

AH

上取一点

N（点

N

不与点

A、点

H

重合)，连接

BN

交

DE

于点

L，过点

H

作

HK∥BN

交

DE

于点

K，过点

E

作

EP⊥BN

垂足为点

P，当

BP=HF

时，求证：BE=HK；如图

3，在(2)的条件下，当

3HF=2DF

时，延长

EP

交⊙0

于点

R，连接

BR，若△BER

的面积与△DHK

的面积的差为 ，求线段

BR

的长.27．已知：在平面直角坐标系中，点

0

为坐标原点，点

A

在

x

轴的负半轴上，直线 与x

轴、y

轴分别交于

B、C

两点，四边形

ABCD

为菱形.如图

1，求点

A

的坐标；如图

2，连接

AC，点

P

为△ACD

内一点，连接

AP、BP，BP

与

AC

交于点

G，且∠APB=60°，点

E在线段

AP

上，点

F

在线投

BP

上，且

BF=AE.连接

AF、EF，若∠AFE=30°，求

AF +EF 的值；如图

3

在(2)的条件下，当

PE=AE

时，求点

P

的坐标.1．A2．B3．C4．B5．A6．A7．D8．C9．D10．D11．12．13．14．15．16．（-2，4）17．18．6π19．90º或

130º20．21．解：原式=22．解：如图：根据图形，可得出

CE=423．（1）解：∴本次调查共抽取了

120

名学生.（2）解：120-24-40-16-8=32（名）∴最喜爱书法的学生有

32

名补全条形统计图如图所示，（3）解：∴估计该中学最喜爱国画的学生有

320

名.24．（1）证明：如图

1∵AC⊥BD∴∠AED=∠DEC=∠BEG=90°∴∠BGE+∠EBG=90°∵BF⊥CD∴∠BFD=90°∴∠BDF+∠EBG=90°∴∠BGE=∠BDF∵∠BGE=∠ADE∴∠ADE=∠BDF∵DE=DE∴△ADE≌△CDE∴AD=CD（2）解：△ACD、△ABE、△BCE、△GBH25．（1）解：设每个

A

型放大镜

x

元，每个

B

型放大镜

y

元根据题意得解得∴每个

A

型放大镜

20

元，每个

B

型放大镜

12

元（2）解：解：设可以购买

a

个

A

型放大镜，则购买

B

型放大镜

75-a)个根据题意得

20a+12(75-a)≤1180解得

a≤35∴最多可以购买

35

个

A

型放大镜.26．（1）解：证明：如图

1∵四边形

ABCD

是正方形∴∠A=∠ABC=90°∵∠F=∠A=90°∴∠F=∠ABC∵DA

平分∠EDF，∠ADE=∠ADH∠ABE=∠ADE∴∠ABE.=∠ADF

又∵∠CBE=∠ABC+∠ABE∠DHG=∠F+∠ADF∴∠CBE=∠DHG（2）证明：如图，过

H

作

HM⊥KD

垂足为点

M∵∠F=90°∴HF⊥FD

又∴DA

平分∠EDF∴HIM=FH∵HF=BP∴HM=BP∵KHL∥BN∴∠DKH=∠DLN∵∠ELP=∠DLN∴∠DKH=∠ELP∠BED=∠A=90°∴∠BEP+∠LEP=90°∵EP⊥BN∴∠BPE=∠EPL=90°∴∠LEP+∠ELP=90°∴∠BEP=∠ELP=∠DKH∵HM⊥KD∴∠KMH=∠BPE=90°∴△BEP≌△HKM∴BE=HK（3）解：解：如图，连接

BD∵3HF=2DFBP=FH∴设

HF=2aDF=3a∴：BP=FH=2a由(2)得

HM=BP∠HMD=90°∵∠F=∠A=90°∴tan∠HDM=tan∠FDH，∴DM=3a∵四边形

ABCD

是正方形∴AB=AD∴∠ABD=∠ADB=45°∵∠ABF=∠ADF=∠ADE∠DBF=45°-∠ABF∠BDE=45°-∠ADE∴∠DBF=∠BDE∵∠BED=∠FBD=BD∴△BED≌△DFB∴BE=FD=3a过点

H

作

HS⊥BD

垂足为点

Stan∠ABH=tan∠ADE=∴设

AB=3 m，AH=2m∴BS=BD-DS=5m，在

ER

上截取

ET=DK

连接

BT

由(2)得∠BEP=∠HKD△BET≌△HKD∴∠BTE=∠KDH∴tan∠BTE=

tan∠KDH，∴PT=3a∴TR=RP-PT=7a∴BP=1，PR=527．（1）解：如图

1∵：BO=，CO=在

R△BCO

中∴四边形

ABCD

为菱形∴AB=BC=7∴AO=AB-BO=∴（2）解：如图

2∵AO= =BO，CO⊥AB∴AC=BC=7AB=AC=BC∴△ABC

为等边三角形∴∠ACB=60°，∠APB=60°∴∠APB=∠ACB∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB∵∠PAG=∠CBG

连接

CE、CF∵AE=BF∴△ACE≌△BCF∴CE=CF∠ACE=∠BCF∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°△CEF

为等边三角形∴∠CFE=60°EF=FC∵∠AFE=30°∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°在

Rt△ACF

中∴AF2+CF2=AC2=72=49∴AF2+EF2=49（3）解：如图由(2)知△CEF

为等边三角形∠CEF=60°EC=EF

延长

CE、FA

交于点

H∵∠AFE=30°∠CEF=∠H+∠EFH∠H=∠CEF-∠EFH=30°∴∠H=∠EFH∴EH=EFEC=EH

连接

CP∵PE=AE∠CEP=∠HEA△CPE≌△HAE∴∠PCE=∠H：CP∥FH∠HFP=∠CPF

在

BP

上截取

TB=AP连接TC由(2)知∠CAP=∠CBT∵AC=BC∴，△ACP≌△BCTCP=CT∠ACP=∠BCT∴∠PCT=∠ACP+∠ACT=∠BCT+∠ACT=∠ACB=60△CPT

为等边三角形∴CT=PT∠CPT=∠CTP=60°CP∥FH∴∠HFP=∠CPIT=60°∵∠APB=60°∴∠APB=∠AFP∴AP=AF△APF

为等边三角形∴∠CFP=∠AFC-∠AFP=90°-60°=30°∴∠TCF=∠CTP-∠TFC=60°-30°=30°∴∠TCF=∠TFC∴TF=TC=TP连接

AT

则

AT⊥BP

设

BF=m

则

AE=PE=mPF=AP=2m.TF=TP=mTB=2m

BP=3m在

Rt△APT

中

AT=在

Rt△ABT

中，AT2+TB2=AB2∴∴m1=- (舍去)m2=BF= ，AT= ，BP=3 ，作

PQ⊥AB

垂足为点

Q，作

PK⊥OC，垂足为点

K，则四边形

PQOK

为矩形则

OK=PQ=BP·sin∠PBQ=3 x2=3黑龙江省哈尔滨市

2019

年中考数学试卷一、选择题（每小题

3

分，共计

30

分）1．-9

的相反数是（ ）．A．-9 B． C．9 D．2．下列运算一定正确的是（）A．2a+2a=2a2B．a2·a3=a6C．(2a2)3=6a6D．(a+b)(a-b)=a2-b23．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．A．B．C．D．4．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是(）．A．B．C．D．5．如图，PA，PB

分别与⊙O

相切于

A，B

两点，点

C

为⊙O

上一点，连接

AC，BC，若∠P=50°，则∠ACB的度数为（ ）．A．60° B．75° C．70° D．65°6．将抛物线

y=2x2

向上平移

3

个单位长度，再向右平移

2

个单位长度，所得到的抛物线为（A．y=2(x+2)2+3 B．y=2(x-2)2+3 C．y=2(x-2)2-3 D．y=2(x+2)2-3）．7．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件

25

元降到每件

16

元，则平均每次降价的百分率为（）．A．20%B．40%C．18%D．36%8．方程=的解为（）．A．x= B．x=9．点（-1，4）在反比例函数

y=）．A．（4，-1)C．(-4，-1)C．x= D．x=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(B．（ ，1)D．（ ，2）10．如图，在 ABCD

中，点

E

在对角线

BD

上，EM∥AD，交

AB

于点

M，EN∥AB，交

AD

于点

N，则下列式子一定正确的是( ）．D．A． B． C．二、填空题（每小题

3

分，共计

30

分）将数

6260000

用科学记数法表示为

。在函数

y= 中，自变量

x

的取值范围是

。把多项式

a3-6a2b+9ab2

分解因式的结果是

。14．不等式组的解集是

。二次函数

y=-（x-6）2+8

的最大值是

。如图，将△ABC

绕点

C

逆时针旋转得到△A'B'C，其中点

A'与点

A

是对应点，点

B'与点

B

是对应点，点

B'落在边

AC

上，连接

A'B，若∠ACB=45°，AC=3，BC=2，则

A'B

的长为

。一个扇形的弧长是

11πcm，半径是

18cm，则此扇形的圆心角是

度．在△ABC

中，∠A=50°，∠B=30°，点

D

在

AB

边上，连接

CD，若△ACD

为直角三角形，则∠BCD

的度数为

度．同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有

1

到

6

的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为

。如图，在四边形

ABCD

中，AB=AD，BC=DC，∠A=60°，点

E

为

AD

边上一点，连接

BD、CE，CE

与

BD交于点

F，且

CE∥AB，若

AB=8，CE=6，则

BC

的长为

。三、解答题（其中

21~22

题各

7

分，23-24

题各

8

分，25~27

题各

10

分，共计

60

分）先化简，再求代数式（ - ）÷ 的值，其中

x=4tan45°+2cos30°．图

1、图

2

是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为

1，线段

AC的两个端点均在小正方形的顶点上．在图

1

中画出以

AC

为底边的等腰直角三角形

ABC，点

B

在小正方形的顶点上；在图

2

中画出以

AC

为腰的等腰三角形

ACD，点

D

在小正方形的顶点上，且△ACD

的面积为

8．23．建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种）．学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：在这次调查中，一共抽取了多少名学生?请通过计算补全条形统计图；如果海庆中学共有

1500

名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．24．已知：在矩形

ABCD

中，BD

是对角线，AE⊥BD

于点

E，CF⊥BD

于点

F．如图

1，求证：AE=CF；如图

2，当∠ADB=30°时，连接

AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图

2

中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形

ABCD

面积的 ．寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用。若购买

3副围棋和

5

副中国象棋需用

98

元；若购买

8

副围棋和

3

副中国象棋需用

158

元．求每副围棋和每副中国象棋各多少元；寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共

40

副，总费用不超过

550

元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋?已知：MN

为⊙O

的直径，OE

为⊙O

的半径，AB、CH

是

O

的两条弦，AB⊥OE

于点

D，CH⊥MN

于点

K，连接

HN、HE，HE

与

MN

交于点

P．如图

1，若

AB

与

CH

交于点

F，求证：∠HFB=2∠EHN；如图

2，连接

ME、OA，OA

与

ME

交于点

Q，若

0A⊥ME，∠EON=4∠CHN，求证：MP=AB；如图

3，在（2）的条件下，连接

OC、BC、AH，OC

与

EH

交于点

G，AH

与

MN

交于点

R，连接

RG，若

HK:ME=2：3，BC= ，求

RG

的长．27．如图，在平面直角坐标系中，点

O

为坐标原点，直线

y= x+4

与

x

轴交于点

A，与

y

轴交于点

B，直线

BC

与

x

轴交于点

C，且点

C

与点

A

关于

y

轴对称。求直线

BC

的解析式；点

P

为线段

AB

上一点，点

Q

为线段

BC

上一点，BQ=AP，连接

PQ，设点

P

的横坐标为

t，△PBO的面积为

S（S≠0），求

S

与

t

之间的函数关系式（不要求写出自变量

t

的取值范围）；在（2）的条件下，点

E

在线段

0A

上，点

R

在线段

BC

的延长线上，且点

R

的纵坐标为 ，连接

PE、BE、AQ，AQ

与

BE

交于点

F，∠APE=∠CBE，连接

PF，PF

的延长线与

y

轴的负半轴交于点

M，连接

QM、MR，若

tan∠QMR= ，求直线

PM

的解析式。1．C2．D3．B4．B5．D6．B7．A8．C9．A10．D11．6.26×10612．x≠13．a（a-3b）214．x≥315．816．17．11018．60

或

1019．20．221．

解：原式====x=原式=22．（1）解：

∵

以

AC

为底边的等腰直角三角形

ABCAC=∴AB=BC=ACsin45°=如图

1（2）解：

∵AC=CD=∵

以

AC

为腰的等腰三角形

ACD，点

D

在小正方形的顶点上，且△ACD

的面积为

8∴△ACD

的底边上的高为

4，底边

AD=4如图

223．（1）解：

18÷30％=60（名）答：

在这次调查中，一共抽取了

60

名学-生.（2）解：

最想读国防的人数为：

60-18-9-12=6=15如图（3）解：答：

该校最想读科技类书籍的学生有

225

名

.24．（1）证明：

∵四边形

ABCD

是矩形∴AB∥CD，AB=CD∴∠ABE=∠CDF∵AE⊥BD，CE⊥BD∴∠AEB=∠CFD=90°在△ABE

和△CDF

中∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE=CF（2）解：

∵△ABE≌△CDF∴BE=DF∴S△AFD=S△ABE=S△FDC=S△BEC∵

∠ADB=30°∴∠BAE=30°在

Rt△ABE

中，∠BAE=30°设

BE=x，则

AB=2x，AE=在

Rt△ABD

中，∠BDA=30°，则∠ABD=60°∴AD=ABtan60°=∵S△ABE=S

矩形

ABCD=∴S△ABE：S

矩形

ABCD=∴

每个三角形的面积都等于矩形

ABCD

面积的 的三角形有：

△AFD，△ABE，△FDC，△BEC25．（1）解：设每副围棋

x

元，每副中国象棋

y

元，由题意得：解之：答：每副围棋

16

元，每副中国象棋

10

元.（2）解：

设购买围棋

m

副，中国象棋（40-m）副，由题意得：16m+10(40-m）≤550解之：m≤25∴m

的最大整数解为：m=25答：最多购买围棋

25

副。26．（1）解：

∵∴∠EON=2∠EHN∵在四边形

ODFK

中∠EON+∠OKF+∠ODF+∠KFP=360°∵MN⊥CH，AB⊥OE∴∠OKF=90°，∠ODF=90°∴∠EON+∠KFP=180°∵∠KFD+∠KFB=180°∴∠EON=∠KFB∴∠KFB=2∠EHN。（2）证明：

连接

OB设∠CHN=α，则∠EON=4α∵∠MOA=∠AOE=90°-2α∴∠EMN=90°-（90°-2α）=2α∵∴∠EHN=2α∴∠PHK=α，∠MPE=∠HPN=90°-α在△MPE

中，∠NME=2α，∠MPE=90°-α∴∠MEP=90°-α∴MP=ME∠MOA=∠AOE=∠BOE∴△MOE≌△AOB（SAS）∴ME=AB∴MP=AB（3）解：

过点

C

作

CL⊥AB

于点

L，作

OS⊥CL

于点

S，过点

G

作

GT⊥MN

于点

T，由（2）得∠BOC=2α=∠CON，∴∠AOC=90°，OC∥ME∴∠ABC=易证△BCL

是等腰直角三角形∴BL=CL=1∵HK：ME=2:3∴设

HK=4a，则

ME=6a易证△MOQ≌△OCK∴OQ=CK=HK=4a，∴OM=5a易证四边形

ODLS

是正方形∴OS=OD=DQ=4a，OS=AD=3a∴3a+1=4a解之：a=1∴OM=5∵弧

AE=弧

AE∴∠AHE= ∠AOE=45°-α∴∠OHK=45°∴RK=HK=4易证得

OR=1tan∠GOT=∵OC∥ME∴∠OGP=∠MEP=∠MPE∴OG=OP=1∴OT= ，GT=∴RG=27．（1）解：

∵

直线

y=x+4

与

x

轴交于点

A，与

y

轴交于点

B，当

x=0

时，y=4∴点

B（0，4）当

y=0

时，x+4=0解之：x=-3∴点

A（-3，0）∵

点

C

与点

A

关于

y

轴对称。∴点

C（3，0）设直线

BC

的函数解析式为：y=kx+b∴解之：∴直线

BC

的函数解析式为：y=（2）解：

连接

PQ

交

y

轴于点

K，过点

Q

作

NQ⊥y

轴于点

N，过点

P

作

PM⊥x

轴于点

M易证△△APM≌△QBN∴NQ=AM=3+t∴点

P（t， ），Q（3+t，设直线

PQ

的解析式为：y=mx+n）解之：n=∴点

K（0，）∴S△BPQ=S△BPK+S△BQK==（3）解：

作

AH∥BC

交

BE

的延长线于点

H，作

PG⊥y

轴于点

G，作

RS⊥MQ

于点

S，作

FL⊥y

轴于点

L，作

QJ⊥y

轴于点

J，∵点

R

的纵坐标为，点

R

在线段

BC

上，直线

BC

的函数解析式为：y=∴解之：∴点

R易证△APE≌△AHE，△AHF≌△QBF∴HF

为

BH

的中点，∴F∵PG=-t，FL=∴点

F

为

PM

的中点∴点

M易证△APF≌△QMF∴QM=AP=BQ=tan∠RQM=tan∠CBA=设

QS=7a，则

SR=24a，SM=23a，QR=25a，QM= =7a+23a=30aQR=解之：∴点

M ，P设直线

PM

的解析式为：y=

cx+d∴解之：∴直线

PM

的解析式为黑龙江省哈尔滨市

2020

年中考数学试卷一、单选题1．-8

的倒数是（）A． B．-82．下列运算一定正确的是（C．8D．）A．B．）C． D．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（B．C． D．4．五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．5．如图是直径，点

A为切点，交于点

C，点

D在上，连接，若，则的度数为（）A．B． C． D．向上平移

3

个单位长度，再向右平移

5

个单位长度，所得的抛物线为（6．将抛物线）A．B．D．C．7．如图，在 中，直线

AD

对称，点的

B

对称点是，垂足为

D，与关于，则的度数是（）A．B．C．D．8．方程A．的解是（B．）C．D．一个不透明的袋子中装有

9

个小球，其中

6

个红球，3

个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）B． C． D．如图，在 中，点

D

在

BC

上，连接

AD，点

E

在

AC

上，过点

E

作 ，交

AD

于点

F，过点

E

作 ，交

BC

于点

G，则下列式子一定正确的是（ ）D．A． B． C．二、填空题将数

4790000

用科学记数法表示为

．在函数 中，自变量

x

的取值范围是

．13．已知反比例函数 的图像经过点 ，则

k

的值是

．14．计算：的结果是

．15．把多项式分解因式的结果是

．16．抛物线的顶点坐标为

．17．不等式的解集为

．一个扇形的面积为在 中，如图，在菱形，，半径为

6cm，则扇形的圆心角是

度．， 为

BC

边上的高， ，则

BC

的长为

．中，对角线 相交于点

O，点

E

在线段

BO

上，连接

AE，若 ，,则线段

AE

的长为

．三、解答题先化简，再求代数式 的值，其中如图，方格纸中每个小正方形的边长为

1，线段

AB

和线段

CD

的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以

AB

为边的正方形，点

E

和点

F

均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以

CD

为边的等腰三角形，点

G

在小正方形的顶点上，且的周长为，连接

EG，请直接写出线段

EG

的长．23．为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢的哪一类？的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的

，请你根据图中提供的信息回答下列问题：在这次调查中，一共抽取了多少名学生；请通过计算补全条形统计图；（3）若冬威中学共有

800

名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．24．已知，在 中， ，点

D，点

E

在

BC

上， ,连接．（1）如图

1，求证：；（2）如图

2，当 时，过点

B

作 ，交

AD

的延长线于点

F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图

2

中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于

45°．25．昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买

1

个大地球仪和

3

个小地球仪需要

136元；若购买

2

个大地球仪和

1

个小地球仪需要

132

元．求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；昌云中学决定购买以上两种地球仪共

30

个，总费用不超过

960

元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪．26．已知 是交

AC

于点

F．的外接圆，AD

为的直径，，垂足为

E，连接

BO，延长

BO；如图

1，求证：如图

2，过点

D

作 ，交于点

G，点

H

为

GD

的中点，连接

OH，求证： ；（3）如图

3，在（2）的条件下，连接

CG，若 的面积为 ，求线段

CG

的长．27．已知，在平面直角坐标系中，点

O

为坐标原点，直线 与

x

轴的正半轴交于点

A，与

y

轴的负半轴交于点

B， ，过点

A

作

x

轴的垂线与过点

O

的直线相交于点

C，直线

OC

的解析式为，过点

C

作 轴，垂足为 ．（1）如图

1，求直线的解析式；（2）如图

2，点

N

在线段上，连接

ON，点

P

在线段

ON

上，过

P

点作轴，垂足为

D，交

OC

于点

E，若，求的值；（3）如图

3，在（2）的条件下，点

F

为线段

AB

上一点，连接

OF，过点

F

作

OF

的垂线交线段

AC

于点

Q，连接

BQ，过点

F

作

x

轴的平行线交

BQ

于点

G，连接

PF

交

x

轴于点

H，连接

EH，若，求点

P

的坐标．1．A2．C3．B4．C5．B6．D7．A8．D9．A10．C11．12．x≠713．﹣1214．15．16．(1，8)17．x≤-318．13019．7

或

520．21．解：原式，∵，∴，∴原式．22．（1）解：如图所示，正方形

ABEF

即为所求；（2）解：如图所示，△CDG

即为所求，由勾股定理，得

EG=.23．（1）解：15÷30%＝50（名），答：本次调查共抽取了

50

名学生；（2）解：50﹣15﹣20﹣5＝10（名），补全条形统计图如图所示：（3）解：800× ＝320（名），答：估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有

320

名．24．（1）证明：如图

1，，，、．在和中，，∴∴；（SAS），（2）解：顶角为

45°的等腰三角形有以证明：∵ ， ，∴ ，下四个： 、 、，∵，，即：是等腰三角形， ；∴，∴∴，，∴，∴、即：、是等腰三角形，，∵∴∠DBF=∠C=45°，，又∵，∴，∴ 、即：是等腰三角形，．25．（1）解：设每个大地球仪

x

元，每个小地球仪

y

元，由题意可得 ，解得： ，答：每个大地球仪

52

元，每个小地球仪

28

元；（2）解：设昌云中学可以购买

m

个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，根据题意得

52m+28(30-m)≤960解得

m≤5，∴昌云中学最多可以购买

5

个大地球仪．26．（1）证明：∵AD

为 的直径，∴ ，BE=CE，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=2∠CAD，∵∠BOD=∠AOF，∴∠AOF=2∠CAD，∵∠BFC=∠AOF+∠CAD，∴∠BFC=2∠CAD+∠CAD=3∠CAD；（2）解：连接

OG，∵点

H

为

GD

的中点，OG=OD，∴DH=GH，OH⊥DG，∵AD⊥BC，∴∠AEB=∠OHD=90°，∵DG∥BF，∴∠BOH=∠OHD=90°，即∠DOH+∠BOD=90°，∵∠BOD+∠OBE=90°，∴∠OBE=∠DOH，又∵OB=OD，∴△OBE≌△DOH，∴BE=OH；（3）解：如图，连接

AG，过

A

点作

AM⊥CG

于点

M，过

F

点作

FN⊥AD

于点

N，由（2）可知

DH=OE，∵DG=2DH=2OE，DG=DE，∴DE=2OE，设

OE=m，则

DE=2m，∴OB=OD=OA=3m，∴AE=4m，在

Rt△OBE

中，BE==，∴CE=BE=，tan∠BOE===，tan∠EAC===，，∵tan∠AOF=tan∠BOE=∴ = ，设

ON=a，则

NF=a，∴tan∠EAC=，∴AN=4a，∵AN+NO=AO，∴4a+a=3m，∴a= m，∴FN=×m=m，∵S△AOF=·OA·FN=，∴ ·3m·∴m2=1，m=，∴m=±1，∵m>0，∴m=1，，AE=4，，∴DH=1，OD=3，由（2）得

BE=CE=OH=在

Rt△AEC

中

AC =∵OD=OA，DH=HG，∴AG=2OH= ，∵∠ADG+∠ACG=180°，∠ACM+∠ACG=180°，∴∠ADG=∠ACM，∴cos∠ADG=cos∠ACM，∴ ，∴，∴CM=，在

Rt△ACM

中，AM==，在

Rt△AGM

中，GM==，∴CG=GM-CM=．27．（1）解：∵CM⊥y

轴，OM=9，∴当

y=9

时， ，解得：x=12，∴C（12,9），∵CA⊥x

轴，则

A（12,0），∴OB=OA=12，则

B（0，-12），设直线

AB

的解析式为

y=kx+b，∴ ，解得：，∴ ；（2）解：由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形

MOAC

为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM，∴NC=9，则

MN=MC-NC=3，∴N（3,9）设直线

ON

的解析式为，将

N（3，9）代入得：，解得：，∴y=3x，设

P（a，3a）∵PD⊥x

轴交

OC

于点

E，交

x

轴于点

D，∴，，∴PE=，OD=a，∴ ；（3）解：如图，设直线

GF

交

CA

延长线于点

R，交

y

轴于点

S，过点

F

作

FT⊥x

轴于点

T，∵GF∥x

轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形

OSRA

为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设

FR=m，则

AR=m，∴QR=SF=12-m，∴AF=，∵，∴GQ=，∵QG2=GR2+QR2，即∴FS=8，AR=4，，解得：m=4，∵∠OAB=∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形

OSFT

为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH，∴tan∠DHE=tan∠DPH，∴ ，由（2）可知，DE=，PD=3a，∴，解得：DH=，∴tan∠PHD=，∵∠PHD=∠FHT，∴tan∠FHT=，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT，∴ ，∴a= ，∴2021

年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（每小题

3

分，共计

30

分）1．﹣

的绝对值是（ ）A．﹣7 B．7 C．﹣ D．2．下列运算一定正确的是（）A．a2•a＝a3B．（a3）2＝a5C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．a5﹣a2＝a33．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（），则

BC的长为A． B． C． D．5．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点

B为切点，若

AB＝8，tan∠BAC＝（ ）A．8B．7C．10D．66．方程＝的解为（）A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝27．如图，△ABC≌△DEC，点

A和点

D是对应顶点，点

B和点

E是对应顶点，过点

A作

AF⊥CD，垂足为点

F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）A．30°B．25°C．35°D．65°一个不透明的袋子中装有

12

个小球，其中

8

个红球、4

个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）B． C． D．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则

AE的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．610．周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离

s（单位：m）与他所用的时间

t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（

）A．75m/min，90m/minB．80m/min，90m/minC．75m/min，100m/minD．80m/min，100m/min二、填空题（每小题

3

分，共计

30

分）火星赤道半径约为

3396000

米，用科学记数法表示为

米．在函数

y＝ 中，自变量

x的取值范围是

．已知反比例函数

y＝

的图象经过点（2，﹣5），则

k的值为

．计算 ﹣2 的结果是

．把多项式

a2b﹣25b分解因式的结果是

．二次函数

y＝﹣3x2﹣2

的最大值为

．不等式组 的解集是

．四边形

ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线

BC于点

E，若

CE＝2，则▱ABCD的周长为

．一个扇形的弧长是

8πcm，圆心角是

144°，则此扇形的半径是

cm．如图，矩形

ABCD的对角线

AC，BD相交于点

O，过点

O作

OE⊥BC，垂足为点

E，过点

A作

AF⊥OB，垂足为点

F．若

BC＝2AF，OD＝6，则

BE的长为

．三、解答题（其中

21-22

题各

7

分，23-24

题各

8

分，25-27

题各

10

分，共计

60

分）21．先化简，再求代数式（ ﹣ ）÷ 的值，其中

a＝2sin45°﹣1．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为

1

个单位长度，△ABC的顶点和线段

DE的端点均在小正方形的顶点上．在方格纸中将△ABC向上平移

1

个单位长度，再向右平移

2

个单位长度后得到△MNP（点

A的对应点是点

M，点

B的对应点是点

N，点

C的对应点是点

P），请画出△MNP；在方格纸中画出以

DE为斜边的等腰直角三角形

DEF（点

F在小正方形的顶点上）．连接

FP，请直接写出线段

FP的长．春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的

40%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：在这次调查中，一共抽取了多少名学生？请通过计算补全条形统计图；若春宁中学共有

1500

名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．24．已知四边形

ABCD是正方形，点

E在边

DA的延长线上，连接

CE交

AB于点

G，过点

B作

BM⊥CE，垂足为点

M，BM的延长线交

AD于点

F，交

CD的延长线于点

H．如图

1，求证：CE＝BH；如图

2，若

AE＝AB，连接

CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图

2

中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的

A、B两种型号的毛笔．若购买

3

支

A种型号的毛笔和

1支

B种型号的毛笔需用

22

元；若购买

2

支

A种型号的毛笔和

3

支

B种型号的毛笔需用

24

元．求每支

A种型号的毛笔和每支

B种型号的毛笔各多少元；君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共

80

支，总费用不超过

420

元，那么该中学最多可以购买多少支

A种型号的毛笔？已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点

N为

AC的中点，连接

ON并延长交⊙O于点

E，连接

BE，BE交

AC于点

D．（1）如图

1，求证：∠CDE+

∠BAC＝135°；（2）如图

2，过点

D作

DG⊥BE，DG交

AB于点

F，交⊙O于点

G，连接

OG，OD，若

DG＝BD，求证：OG∥AC；（3）如图

3，在（2）的条件下，连接

AG，若

DN＝，求

AG的长．在平面直角坐标系中，点

O为坐标系的原点，抛物线

y＝ax2+bx经过

A（10，0），B（

，6）两点，直线

y＝2x﹣4

与

x轴交于点

C，与

y轴交于点

D，点

P为直线

y＝2x﹣4

上的一个动点，连接

PA．求抛物线的解析式；如图

1，当点

P在第一象限时，设点

P的横坐标为

t，△APC的面积为

S，求

S关于

t的函数解析式（不要求写出自变量

t的取值范围）；（3）如图

2，在（2）的条件下，点

E在

y轴的正半轴上，且

OE＝OD，连接

CE，当直线

BP交

x轴正半轴于点

L，交

y轴于点

V时，过点

P作

PG∥CE交

x轴于点

G，过点

G作

y轴的平行线交线段

VL于点

F，连接

CF，过点

G作

GQ∥CF交线段

VL于点

Q，∠CFG的平分线交

x轴于点

M，过点

M作

MH∥CF交

FG于点

H，过点

H作

HR⊥CF于点

R，若

FR+MH＝GQ，求点

P的坐标．1．D．2．A．3．A．4．C．5．D．6．A．7．B．8．D．9．B．10．C．11．3.396×106．12．x≠

．13．﹣10．14．2 ．15．b（a+5）（a﹣5）．16．﹣2．17．x＜3．18．20

或

28．﹣•19．10．20．3 ．21．解：原式＝

﹣＝ ﹣＝﹣1＝ ﹣1

时，＝＝ ，当

a＝2sin45°﹣1＝2×原式＝ ＝ ．22．解：（1）如图，△MNP为所作；（2）如图，△DEF为所作；FP＝＝ ．23．证明：（1）∵四边形

ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，∵BM⊥CE，∴∠HMC＝∠ADC＝90°，∴∠H+∠HCM＝90°＝∠E+∠ECD，∴∠H＝∠E，在△EDC和△HCB中，，∴△EDC≌△HCB（AAS），∴CE＝BH；（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，理由如下：∵AE＝AB，∴AE＝BC＝AD＝CD，∵△EDC≌△HCB，∴ED＝HC，∵AD＝CD，∴AE＝HD＝BC＝AB，在△AEG和△BCG中，，∴△AEG≌△BCG（AAS），∴AG＝BG＝

AB，同理可证△AFB≌△DFH，∴AF＝DF＝

AD，∴AG＝AF＝DF，在△AEG和△ABF中，，∴△AEG≌△ABF（SAS），同理可证△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．25．解：（1）设每支

A种型号的毛笔

x元，每支

B种型号的毛笔

y元；由题意可得： ，解得： ，答：每支

A种型号的毛笔

6

元，每支

B种型号的毛笔

4

元；（2）设

A种型号的毛笔为

a支，由题意可得：6a+4（80﹣a）≤420，解得：a≤50，答：最多可以购买

50

支

A种型号的毛笔．26．（1）证明：如图

1，过点

O作

OP⊥BC，交⊙O于点

P，连接

AP交

BE于

Q，∴ ＝ ，∴∠BAP＝∠CAP，∵点

N为

AC的中点，∴ ＝ ，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠QAB+∠QBA＝

×90°＝45°，∴∠AQB＝∠EQP＝135°，△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，∴∠CDE+

∠BAC＝135°；（2）证明：在△DGO和△DBO中，，∴△DGO≌△DBO（SSS），∴∠ABD＝∠DGO，∵DG⊥BE，∴∠GDB＝90°，∴∠ADG+∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠CBE＝90°，∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，∴OG∥AD；（3）解：如图

3，过点

G作

GK⊥AC于

K，延长

GO交

BC于点

H，由（2）知：OG∥AC，∴GH∥AC，∴∠OHB＝∠C＝90°，∴OH⊥BC，∴BH＝CH，∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，∴四边形

GHCK是矩形，∴CH＝GK，设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，由（2）知：∠ADG＝∠DBC，在△GKD和△DCB中，，∴△GKD≌△DCB（AAS），∴GK＝DC＝y，∵OE∥BC，∴∠E＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tanE，∴，即 ＝，，∴EN＝ ，∴AN＝CN＝y+ ，ON＝y，由勾股定理得：AO＝ON+AN，222∴（y+ ）2＝y2+（y+ ）2，解得：y＝1 ﹣ （舍），y2＝∴AG＝ ＝＝2 ．27．解：（1）把

A（10，0），B（

，6）代入

y＝ax+bx，2 得到，解得，∴抛物线的解析式为

y＝﹣ x2+ x．∵直线

y＝2x﹣4

与

x轴交于点

C，与

y轴交于点

D，∴C（2，0），D（0，﹣4），∵A（10，0），∴OA＝10，OC＝2，∴AC＝8，由题意

P（t，2t﹣4），∴S＝•PT•AC＝

×8×（2t﹣4）＝8t﹣16．如图

2

中，过点

P作

PT⊥CG于

T，交

CF于

W，过点

F作

FJ⊥MH交

MH的延长线于

J，连接

JQ．∵PT⊥CG，∴∠PTC＝∠ODC＝90°，∴OD∥PT，∴∠ODC＝∠CPT，∴tan∠CPT＝tan∠ODC＝ ＝＝

，∵HR⊥RF，FJ⊥MJ，MH∥CF，∴RH⊥MJ，∴∠FRH＝∠RHJ＝∠FJH＝90°，∴四边形

RFJH是矩形，∴RF＝HJ，∵RF+HM＝MH+HJ＝MJ＝GQ，MJ∥GQ，∴四边形

MJQG是平行四边形，∴JQ＝GM，∠JQG＝∠GMJ，∵MF平分∠CFG，∴∠CFM＝∠MFG，∵CF∥MH，∴∠FMH＝∠CFM，∴∠FMH＝∠MFH，∴FH＝HM，∵∠MGH＝∠FJH＝90°，∠MHG＝∠FHJ，∴△MHG≌△FHJ（AAS），∴MG＝FJ＝JQ，∠GMH＝∠HFJ，∴∠JFQ＝∠JQF，∠GFJ＝∠GQJ，∴∠GFQ＝∠GQF，∵CF∥GQ，PT∥FG，∴∠WPF＝∠GFQ，∠WFP＝∠GQF，∴∠WPF＝∠WFP，∴WP＝WF，∵D，E关于

x轴对称，∴∠ECO＝∠DCO＝∠PCG，∵EC∥PG，∴∠PGC＝∠ECO，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PT⊥CG，∴CT＝TG，∵WT∥FG，∴CW＝WF，∴WP＝WC＝WF，∴∠CPF＝90°，∴∠LCP+∠PLC＝90°，∵∠ODC+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠LCP，∴∠PLC＝∠ODC，∴tan∠PLC＝tan∠ODC＝

，∵B（

，6），∴OL＝

+12＝ ，∴L（ ，0），∴直线

PB的解析式为

y＝﹣

x+ ，由，解得，∴P（

，5）．黑龙江省哈尔滨市

2022

年中考数学试卷一、单选题1． 的相反数是（A．）B．-6C．6D．2．下列运算一定正确的是（）A．B．C． D．3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．C．5．抛物线 的顶点坐标是（B．D．）A． B．C．D．6．方程 的解为（ ）A． B．7．如图， 是 的直径，点

P

在则 的度数为（ ）C．的延长线上，与D．相切于点

A，连接 ，若 ，A． B． C． D．某种商品原来每件售价为

150

元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为

96

元，设平均每次降价的百分率为

x，根据随意，所列方程正确的是（ ）B．C． D．9．如图， 相交于点

E， ，则 的长为（ ）A． B．410．一辆汽车油箱中剩余的油量C．D．6与已行驶的路程的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为（ ）A．二、填空题B．C．D．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量效有

253000

兆瓦，用科学记数法表示为

兆瓦．在函数 中，自变量

x

的取值范围是

．13．计算的结果是

．14．把多项式分解因式的结果是

．15．不等式组的解集是

．已知反比例函数 的图象经过点 ，则

a

的值为

．在 中， 为边 上的高， ， ，则 是

度．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是

．一个扇形的面积为 ，半径为 ，则此扇形的圆心角是

度．如图，菱形 的对角线 相交于点

O，点

E

在 上，连接 ，点

F

为 的中点，连接 ，若，，，则线段 的长为

．三、解答题21．先化简，再求代数式的值，其中．22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为

1，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．⑴在方格纸中面出 ，使与 关于直线对称（点

D

在小正方形的顶点上）；⑵在方格纸中画出以线段 为一边的平行四边形 （点

G，点

H

均在小正方形的顶点上），且平行四边形 的面积为

4．连接