事件的关系和运算

济南市2020寒假延期开学网络学习资源复习回顾1.随机试验把对随机现象的实现和对它的观察称为_________(简称试验，常用字母E表示．特点随机试验可重复性可预知性随机性2.样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用

表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用

表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}3.三种事件的定义随机事件我们将样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集⌀不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生.我们称⌀为不可能事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件.在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件复习回顾当几个集合是有限集时,求集合A∪B与A∩B中的元素个数常用列举法，列出集合中的元素．A∩B中的元素个数即为集合A与B中

元素的个数；而当A∩B＝Ø时,A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数

；而当A∩B≠Ø时,A∪B中的元素个数即为A、B中元素个数之和

A∩B中的元素个数．从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算.例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？引例：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件学习新知1.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1}⊆{1,3,5},即C1⊆G.这时我们说事件G包含事件C1.注:学习新知学习新知一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).可以用图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB).蓝色区域表示交事件学习新知4.用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”.它们分别是C3={3},C4={4}.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩

C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥.一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩

B是一个不可能事件,即A∩B=Φ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.可以用图表示这两个事件互斥.其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．学习新知5.用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G=“点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G=Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立.其含义是：事件A与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．事件A的对立事件记为,可以用图表示为.学习新知综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ,AUB=Ω类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.典型例题例5如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.典型例题例5如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}.典型例题例5如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效.A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};A∪B表示电路工作正常,∩表示电路工作不正常；A∪B和∩互为对立事件.典型例题例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号典型例题例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}R={(1,2),(2,1)}G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}典型例题例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？(2)因为R⊆R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Φ,所以事件R与事件G互斥；因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件.(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是().(A)至多一次中靶(B)两次都中靶

(C)只有一次中靶(D)两次都没有中靶课本练习P2332.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”。判断下列结论是否正确.(1)C1与C2互斥；(2)C2,C3为对立事件;(3)C3⊆D2;(4)D3⊆D2;(5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ;(6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5;(8)E,F为对立事件；(9)D2∪D3=D2;(10)D2∩D3=D3.√×√√√√√√√√课本练习P233A

1.同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,向上面至少有一枚是正面为事件N,则有()A.M

⊆NB.M⊇NC.M=ND.M<N

巩固练习3.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P＝{向上的点数是1},事件Q＝{向上的点数是3或4},M＝{向上的点数是1或3},则P∪Q＝