运筹学第一章

运筹学OperationalResearch王少帆信北314wangshaofan@绪论1、运筹学的发展历史（OperationalResearch,OR）名称由来：“夫运筹帷幄之中，决胜千里之外”Lanchester战斗方程(1914)Erlang(1917)的排队论公式(源于电话通信问题)；存储论(1920)的最优批量公式第二次世界大战英国雷达布防高射炮火力的问题，武器库设置问题等防空作战系统运行研究（1938,7）——“operationalresearch”苏联学者康托洛维奇对列宁格勒胶合板厂的计划任务建立线性规划模型（1939）；美国数学家G.B.Dantzig,求解线性规划问题的单纯形法（1947）；60年代华罗庚“优选法、统筹法”，国防科技的计划评审技术;计算机→运筹学的发展→实际问题的最优与满意解。

美国：研究用科学方法来决定在资源不充分情况下如何最好地设计人——机系统并使之最好地运行。２、运筹学的定义：德国：从事决策模型的数学解法的一门科学。英国：运用科学方法解决工业、商业、政府部门、国防部门中有关人力、机器、物质、金钱等大型系统的指挥管理方面出现的问题，其目的是帮助管理者科学地决策其策略和行动。３、运筹学的内容和分支规划论：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划等决策论：决策的原则、决策的方法等对策论——齐王赛马，矩阵对策排队论库存理论（存贮论）图与网络分析４、运筹学的本质以定量的模型化方法来描述和解决问题５、基本过程分析和表达问题（可控变量及有关参数、目标、可能的约束）；建立模型——数学模型,图论模型,网络模型等；求解模型，即寻找方案；检验(对解的最优性进行检验)；方案的分析、评价；存储空间分配，不同排队规则对磁盘工作性能的影响；计算机网络分组交换、操作系统中的作业调度，排队论；满足某组需求的文件查找次序，整数规划；管理信息系统，决策支持系统。规划论、决策论、对策论等。６、运筹学应用——计算机与信息系统7、主要参考书

运筹学基础及应用（第四版）,胡运权主编,哈尔滨工业大学出版社运筹学（第三版）,《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社

课件公用邮箱用户名 yunchouxue_bjut@密码 yunchouxue第一章线性规划（LinearProgramming）教学目的：本章重点引入线性规划问题的模型、几何性质、单纯形解法和线性规划的对偶定理。应理解和掌握线性规划的几何性质和求解原理，能针对实际问题，建立相应的线性规划模型。重点：线性规划问题的求解方法、解的基本性质以及对偶原理。难点：线性规划的单纯形法求解思想、矩阵表述、对偶理论以及灵敏度分析

问题1：某工厂计划生产甲、乙两种产品。所需的设备台时及A、B两种原材料消耗，详见下表该工厂每生产一件甲产品可获利2元，每生产一件乙产品可获利3元，问如何安排生产计划，可使利润最大？§1线性规划问题及其数学模型解：设x1，x2分别为甲、乙产品的数量，则有约束条件x1+2x2≤8

4x1≤16

4x2≤12

x1≥0，x2≥0，称x1，x2为决策变量目标函数maxz=2x1+3x2问题2：运输问题的运价、产量、销量如下表，如何安排调运，运费最小？

销地产地

运价

123产量A

B

2132

24

50

30

销量401525解：设x1j为从产地A运往销地j的物资数量(j=1,2,3),x2j为从产地B运往销地j的物资数量(j=1,2,3), 则有，目标函数：

minz=2x11+x12+3x13+2x21+2x22+4x23

约束条件:x11+x12+x13≤

50x21+x22+x23≤

30x11+x21≤

40x12+x22 ≤

15x13+x23≤

25xij≥0i=1,2；j=1,2,3总结：线性规划三要素：决策变量、目标函数、约束条件线性规划的特点:

目标线性、约束条件为线性不等式或等式一般情况下，其值均是正的定义：线性规划（LP）的一般模型为

目标函数：max(min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn

约束条件：a11x1+a12x2+…+a1nxn=（≤、≥）b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=（≤、≥）b2

…

…

…

am1x1+am2x2+…+amnxn=（≤、≥）bm

x1≥0，x2≥0，…，xn≥0其中：

C—价值向量

A—系数矩阵Ｘ－决策变量向量

b—资源向量其它表示形式：

形式：max(min)Z=cjxj

s.t.aijxj,=,bi，i=1,2,…,m

xj0，j=1,2,…,n

向量形式:max(min)Z=CXs.t.Pjxj,=,b

xj0，j=1,2,…,n

矩阵形式:max(min)Z=CXs.t.AX,=,bX0线性规划问题模型的标准型：分量形式：线性规划（LP）的标准型：目标函数：maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn

约束条件：a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1s.t.a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…

…

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

x1≥0，x2≥0，…，xn≥0

且bi≥0，若bi<0，则乘(-1)注:有些书中以min型目标函数为标准型∑(和)形式：目标函数maxz=∑cjxj

约束条件s.t.∑aijxj=bi，

i=1,…,mxj≥0，j=1,…,n向量形式:

目标函数maxz=∑cjxj

约束条件s.t.∑Pjxj=b

xj≥0，j=1,…,n矩阵形式:

目标函数maxz=CX

约束条件s.t.AX=b

X≥0任意痛线性炒规划输模型稍转化潮为标输准型在的方翠法：1、目多标最忙小化稻情况税：mi魔n肝Z姥=ma启x(―Z)=ma削xZ2、约桑束条外件为昌不等军式：“≥”：引衫进非梁负松崭弛变摄量xk≥0,不等萍式左杰端减夹去松惯弛变煎量,目标抖函数龄中xk对应个的系擦数取凤为零转。“≤”：引鄙进非祖负剩衬余变改量（凭也叫讽松弛贴变量掘）xl≥0,不等油式左竞端加乏上松擦弛变饺量,目标监函数类中xl对应惯的系坚数取圈为零元。3、决菌策变拼量xk是自沫由变扮量(无非予负限敞制)，或xj有上欲下界薪限制炒都可骂以引店进新垂的变上量，冒转化冶为变叔量≥0形式最。例肤如xk是自卸由变艰量，袄引进xl≥0,xm≥0,新变溜量，枝令xk=xl-xm，对应剑的目迟标系硬数仍悲为ck。4、当bi小于税零的近时候剩，在劝等式写两边秀同时洋乘以-1即可尖。“小拍加、顾大减煮、一谜变二猛”解：引进变量x3≥0、x4≥0，将自由变量换为x2=x3-x4

引进松弛变量x5≥0,松弛变量x6≥0得:maxZ’=-x1-2x3+2x4+0x5+0x6

2x1+3x3-3x4+x5=6s.t.x1+x3-x4-x6=4

x1-x3+x4=3

xj≥0,j=1,3,4,5,6例如：将下列线性规划问题化成标准型

minZ=x1+2x2

2x1+3x2≤6s.t.x1+x2≥4

x1-x2=3

x1≥0§2搏.1图解运法图解傻法不坚是解柏线性关规划酸的主字要方漫法,只是奥用于盲说明躬线性柄规划速解的蚀性质差和特坑点。龙只能艘解两乓个变聚量问骨题。（用默图解训法求垃解,线性宜规划缸不需戚要化塔成标笑准型既）图解微法的拌步骤爪：1、约眯束区犯域的粗确定2、目眨标函萍数等废值线3、平天移目稿标函队数等沫值线战求最惠优值§2线性铁规划肠图解提法线性付规划王解的模几种必可能捏情况1、唯仿一最却优解2、无倡穷多切最优携解3、无可胞行解4、无有第限最斜优解(无界翅解)例1：ma旅x莲z=2x1+属3x2s.汪t.x1+2藏x2≤84x1≤1歪6x1,x2≥0有唯颗一解x1x2可行域(4,2)z=14目标函数等值线画图愤步骤玻：1、约捷束区场域的侍确定2、目份标函阶数等孔值线3、平庸移目絮标函叨数等拆值线般求最叹优值有无档穷多五解线段Q1Q2上的切任意呆点都艰是最绿优解x2x1x1+2x2=84x2=123x1=12例2繁m诉ax第z竟=损2x1+4盖x2s.确t.系x1+2笑x2≤84x2≤稿123x1≤1签2x1,辰x2≥0Q1Q2约束莫条件症围不烤成区挣域(又称惨矛盾纲方程)无可箭行解例3：x1x2ma紧x异z=弱4x1+3植x2-3秋x1+2谣x2≤6s.辅t.腹-x1+3隶x2≥1叮8x1,溪x2≥涛0无有盆限最特优解(无界雹解)x1x2例4：-3x1+2x2=6图解领法得售出线刃性规碰划问相题解瞧的几凭种情掀况解的几种情况约束条件图形特点方程特点唯一解一般围成有限区域,最优值只在一个顶点达到无穷多解在围成的区域边界上,至少在两个顶点处达到最优值目标和某一约束方程成比例无可行解(无解)围不成区域有矛盾方程无界解(无解)围成无界区域,且无有限最优值缺少一必要条件的方程列向链量x=展(x1，x2，…，xm）T为m维列手向量煎。xRm线性银相关一组晨向量v1,…,vn,如果拖有一鼠组不押全为董零的甜系数α1,…,αn,使得:菌α1v1+…+αnvn=0，则誉称v1,…,vn是线伶性相蕉关的.线性旁无关一组奏向量v1,…,vn,如果湿对于穗任何谨数α1,…,αn,若要悦满足:束α1v1+…+αnvn=0衫,则必缓有系自数α1=…=αn=0别,(全为绕零)则称v1,…,vn线性龙无关(线性妖独立).矩阵A的秩设A为一拢个m×资n阶矩巨阵(m忌<n再)若矩呢阵中喉最大轧线性私无关纽奉列向都量个回数为k,则称倍矩阵A的秩么数为k,记为岗秩(A乔)=朴k.复习霸线性达代数垂内容:设线务性规帖划的唤标准谱形式镇：ma兄x且z=Σcjxj(1床)s.景t.均Σaijxj=bii=臭1,奥2,…,m掏(炕2)xj≥0棒j霸=1宿,2识,…,n笨(3确)可行判域：由嘴约束泼条件(2侍)、(3越)所围慕成的废区域扎；可行死解：满软足(2斤)、(3记)条件胶的解X=匪(x1，x2，…，xn)T为可行蜓解；基：设A是约决束条仿件方鼠程组自的m×检n维系净数矩饺阵,其秩貌为m，B是A中m×漠m阶非竹奇异霜子矩念阵，裂则称B为线熊性规镰划问欺题的恐一个基。设§2景.2线性毒规划逗问题绝解的大概念B=

=(p1,p2,…,pm)

a11a12…a1m

a21a22…a2m

…

…

…

am1am2…amm

基向捎量、璃非基增向量哥、基龟变量蛮、非女基变驻量：称pj(j=1断,2耳,…,m）为基向奖量，其使余称蜻为非基袍向量；与基彼向量pj(j=1狗,2杏,…,m）对练应的xj称为基变霞量，其辩全体继写成XB=（x1，x2，…，xm）T；否则肉称为非基坝变量，其鹅全体厘经常痰写成XN。基解：对仙给定福基B,设XB是对尿应于诊这个菜基的禾基变夏量XB=(扫x1，x2，…，xm)T；令非叙基变值量xm+厘1=xm+用2=…=xn=0，由（2）式夏得出洁的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T称为基解。基可宣行解:所有扩决策应变量础满足论非负帆条件(xj≥0洗)的基北解,称作基可屋行解。可行茂基：基丝式可行饶解所优对应酷的基慨底称妈为可行予基。基解苗的数辟目最但多为Cnm个。基可桌行解梯的数骆目一妹般小持于基乐解的唤数目;基解孕中非击零分类量的车个数洪小于m个时紫，基林解称铁为退鸣化解顷。以后劝在不叙声明恐的情核况下爬，均受假设蚕不出晌现退情化情肉况。可行丘解基解基可懒行解非可邀行解解的弃关系墙：凸集:（直富观）部图形存中连喂接任状意两住点的辅直线波全部交都在串图形科区域田内,称此迈图形易是凸乓的。严格径数学菊定义:设Ω为一n维欧事氏空屠间的巾点集,若任海意两茂点x1,x2∈Ω胁,有x=院λx1+(暑1-乡丰λ)被x2∈Ω，其视中λ∈孩[0，1]，则抢称Ω为凸湾集。§2拆.3线性身规划塑问题从的几食何意去义•x1•x2•x1•x2凸组缠合：设x(1券),x(2硬),…,x(k)是n维空不间中懂的k个点,若存士在μ1,μ2,…,μk(0血≤μi≤1隔i赖=1短,2他,…k且Σμi=1争)使x=身μ1x(1农)+μ2x(2迁)+…+μkx(k)成立,则称x为x(1左),x(2甲),…,x(k)的凸组企合。特怨别，叨平面厚上的裕两点x(1误),x(2话),连线强上任寇一点x的坐忧标为x=娃αx(1贫)+(殖1-旺α)碰x(2坦)0≤递α≤耗1.顶点伏：设K为凸跳集,x∈产K并且x不能旱用K内不挡同的眼两点x(1趋),x(2栽)(x巨≠x(1狸),x香≠x(2饼))的凸陪组合吧表示,则称x为顶点.定理1:线性雷规划熔问题左若存液在可胸行域,则其怎必是施凸集擦，亦袍即D=毫{X跪∣A决X=般b够,滥xj≥0聪}=夺{X乞∣睡,吴xj≥0荣}是凸孝集。凸集罢性质:设x(1手)≠x(2徐)为D内任类取两花点，肠则Ax(1漫)=b伏,A量x(2嫌)=b蜜,x(1托)≥0蜘,x(2缓)≥源0,令x为线晌段x(1跪),x(2庭)上任神一点,即有x=痒μx(1垄)+(既1-给μ)债x(2钥)(0贫≤μ驾≤1叔)则Ax堡=A睁[μ宇x(1派)+谷(1网-μ吨)喘x(2篮)]盆(母0≤旷μ≤浮1)=μ岔Ax(1诵)+A础x(2滔)-μ肿Ax(2滴)=μb闭+b–μb=b又因帆为x(1括)≥纠0,落x(2呼)≥舱0,奸0融≤μ即≤1所以x勾≥节0即x∈精D证毕证明例：线性增规划ma妖x郑z荐=C毒Xs.雹t.材AX困=bX≥0引理1.线性返规划叨问题抽的可壶行解X为基眨可行贱解的画充分期必要判条件宴是X的正蔽分量漆所对健应的商系数伟列向蛙量是我线性蛙独立穷的.证明:必要王性：斤已知X为线稠性规挤划的察基可献行解牢，要士证X的正朽分量冒所对北应的巧系数圣列向侍量线仓性独搁立。因为X还是碍可行喇解，庄所以胶其非链零分雁量全冷为正瓜；又沃因为X为基络本解涨，由框定义击，其洗非零孤分量丝式所对顶应的莫系数辨列向洗量线堆性独箱立。充分晨性：寻已知亿可行峡解X的正分子量所伴对应旺的系桥数列毁向量狮线性哲独立估，欲膛证X是线下性规迹划的披基可玩行解浮。X正分厘量对悬应的亩系数向量P1,购P2,…,Pk线性材独立,则必思有k≤冬m；当k=葬m时，糊它们珍恰构飘成一吉个基销，从哀而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为葵相应侵的基冶可行短解。k<虾m时，域则一器定可睬以从依其余魄的系怀数列宽向量熔中取邻出m-丛k个与P1,叹P2,…,Pk构成批最大搏的线嚼性独振立向池量组咐，其男对应肝的解愿恰为X，所猜以根愚据定羽义它肚是基猪可行情解。定理2：X是线拜性规艰划问捞题的绘基可伴行解折的充牌要条切件是帜它对傲应于可可行马域D的顶火点。告（线签性规宣划问市题的爸基可脂行解X对应援于可舞行域D的顶躺点。致）证明矿：不卸失一控般性吓，假葛设基卫可行边解X的前m个分阴量为竖正。狮故充分洽性（筝顶点基可秤行解格，用冤反证柱法）龟：由引辣理1，若X不是似基可宽行解昂，则逼其正岔分量笛所对誓应的泽系数突列向尼量P1,P2,…,Pm线性钥相关,即存拨在一宿组不搅全为久零的倍数αi,i=1苍,2抖,…,m（1）令X(1国)=[摘(x1-μ圣α1),呆(x2-μ腹α2),…,(演xm-μ史αm),份0,…,0跳]X(2采)=[馒(x1+μ唤α1),少(x2+μ告α2),…,(室xm+μ凭αm),返0,…,0假]当μ充分年小时,可保忙证xi±μ催αi≥0站i共=1杯,2竹,…,m允,即X(1侮),冷X(2控)是可胀行解江。由X(1梦),革X(2龄)可以劝得到X=传,即X是X(1抛),X(2锈)连线肥的中沟心。所以X不是永可行棋域D的顶喝点.使得α1P1+粒α2P2+…+αmPm=0（2）用一签个μ>长0的数筝乘（2）式范再分独别与动（1）相前加和莲相减才，这翠样得姿到(x1-μ钳α1)P1+(紧x2-μ吹α2)P2+…+(xm-μ占αm)Pm=b(x1+μ而α1)P1+(舰x2+μ示α2)P2+…+(xm+μ的αm)Pm=b必要悠性（史基可泥行解顶点拼，用锁反证探法）秒：X不