中考数学高频考点突破-二次函数与一次函数

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——二次函数与一次函数1．设一次函数和二次函数．(1)求证：，的图象必有交点；(2)若，，的图象交于点、，其中，设为图象上一点，且，求的值；(3)在（2）的条件下，如果存在点在的图象上，且，求m的取值范围．2．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．(1)若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则______________；若点是函数的图象上的“梅岭点”，则_____________；(2)若点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；(3)若二次函数（a，b是常数，）的图象过点，且图象上存在两个不同的“梅岭点”，且满足，如果，请直接写出k的取值范围．3．开口向下的抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，是等腰直角三角形，面积为4．并与一次函数的图象相交于点M，N．(1)求抛物线的解析式；(2)若，平移直线，使得该直线平分的面积，求平移后直线解析式．(3)在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．4．已知一次函数的图像过点，，是二次函数图像上的两点．(1)若该二次函数图像的对称轴是，分别求出一次函数和二次函数的表达式；(2)当点A、B在二次函数的图像上运动时，满足，求m的值；(3)点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线交于点P、Q，当时，求n的值．5．如图，二次函数的图象过点，．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若一次函数的图象与二次函数的图象有交点，求的取值范围；(3)过点作轴的平行线，以为对称轴将二次函数的图象位于上方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴，直接写出的取值范围．6．如图，反比例函数与一次函数相交于点A（1，4）和点B（4，1），直线的图象与y轴和x轴分别相交于点C和点D；(1)请直接写出当时自变量x的取值范围；(2)将一次函数向下平移8个单位长度得到直线EF，直线EF与x和y轴分别交于点E和点F，抛物线过点A、D、E三点，求该抛物线的函数解析式（也称函数表达式）；(3)在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBF是以BF为斜边的直角三角形，若存在，请用尺规作图（圆规和无刻度直尺）画出点P所在位置，保留作图痕迹，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“三高四新”点，经过的函数，称为“三高四新”函数．（1）下列函数是“三高四新”函数的有_____；①

②

③

④（2）若关于x的一次函数是“三高四新”函数，且它与y轴的交点在y轴的正半轴，求k的取值范围；（3）关于x的二次函数的图象顶点为A，点和点是该二次函数图象上的点且使得，试判断直线MN是否为“三高四新”函数，并说明理由．8．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k系和谐函数”．（1）已知正比例函数y＝5x（1≤x≤4）为“k系和谐函数”，请求出k的值；（2）若一次函数y＝px﹣3（1≤x≤4）为“3系和谐函数”，求p的值；（3）已知二次函数y＝﹣2x2+4ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k系和谐函数”，求k的取值范围．9．若函数、满足，则称函数y是、的“融合函数”．例如，一次函数和二次函数，则、的“融合函数”为．（1）若反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”过点，求的值；（2）若为二次函数，且，在时取得最值，是一次函数，且的“融合函数”为，当时，求函数的最小值（用含的式子表示）；（3）若二次函数与一次函数，其中且，若它们的“融合函数”与轴交点为、，求的取值范围．10．投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”，选自《九年级下册教材》P89，粹园的同学们学完此节内容后，开始探究正投影在平面直角坐标系的应用．若平面直角坐标系中，规定曲线AB在坐标轴上的正投影的长度称为在该轴上的“影长”，记为“l”．AB两点在对应坐标轴上的正投影之间的范围称为在该轴上的“影长范围”，例如：如图，曲线AB，其中A（，1）、B（1，3），则曲线AB在x轴上的的“影长”l为4，在x轴上的“影长范围”为．（1）已知反比例函数的部分图像在y轴上的“影长范围”是，求其在x轴上的“影长”以及“影长范围”．（2）若二次函数的部分图像在x轴上的“影长范围”是，且在y轴上的“影长范围”的最大值为10，求满足条件的a的值．（3）已知二次函数与一次函数交于A、B两点，当，且实数，求线段AB在x轴上的“影长”的取值范围．11．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B．一次函数y＝kx+4（k≠0）图像与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D．若AB＝3BD．（1）求点A的坐标；（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图像与一次函数y＝kx+4（k≠0）图像交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？12．已知抛物线经过，，三点，其对称轴交轴于点H，一次函数的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点F，使得点A、B、E、F构成的四边形是平行四边形，如果存在，求出点F的坐标，若不存在请说明理由（3）设∠CEH=，∠EAH=，当时，直接写出的取值范围13．如图，已知一次函数的图象分别与轴轴交于点，，在二次函数中，是一个不为0的常数．（1）若二次函数的图象过点，则的值是______；（2）点是二次函数图象的顶点，连接，若，求的值；（3）二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，设点的横坐标为，且，连接．能使与坐标轴所成的夹角等于的有几个？请直接写出的值．14．综合与探究：如图1，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，二次函数的图象过，两点，且与轴交于另一点．（1）求二次函数的解析式；（2）点是二次函数图象的一个动点，设点的横坐标为，若．求的值；（3）如图2，过点作轴交抛物线于点．点是直线上一动点，在坐标平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．15．如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点，一次函数的图象经过点A和点．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，，求点D的坐标；（3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．16．如图，是以为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形能构成平行四边形．（1）求该二次函数的表达式；（2）动点P在线段上从点A至点D运动，同时动点Q在线段上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．①当是直角三角形时，求P的坐标；②四边形的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由．17．【概念认识】已知m是实数，若某个函数图像上存在点M（m，m），则称点M是该函数图像上的“固定点”．【数学理解】（1）一次函数y＝－2x＋3的图像上的“固定点”的坐标是；（2）求证：反比例函数y＝（k＞0）的图像上存在2个“固定点”；（3）将二次函数y＝x2＋bx＋1（b＜－2）的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图像．若新图像上恰好存在3个“固定点”，求b的值．18．如图，若一次函数y=﹣3x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y=ax2＋bx﹣3的图象过A、B、C三点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，若点P在直线BC下方的抛物线上运动，过P点作PF⊥BC，交线段BC于点F，在点P运动过程中，线段PF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．（3）点P在y轴右侧的抛物线上运动，过P点作x轴的垂线，与直线BC交于点D，若∠PCD＋∠ACO＝45°，请在备用图上画出示意图，并直接写出点P的坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)见解析(2)-1(3)【分析】（1）转化证明时，方程有解，进而转化证明一元二次方程根的判别式为非负即可；（2）由，求出，再解得n的值，求得的值，进而得到的值；（3）在（2）的条件下，，把点代入的解析式中，得到，将（1）中n=a代入，根据计算得到，再转化为，由分类讨论解不等式组即可解答．【解析】（1）解：当时，化简得：方程有解，的图象必有交点；（2）当时，化简得：都经过点（1，0）经过点A为图象上一点，=2+m+n解得，（3）在（2）的条件下，如果存在点在的图象上，，或，m>0或（无解）或．【点评】本题考查一次函数与二次函数的图象与性质，第（2）题中转化为证明一元二次方程根的判别式，第（3）题中求得x2的值是解题关键．2．(1)，3或；(2)；(3)【分析】（1）根据“梅岭点”的定义，的横纵坐标相等，即；的横纵坐标相等，即，分别求解即可；（2）由题意，抛物线与直线的唯一交点为，即有两个相等的根-2，方程可写为，对比两个方程的系数，即可求出b，c;（3）先由“梅岭点”的定义证明是方程的两个根，利用根与系数的关系得出，，进而利用推出，再由计算出a的取值范围，即可求出k的取值范围．（1）解：点是一次函数的图象上的“梅岭点”，，解得；点是函数的图象上的“梅岭点”，，整理得，解得，，经检验，，是的根，或，故答案为：；3或；（2）解：点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，，即抛物线与直线的唯一交点为，方程的根为，即方程可写为，，，，二次函数的表达式为；（3）解：二次函数（a，b是常数，）的图象过点，，，图象上存在两个不同的“梅岭点”，，，，，是方程的两个根，，，，，，，，，或，，或，，，，，．【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、方程的根与系数的关系、解不等式等知识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键．3．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，利用面积为4，求出OC和AB的长，进而得出点A，B，C坐标，求抛物线解析式；（2）求出直线BC的解析式，再求出点D和点E的坐标，再由S△BDE=S△ABC，进行计算求解即可；（3）分别过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为E，F，证△PME∽△PNF，得，代入求出，又M，N是直线y=kx与抛物线的交点，得，根据根与系数关系得出，进而求出t的值，得出点P坐标．(1)解：∵是等腰直角三角形且与轴交于点C∴对称轴∴b=0设抛物线的解析式为当x=0时，y=c∵抛物线开口向下∴c>0∵OC=AB∴AB=2c∵面积为4∴×2c×c=4解得c=2或c=-2(舍去)∴点A为（-2，0），点B为（2，0），点C为（0，2）将点A代入，得4a+2=0解得a=∴抛物线的解析式为．(2)解：设直线BC的解析式为y=kx+b将点B（2，0）和点C（0，2）代入，得解得∴直线BC的解析式为y=-x+2令平移后的直线解析式为∵直线与直线BC交于点D则∴∴即点D的坐标为（，）∵直线与x轴交于点E∴点E为（-2m，0）由题意，得S△BDE=S△ABC∴×（2+2m）×（）=2整理，得（1+m）2=3解得m=或m=（舍去）∴平移后直线解析式为(3)解：存在，理由如下：分别过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为E，F∴∠PEM=∠PFN=90°设点P为（0，t）（t>0），M（x，y），N（x，y），令N在M左侧∵∠MPE=∠NPF∴△PME∽△PNF∴∴又y=kx，y=kx∴整理，得∵M，N是直线y=kx与抛物线的交点∴∴∴解得t=4∴存在，点【点评】本题考查二次函数的几何综合问题，涉及的知识点有求抛物线解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数关系等，熟练地运用以上知识是解决问题的关键．4．(1)，(2)3.5或2.5(3)1或3【分析】（1）根据对称轴x=1，求出m的值，再根据一次函数经过（2，3），进而求出k值，最后求得解析式；（2）将A，B坐标代入分别表示出y1和y2，再由2k=3-m，得出=1，求解即可；（3）将A，B坐标代入分别表示出y和y，再由2k=3-m，得出，，再将k=n，代入，得出用n表示的y和y，进而，求解即可．【解析】（1）解：由题意，得∵二次函数的对称轴x=1，∴，解得m=4，∴二次函数解析式为当m=4时，一次函数，又一次函数经过（2，3），∴2k+4=3，解得，∴一次函数解析式为．（2）解：由题意，得，，得，∵一次函数的图像过点，∴2k=3-m，∴=1，解得或．（3）解：将，代入二次函数，得，，又一次函数的图像过点，∴2k=3-m，∴，，∵k=n，，∴把代入得，把代入，∴，解得或3．【点评】本题考查二次函数和一次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数对称轴等知识点，理解二次函数的定义和一次函数的定义是解决问题的关键．5．(1)；(2)；(3)当时，翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）联立一次函数与二次函数解析式得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可；（3）设抛物线对称轴与x轴交于F，与抛物线交于E，设原二次函数与y轴的交点为C，分别求出当翻折后E与F重合，C与O重合时p的值，即可得到答案．(1)解：∵二次函数的图象过点，，∴，∴，∴二次函数解析式为；(2)解：联立得，∵一次函数的图象与二次函数的图象有交点，∴方程有实数根，∴，∴；(3)解：设抛物线对称轴与x轴交于F，与抛物线交于E，设原二次函数与y轴的交点为C，∴点C的坐标为（0，2），∵抛物线解析式为，∴点E的坐标为（1，3），∴EF=3，当经过翻折后所得部分与轴恰好只有一个交点时，即点E翻折后与点F重合，∴此时MN垂直平分EF，∴，当经过翻折后所得部分与x轴的一个交点恰好为原点时，即点C翻折后与原点重合，此时MN垂直平分OC，∴，∴当时，翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与x轴的交点问题，翻折的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．6．(1)或(2)(3)存在，【分析】（1）从函数的图像和点A（1，4）和点B（4，1）的横坐标可以直接看出；（2）把点A（1，4）和点B（4，1）代入的AB的解析式，求出D的坐标，把向下平移8个单位得到求出E的坐标，利用待定系数法可求得过点A、D、E的函数解析式；（3）存在，如图，（作BF的垂直平分线交BF于点M，点M即为BF的中点，以点M为圆心，MB为半径作圆，交抛物线对称轴于点，点；即为所求．）（1）从函数的图像可以直接看出，因为点A（1，4）和点B（4，1）所以当或时（2）把点A（1，4）和点B（4，1）代入得

解得

令得

把向下平移8个单位得到令得

设过点A、D、E的抛物线的函数解析式为把点A（1，4）代入得

（3）存在，如图，作BF的垂直平分线交BF于点M，点M即为BF的中点，以点M为圆心，MB为半径作圆，交抛物线对称轴于点，点即为所求．求点P的坐标的过程如下：过点M作MG垂直抛物线的对称轴于G点，连接MP1，MP2，由y=-x-3可知，F的坐标为（0，-3）又B(4，1)∴M点横坐标为:M的纵坐标为：=-1∴M(2，-1)又FB=∴圆的半径为：2抛物线的对称轴x=1，所以MG=1，GP1=GP2=∴点P的坐标为【点评】本题是三种函数的综合，考查了二次函数的图像和性质，二次函数与不等式，待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，尺规作图，一次函数图象的平移等知识，数形结合思想是解本题关键．7．（1）①②④；（2）且k≠0；（3）直线MN为“三高四新”函数，理由见解析.【分析】（1）把x=3分别代入各个函数求值判断即可；（2）由一次函数是“三高四新”函数，得，再由函数与y轴的交点在y轴的正半轴，可知，即可求解；（3）由二次函数顶点式解析式可知顶点A的坐标为（3，0），分别设出直线AM、AN的解析式，由，可得k1k2=-1，由此AN所在直线可化为为y=-（x-3），因为点和点均在二次函数图象上，分别联立抛物线和直线的解析式，解得，，从而求出直线MN所在直线为y-=（x-3+），把x=3代入，解得y=4，由此即可判断直线MN为“三高四新”函数.【解析】解：（1）当x=3时，①；②；③；④；即函数①②④经过（3，4）点，“三高四新”函数为①②④；故答案为：①②④；（2）若关于x的一次函数是“三高四新”函数，即且k≠0，函数与y轴的交点在y轴的正半轴，，即，且k≠0；（3）直线MN为“三高四新”函数.理由如下：如图：点A的坐标为（3，0），设AM所在直线为y=k1x-3k1，AN所在直线为y=k2x-3k2，（k1k2≠0）∵，∴AM⊥AN，k1k2=-1，故AN所在直线可化为为y=-（x-3）∵点和点均在二次函数图象上，∴，解得，或（舍去），由，解得，或（舍去），设MN所在直线的方程为y=kx+b,将M,N点分别代入直线方程可得：k=k即直线MN所在直线为，当x=3时，y=·+=4，即MN所在直线国（3，4）点，∴直线MN为“三高四新”函数.【点评】本题主要考查与二次函数有关的新定义的概念，关键是要理解新定义的函数的特点，．8．（1）k＝5；（2）p＝±3；（3）k≥1．【分析】（1）由题意可得20﹣5＝k（4﹣1），求出k的值即可；（2）根据题意分两种情况求：当p＞0时，p﹣3≤y≤4p﹣3；当p＜0时，4p﹣3≤y≤p﹣3；分别求出p即可；（3）当x＝1时，y＝a2+6a﹣2，当x＝﹣1时，y＝a2﹣2a﹣2，当x＝a时，y＝3a2+2a，分四种情况讨论：①当a＜﹣1时，a2+6a﹣2≤y≤a2﹣2a﹣2，求出k＞4；②当a＞1时，a2+6a﹣2≤y≤a2﹣2a﹣2，求出k＞4；③当﹣1≤a＜0时，a2+6a﹣2≤y≤3a2+2a，求出1＜k≤4；④当0≤a≤1时，a2﹣2a﹣2≤y≤3a2+2a，求出1≤k≤4；进而可得k的取值范围．．【解析】解：（1）∵1≤x≤4，∴5≤y≤20，∴20﹣5＝k（4﹣1），∴k＝5；（2）∵1≤x≤4，当p＞0时，p﹣3≤y≤4p﹣3，∴（4p﹣3）﹣（p﹣3）＝3×3，∴p＝3；当p＜0时，4p﹣3≤y≤p﹣3，∴p﹣3﹣（4p﹣3）＝3×3，∴p＝﹣3；综上所述：p＝±3；（3）y＝﹣2x2+4ax+a2+2a＝﹣2（x﹣a）2+3a2+2a，当x＝1时，y＝a2+6a﹣2，当x＝﹣1时，y＝a2﹣2a﹣2，当x＝a时，y＝3a2+2a，①当a＜﹣1时，a2+6a﹣2≤y≤a2﹣2a﹣2，∴（a2﹣2a﹣2）﹣（a2+6a﹣2）＝k（1+1），∴k＝﹣4a，∴k＞4；②当a＞1时，a2+6a﹣2≤y≤a2﹣2a﹣2，∴（a2+6a﹣2）﹣（a2﹣2a﹣2）＝k（1+1），∴k＝4a，∴k＞4；③当﹣1≤a＜0时，a2+6a﹣2≤y≤3a2+2a，∴（3a2+2a）﹣（a2+6a﹣2）＝k（1+1），∴k＝（a﹣1）2，∴1＜k≤4；④当0≤a≤1时，a2﹣2a﹣2≤y≤3a2+2a，∴（3a2+2a）﹣（a2﹣2a﹣2）＝k（1+1），∴k＝（a+1）2，∴1≤k≤4；综上所述：k≥1．【点评】本题考查函数的新定义，能够理解新定义，并将定义应用到一次函数、二次函数中，结合函数的图象及性质进行分析是解题的关键．9．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据融合函数的定义求出，然后代入（1，5）求解即可；（2）设函数的解析式为，即可得到，则，然后求出，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）先求出，在由一元二次方程根与系数的关系得到，，根据，，得到，，则，求出，即可得到．【解析】解：（1）由题意得：反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”的解析式为，∵点（1，5）在函数图像上，∴，∴；（2）设函数的解析式为，由题意得：，∴，∵在时，函数取得最值，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵函数的对称轴为，函数开口向上，∴当时，在处有最小值，最小值；当时，在处有最小值，最小值；当时，在处有最小值，最小值；∴综上所述，；（3）由题意得：二次函数与一次函数的融合函数为，∵它们的“融合函数”与轴交点为、，∴，是一元二次方程的两根，∴，，∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，解题的关键在于能够准确理解题意．10．（1）2；；（2）或；（3）【分析】（1）把，分别代入中，求得对应的x的值，根据反比例函数的性质即可求得结果；（2）找到对称轴为直线，分及、三种情况考虑即可；（3）由条件可得a>0，c<0，利用根与系数的关系可得AB在x轴上的影长l为：，再由已知条件可得，从而可得l的取值范围．【解析】（1）把，分别代入中，得：x=−3，x=−1∵比例系数−3<0∴当x<0时，函数值随自变量的增大而增大∴∴“影长”为，“影长范围”为．（2）抛物线的对称轴为直线当，即-8≤a≤4时，由题意抛物线部分图象在y轴上的影长的最大值就是二次函数的最大值，故有解得：或（舍去）∴当，即a>4时，当时，函数值随x的增大而增大∴当x=2时，-4+4a=10解得：a=3.5(舍去)当，即a<-8时，当时，函数值随x的增大而减小∴当x=-4时，-16-2a=10解得：a=-13综上所述，或（3）∵，且实数∴a>0，c<0，b=-(a+c)设A、B两点的横坐标分别为m、n∴∴∴设AB在x轴上的影长为l则由a>2b=-2(a+c)，得；由2b=-2(a+c)>3c，得∴∵二次函数∴当时，函数值随自变量的增大而减小当时，；当时，∴∴∴线段AB在x轴上的“影长”的取值范围为【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，读懂材料并掌握反比例函数及二次函数的图象与性质是关键．本题难度较大，还涉及分类讨论思想．11．（1）；（2）24；（3）8【分析】（1）过点作轴，交轴于点，证明得出，求出点的纵坐标代入，即可得出结果；（2）由割补法得，计算即可得出结果；（3）设抛物线平移了个单位长度，则抛物线为，，求出点的坐标，代入，即可求出的值．【解析】如图，过点作轴，交轴于点，，，，令，代入得：，，，，，，点的纵坐标为16，令，代入得：，解得：或，；（2）如图，点是抛物线的顶点，，，，，，，；（3）如图，设抛物线平移了个单位长度，则抛物线为，，把代入得：，一次函数为，令，代入得：，，把代入得：，解得：或（舍去），抛物线平移了8个单位长度．【点评】本题是二次函数综合问题，考查了相似三角形、用待定系数法求一次函数解析、二次函数的图像与性质，掌握相关知识是解题的关键．12．（1）y＝x2＋x−；（2）（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）；（3）−＜k＜且k≠0或＜k＜【分析】（1）把A（−3，0），B（1，0），代入y＝ax2＋bx＋c，解方程组即可；（2）把C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝，分两种情况：①若AB为平行四边形的边时，②若AB为平行四边形的对角线时，得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；（3）分两种情况：①当E点在x轴上方时，②E点在x轴下方时，根据当α＝β时，列方程，可求出k的值，进而求出k的取值范围．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线经过A（−3，0），B（1，0），C（2，）三点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2＋x−；（2）如图1所示，将C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝，当x＝−1时，y＝−k＋b，即E（−1，−k＋b）．①若AB为平行四边形的边时，则F（-1+4，−k＋b）或F（-1-4，−k＋b），即：F（3，−k＋b）或F（-5，−k＋b），把F（3，−k＋b）代入y＝x2＋x−，得−k＋b=6，把F（-5，−k＋b），代入y＝x2＋x−，得−k＋b=6，又∵2k＋b＝，∴k=，b=∴F（3，6）或（-5，6）；②若AB为平行四边形的对角线时，则F和E关于x轴对称，∴F（−1，k-b），∴k-b=-2，又∵2k＋b＝，∴k=，b=，∴F（−1，-2），综上所述：F的坐标为（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）；（3）如图2所示，①当E点在x轴上方时，如图2所示，当α＝β时，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠AEH=∠EGH，∵∠AHF=∠FHG=90°，∴，∴，∵A（−3，0），E（−1，−k＋b），G（，0），∴，∴k2−bk−2＝0，联立方程，解得k＝−（k＝舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的度数越来越小，当E点和H点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程，解得，因此当−＜k＜且k≠0时，α＞β；②E点在x轴下方时，如图4所示，当α＝β时，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，根据①可得此时k＝（k＝−舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越小，∠EAH的度数越来越大，因此当＜k＜时，α＞β．综上所述可得，当α＞β时，k取值范围为−＜k＜且k≠0或＜k＜．【点评】本题考查的是一次函数、二次函数和相似三角形的判定和性质的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想方法是解题的关键．13．（1）；（2）8；（3）有3个，，或．【分析】（1）先求出A点，然后代入二次函数解析式即可；（2）先求出P点坐标，然后根据得到OP的函数解析式，再将P点代入PO函数解析式即可；（3）先用m表示出C、D两点的坐标，然后将与坐标轴所成的夹角等于转化成直线CD的k与直线AB的k相等或者互为相反数或者互为倒数或者互为负倒数，再列出方程解答即可．【解析】解：∵的图象分别与轴轴交于点，∴A（1，0），B（0，-2）（1）当二次函数过A点时，将A点（1,0）代入，得到，解得m=；（2）∵点是二次函数图象的顶点，∴点的坐标为．∵，∴过点，的一次函数表达式为．将的坐标代入，得，解得：（舍），．∴；（3）x=0时，y=m，故D点坐标为（0，m）y=0时，，解得且需要满足m2-4m≥0，即m≤0或m≥4，又m≠0，故m＜0或m≥4①当m=4时，D点为（0,4），x1=x2=-2，∴C（-2，0）满足∴直线CD的k，又直线AB的k2∴CD与y轴的夹角等于∠ABO，满足题意②m＜0或m＞4，若使CD与坐标轴的所成的夹角等于∠ABO则直线CD的k±2或者±∵C点的横坐标∴C（），D（0，m）∴或解得m=或4或∴m=或∴综上m有3个，，或．【点评】本题考查二次函数综合，第三问能够将角度关系转化成k的关系是解题关键．14．（1）二次函数的解析式为；（2）m的值为或；（3）点N的坐标为(，)或(，)或(，)．【分析】（1）先求得点B、C的坐标，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）先求得，∠ABP，设直线BP交轴于E，利用待定系数法求得直线BE的解析式，解方程组即可求解；（3）根据菱形的性质，分①当CN为对角线、②DN为对角线、③CD为对角线三种情况讨论，根据图形分别求解即可．【解析】（1）∵一次函数的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，令，则，令，则，∴B(4，0)，C(0，)，把B(4，0)，C(0，)代入，∴，解得：，∴二次函数的解析式为；（2）∵B(4，0)，C(0，)，∴OB=4，OC=，∴，∴，若∠ABC=2∠ABP，则∠ABP，设直线BP交轴于E，,∴OE=，∴E1(0，)或E2(0，)，设直线BE1的解析式为，∵B(4，0)，∴，∴直线BE1的解析式为，解方程，整理得，∴，即m的值为；同理可求得直线BE2的解析式为，解方程，整理得，∴，即m的值为；综上，m的值为或；（3）由（2）知，∵CD//x轴，∴，即，抛物线的对称轴为，∴CD=2，设点M的坐标为(，)，如图：①当CD、CM为边，CN为对角线时，则CD=CM=2，△MDC是等边三角形，∴点M在线段CD的垂直平分线上，∴，∴点M的坐标为(，)，∴点N1的坐标为(，)；②当CD、DM为边，DN为对角线时，同理可得点N2的坐标为(，)；③当CD为对角线时，根据菱形的对称性知：点M与点N关于对角线CD对称，∴点N3的坐标为(，)；综上，点N的坐标为(，)或(，)或(，)．【点评】本题是二次函数综合题，考查了菱形的性质、待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，特殊角的三角函数值，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考和解决问题，属于中考压轴题．15．（1）；；（2）点D的坐标为；（3）能，D点坐标为：或或【分析】（1）利用待定系数分别求出二次函数与一次函数的解析式，二次函数的解析式为，一次函数的解析式为；（2）由轴，，得到，则，设D点的坐标为，那么点E的坐标为，因此，解方程得到，即可得到D点坐标；（3）由，若，以点O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形；分类讨论：①当点D在点E上方，，得，．②当点D在E下方，，得．即可得到D点坐标．【解析】解：（1）设二次函数的解析式为，把代入得，二次函数的解析式为；设一次函数的解析式为，把，分别代入得，，，解得，，一次函数的解析式为；（2）轴，，，，即，设D点的坐标为，那么点E的坐标为，，，又由直线与y轴交于点C，点C的坐标为，，，解得（不合题意，舍去），，点D的坐标为；（3）以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形．理由如下：若，以点O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，①当点D在点E上方，，得，．（舍去），，．②当点D在E下方，，得．当，；当，．所以当D点坐标为：或或．【点评】本题是二次函数与几何相结合的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及平行四边形的性质、图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，有一定的难度．16．（1）；（2）①当是直角三角形时，P的坐标是或；②有，最小值为，．【分析】（1）求出A、C坐标，再由△ABC是以BC为底边的等腰三角形和四边形ABCD能构成平行四边形求出B、D坐标即可求二次函数的表达式；（2）①△APQ是等腰直角三角形，分两种情况讨论；②用t表示出四边形PDCQ的面积，再求最小值即可．【解析】（1）∵A，C分别是一次函数的图象与y轴，x轴的交点，在一次函数中，令得，令得，∴A（0，3），C（3，0），∵是以为底边的等腰三角形，∴OC=OB=3，B（-3，0），∵四边形能构成平行四边形，∴AD=BC=6，D（6，3），∵点B、D在二次函数的图象上，∴，解得，c=-17，∴二次函数的表达式为；（2）①设运动时间是t秒，则，AP=t，∵A（0，3），C（3，0），∠AOC=90°，∴，∵四边形是平行四边形，∴，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，分两种情况：（一），如答图1：∴，∴，解得，∴，（二），如答图2：∴，∴，解得，∴，综上所述，当是直角三角形时，P的坐标是或，（3）过Q作于M，如答图3：∵A（0，3），B（-3，0），C（3，0），是平行四边形，∴，而，∴，∴，当时，最小为，此时．【点评】本题主要考查了二次函数综合，特殊角的三角函数值以及二次函数最值求法等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．17．（1）（1，1）；（2）证明见解析；（3）－3．【分析】（1）根据“固定点”的定义直接计算即可；（2）令y＝x，得到x2＝k，解出x，再回代入反比例函数解析式，即可得到2个“固定点”；（3）先根据二次函数变换得到翻折到x轴上方的函数解析式为y＝－x2－bx－1，可知这个新函数的图像与y=x有一个交点，即x2＋(b＋1)x＋1＝0有两个相等的实数根，再根据判别式即可解得b的值．【解析】（1）存在点M（m，m）为一次函数y＝－2x＋3的图像上的“固定点”故m=-2m+3，解得m=1故一次函数y＝－2x＋3的图像上的“固定点”的坐标是（1，1）（2）证明：在y＝（k＞0）中，令y＝x，可得x2＝k．解得x1＝，x2＝－．将x1＝代入y＝中，得y1＝．将x2＝－代入y＝中，得y2＝－．因此反比例函数y＝（k＞0）的图像上存在