多元统计分析第5章层次分析法

第5章层次分析法（AHP）5.1AHP概述5.2AHP的基本原理5.3AHP的步骤5.4AHP的应用案例分析目前一页\总数六十四页\编于十九点5.1AHP概述层次分析法（AnalyticalHierarchyProcess，简称AHP方法)是由美国运筹学家萨蒂（）于20世纪70年代提出，是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的多目标属性决策方法。AHP的特点是：分析思路清楚，可将系统分析人员的思维过程系统化、数学化和模型化；分析时需要的定量数据不多，但要求对问题所包含的因素及其关系具体而明确；适用于多准则、多目标问题的决策分析，广泛用于地区经济发展方案比较、科学技术成果评比、资源规划和分析、企业人员素质测评、环境整治与污染控制、能源政策和分配、军事指挥、运输、农业、教育、医疗等社会、经济以及科学管理领域的较为复杂、较为模糊的问题分析中。在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便。目前二页\总数六十四页\编于十九点层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。系统要素层次矩阵权重5.2基本原理——先分解后综合的系统思想目前三页\总数六十四页\编于十九点AHP决策分析方法的基本原理，可以用以下的简单事例分析来说明。假设有n个物体A1，A2，…，An，它们的重量分别记为W1，W2，…，Wn。现将每个物体的重量两两进行比较如下：目前四页\总数六十四页\编于十九点若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关系，

若取重量向量W＝[W1，W2，…，Wn]T

，则有：

AW＝n•WW是判断矩阵A的特征向量，n是A的一个特征值。根据线性代数知识可以证明，n是矩阵A的唯一非零的，也是最大的特征值。A称为判断矩阵。上述事实告诉我们，如果有一组物体，需要知道它们的重量，而又没有衡器，那么就可以通过两两比较它们的相互重量，得出每一对物体重量比的判断，从而构成判断矩阵；然后通过求解判断矩阵的最大特征值λmax和它所对应的特征向量，就可以得出这一组物体的相对重量。目前五页\总数六十四页\编于十九点5.3层次分析法的步骤0明确问题1建立层次结构模型2构造（两两比较的）判断矩阵3层次单排序及其一致性检验（单一准则下的排序）4层次综合排序及其一致性检验目前六页\总数六十四页\编于十九点5.3层次分析法的步骤0明确问题在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问题时，首先要对问题有明确的认识，弄清问题的范围，了解问题所包含的因素，确定出因素之间的关联关系和隶属关系。目前七页\总数六十四页\编于十九点1建立层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。最高层—目标层：决策的目的、要解决的问题。中间层—准则层：考虑的因素、决策的准则。最低层—方案层或措施层：决策时的备选方案。5.3层次分析法的步骤目前八页\总数六十四页\编于十九点目标层准则1准则6目标A准则2准则3准则4准则5甲乙丙w1w2w3w4w5w6方案层准则层5.3层次分析法的步骤目前九页\总数六十四页\编于十九点以选拔干部为例

选拔干部品德x1才能x2资历x3年龄x4群众关系x5y1y2y3目标层方案层准则层目前十页\总数六十四页\编于十九点常见的多级递阶结构：完全相关性结构：上一层次的每一要素与下一层次的所有要素完全相关完全独立性结构：上一层要素都各自有独立的、完全不同的下层要素。混合性结构：是上述两种结构的结合，是一个既非完全相关又非完全独立的结构。目前十一页\总数六十四页\编于十九点完全相关性结构特点：上一层次的每一要素与下一层次的所有要素完全相关购一台满意的设备功能强价格低容易维修ABCeg目前十二页\总数六十四页\编于十九点特点：上一层要素都各自有独立的、完全不同的下层要素。减少交通事故损失防止事故发生减少事故损失促进恢复提高司机的安全责任感完全独立性结构提高车辆的操作技能改善道路设施提高车辆安全保障功能加强十字路口交通管理充实急救医疗体制健全医疗体制充实残疾人治疗培训体制目前十三页\总数六十四页\编于十九点混合结构特点：是上述两种结构的结合，是一个既非完全相关又非完全独立的结构。引进技术的综合效益提高技术水平提高经济效益提高装备水平提高企业素质国产化水平研究开发能力节汇创汇水平产品竞争能力国内经济效益人的技术素质经营管理水平目前十四页\总数六十四页\编于十九点5.3层次分析法的步骤2建立（两两比较的）判断矩阵判断矩阵表示针对上一层次某元素，本层次与它有关元素之间相对重要性的比较。判断矩阵A具有如下特征：①aij>0;

②aii=1（对角线上的元素）；③aji=1/aij（以对角线对称的元素互为倒数）；④aij=aik/ajk(i,j,k=1,2,….n)。满足前三个条件的矩阵为正互反矩阵。Cs

p1p2……pnp1a11a12……a1np2a21a22……a2n………………pnan1an2……ann判断矩阵A中的元素aij表示依据评价准则C,要素ai对aj的相对重要性。aij的值是根据资料数据、专家意见和评价主体的经验，经过反复研究后确定的。目前十五页\总数六十四页\编于十九点标度定义与说明1两个元素对某个属性具有同样重要性3两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要5两个元素比较，一元素比另一元素明显重要7两个元素比较，一元素比另一元素重要得多9两个元素比较，一元素比另一元素极端重要2,4,6,8表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度1/aij两个元素的反比较5.3层次分析法的步骤为了使判断定量化，关键在于设法使任意两个方案对于某一准则的相对优越程度得到定量描述。一般对单一准则来说，两个方案进行比较总能判断出优劣，层次分析法采用1-9标度方法，对不同情况的评比给出数量标度。目前十六页\总数六十四页\编于十九点品才资岁群品才资岁群xi比xjaij

值同样重要1稍重要3重要5很重要7极重要9①aij>0;

②aii=1（对角线上的元素）；③aji=1/aij（以对角线对称的元素互为倒数）；④aij=aik/ajk(i,j,k=1,2,….n)。设第i个因素的重要性指标为,则有易知：aij=aik/ajk判断矩阵1：相对于目标层，准则层间的对比矩阵(行比列)例：干部选拔目前十七页\总数六十四页\编于十九点相对于准则层，候选人之间的对比矩阵成对比较三个候选人的品德，得成对比较矩阵B1成对比较三个候选人的才能，得成对比较矩阵B2成对比较三个候选人的资历，得成对比较矩阵B3成对比较三个候选人的年龄，得成对比较矩阵B4成对比较三个候选人的群众关系，得成对比较矩阵B5目前十八页\总数六十四页\编于十九点其中，则叫各因素对于目标Z的权重,叫权向量.5.3层次分析法的步骤3层次单排序及其一致性检验层次单排序就是把本层所有各元素对上一层来说，排出评比顺序。层次单排序可归结为计算判断矩阵的特征向量：先求出最大特征根，然后再计算最大特征向量Ｗ。最常用的方法是求和法、迭代法、方根法和特征根法。AＷ＝λmaxＷ，其中Ｗ的分量（Ｗ１，Ｗ２，···，Ｗn）就是对应于n个要素的相对重要度，即权重系数。在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2,…,xn的线性组合:目前十九页\总数六十四页\编于十九点求和法步骤每一列归一化：对按列归一化的判断矩阵，再按行求和：将向量归一化：5.3层次分析法的步骤目前二十页\总数六十四页\编于十九点5.3层次分析法的步骤方根法计算判断矩阵每一行元素的乘积计算的n次方根：计算最大特征根目前二十一页\总数六十四页\编于十九点5.3层次分析法的步骤一致性检验判断矩阵中的aij是根据资料数据、专家的意见和系统分析人员的经验经过反复研究后确定。应用层次分析法保持判断思维的一致性是非常重要的，只要矩阵中的aij满足三条关系式（aii=1；aji=1/aij；aij=aik/ajk(i,j,k=1,2,….n)）时，就说明判断矩阵具有完全的一致性。若A为一致阵,则对应于特征根n的,归一化的特征向量(即分量之和为1)即表示各因素对上一层因素Z的权向量,各分量即为各因素对于Z的权重目前二十二页\总数六十四页\编于十九点5.3层次分析法的步骤判断矩阵一致性指标C.I.(ConsistencyIndex)：一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大，C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般情况下，若C.I.≤0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值是可以接受的。引入平均随机一致性指标R.I.(RandomIndex),随机构造500个成对比较矩阵：，可得一致性指标下表给出了1-16阶正互反矩阵计算500次得到的平均随机一致性指标。平均随机一致性指标目前二十三页\总数六十四页\编于十九点5.3层次分析法的步骤当n<3时，判断矩阵永远具有完全一致性。但随着n的增加判断误差就会增加，因此对于多阶判断矩阵，判断一致性时应考虑到n的影响，使用随机性一致性比值C.R.=C.I./R.I.，即使用判断矩阵一致性指标C.I.与同阶平均随机一致性指标R.I.之比来确定A的不一致性的容许范围。当C.R.<0.10时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致性，此时可用A的特征向量作为权向量。当C.R.≥0.10时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足C.R.<0.10，从而具有满意的一致性。目前二十四页\总数六十四页\编于十九点以干部选拔为例，计算各元素相对于目标层的权重使用mmult函数计算两个矩阵的乘积目前二十五页\总数六十四页\编于十九点0.460.260.050.100.13单位化后的各因素所占比重的权向量为验证一致性结论：A虽不是一致阵，但它具有满意的一致性，A的不一致程度是可以接受的。查表最大特征向量V=（20,11.5,2.2,4.5,5.5)目前二十六页\总数六十四页\编于十九点最大特征值=3.002；最大特征向量V=（0.113，0.325，0.939）同理，计算候选人相对于准则层各元素的权重0.460.260.050.100.130.0820.2360.682计算B1具有较满意的一致性权重向量先成对比较三个候选人的品德，得成对比较矩阵B1=0.001计算=0.001/0.58<0.1目前二十七页\总数六十四页\编于十九点同理，计算候选人相对于准则层各元素的权重最大特征值=3.006；最大特征向量V=（0.89，0.413，0.192）计算=0.003计算=0.003/0.58<0.1B2具有较满意的一致性权重向量成对比较三个候选人的才能，得成对比较矩阵B2目前二十八页\总数六十四页\编于十九点同理，计算候选人相对于准则层各元素的权重最大特征值=3；最大特征向量V=（0.688，0.688，0.229）B3为一致阵权重向量成对比较三个候选人的资历，得成对比较矩阵B3目前二十九页\总数六十四页\编于十九点同理，计算候选人相对于准则层各元素的权重最大特征值=3.009；最大特征向量V=（0.926，0.28，0.255）计算=0.0045计算=0.0045/0.58<0.1权重向量成对比较三个候选人的年龄，得成对比较矩阵B4B4具有较满意的一致性目前三十页\总数六十四页\编于十九点同理，计算候选人相对于准则层各元素的权重最大特征值=3；最大特征向量V=（0.236，0.236，0.943）权重向量成对比较三个候选人的群众关系，得成对比较矩阵B5B5为一致阵目前三十一页\总数六十四页\编于十九点5.3层次分析法的步骤4层次综合排序及其一致性检验利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序（确定最低层—方案层中每一元素（方案）在总目标（最高层）中的权重），就是层次总排序的任务。层次总排序需要从上到下逐层顺序进行。对于最高层而言，其层次单排序的结果也就是总排序的结果。对总目标Z的排序为：的层次单排序为：目前三十二页\总数六十四页\编于十九点5.3层次分析法的步骤4层次综合排序及其一致性检验即层第个因素对总目标的权值为：层的层次总排序为：B层的层次总排序AB目前三十三页\总数六十四页\编于十九点CI为层次总排序的一致性指标；

CIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的一致性指标；为了评价层次总排序结果的一致性，类似于层次单排序，也需要进行一致性检验。为此，需要分别计算下列指标：5.3层次分析法的步骤RI为层次总排序的随机一致性指标；

RIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的随机一致性指标；

CR为层次总排序的随机一致性比例。

当CR<0.10时，则认为层次总排序的计算结果具有令人满意的一致性；否则，就需要对本层次的各判断矩阵进行调整，直至层次总排序的一致性检验达到要求为止。也有研究表明，在AHP中不必检验层次总排序的一致性，故在实际操作中，总排序一致性检验常常可省略。

目前三十四页\总数六十四页\编于十九点干部选拔：层次综合排序及其一致性检验综合排序：y1得分=0.46×0.082+0.26×0.595+005×0.429+0.10×0.634+0.13×0.167=0.3同理可得：y2得分=0.245；y3得分=0.456故选y3为第1干部人选一致性检验总排序通过一致性检验，选择y3。目前三十五页\总数六十四页\编于十九点1.建立层次结构模型：包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下：3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵：从第二层开始用比较矩阵和1~9尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。4.计算总排序权向量并做一致性检验：计算最下层对最上层总排序的权向量。利用总排序一致性比率进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较矩阵。5.3层次分析法的步骤目前三十六页\总数六十四页\编于十九点优点：思路简单明了，它将决策者的思维过程条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受；所需要的定量化数据较少，但对问题的本质，问题所涉及的因素及其内在关系分析得比较透彻、清楚，实用。对层次分析法的简单评价缺点：存在着较大的主观性，粗略，不适用于精度较高的问题譬如，对于同样一个决策问题，如果在互不干扰、互不影响的条件下，让不同的人同样都采用AHP决策分析方法进行研究，则他们所建立的层次结构模型、所构造的判断矩阵很可能是各不相同的，分析所得出的结论也可能各有差异。目前三十七页\总数六十四页\编于十九点一般的思维过程首先,确定这些准则在你心目中各占的比重多大;最后,将这两个层次的比较判断进行综合,作出选择.其次,就每一准则将三个地点进行对比;例2:(假日旅游)有P1,P2,P3三个旅游地供选择,假如选择的标准和依据（准则）有:景色,费用,饮食,居住和旅途.层次分析法的步骤5.3层次分析法的应用案例分析目前三十八页\总数六十四页\编于十九点建立层次结构模型1景色居住旅途饮食费用准则(x)层为实现总目标而采取的各种措施和方案P1P2P3方案(y)层用于解决问题的各种措施和方案选择旅游景点目标(Z)层解决问题的目的(也叫总目标)5.3层次分析法的应用案例分析苏杭北戴河桂林目前三十九页\总数六十四页\编于十九点

某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,费用，居住,饮食,旅途5个因素对于目标Z的比较矩阵如下:得到:A=(xij),xij>0,xji=1/xij判断矩阵其中,x12=1/2表示景色x1与费用x2对选择旅游地这个目标Z的重要性之比为1:2.即日认为费用更重要.其他类同.构造成对比较矩阵(判断矩阵)25.3层次分析法的应用案例分析目前四十页\总数六十四页\编于十九点5.3层次分析法的应用案例分析用同样的方法构造第3层(方案层)对于第2层的每一个准则的成对比较矩阵,不妨设为:目前四十一页\总数六十四页\编于十九点

层次单排序及其一致性检验35.3层次分析法的应用案例分析成对比较矩阵的最大特征值表明通过了一致性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量目前四十二页\总数六十四页\编于十九点

对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：计算可知通过一致性检验。目前四十三页\总数六十四页\编于十九点

综合排序及其一致性检验45.3层次分析法的应用案例分析对总目标的权值为：又决策层对总目标的权向量为：同理得，对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。故最后的决策应为去桂林。又分别表示苏杭、北戴河、桂林，即各方案的权重排序为CI(3)=0.00176,RI(3)=0.58,CR(3)=0.003已有CR(2)=0.016于是CR*=0.019通过一致性检验!目前四十四页\总数六十四页\编于十九点例3：某公司有一笔资金可用于4种方案：投资房地产，购买股票，投资工业和高技术产业。评价和选择投资方案的标准是：收益大，风险低和周转快。试对4种投资方案做出分析和评价。5.3层次分析法的应用案例分析最好的投资方案风险低房地产收益大周转快股市工业高科技GC1C2C3p1p2p3p4目前四十五页\总数六十四页\编于十九点建立判断矩阵，计算各级要素的相对重要度，并进行一致性检验。131/313151/50.636GC1C1C2C2C3C31/3Wi0C.I.0.2580.1060.027﹤0.10p1C1p2p3p31/3Wi1C.I.0.2170.0650.037﹤0.10p1p2p4p411/33231751/711/31/21/5310.5840.135目前四十六页\总数六十四页\编于十九点p1C2p2p3p31/3Wi2C.I.0.5690.2660.073﹤0.10p1p2p4p415371/511/51/25131/721/310.0670.099p1C3p2p3p31/3Wi3C.I.0.250.0750.01﹤0.10p1p2p4p411/23221751/711/21/21/5210.5490.127由以上计算可知，一致性指标都在允许误差范围内，故所有相对重要度都是可以接受的。计算综合重要度：目前四十七页\总数六十四页\编于十九点p1Cip2p3Wip4计算综合重要度pjC2C1C30.2580.6360.1060.258×0.217=0.0560.636×0.569=0.3620.258×0.584=0.1510.258×0.065=0.0170.258×0.135=0.0350.636×0.067=0.0430.636×0.266=0.1690.636×0.099=0.0630.106×0.25=0.0270.106×0.549=0.0580.106×0.075=0.0080.106×0.127=0.0130.440.2520.1940.11结论：由以上所示各方案的相对重要性大小可知,选择投资房地产是最好的方案,而投资股市次之，投资工业第三，投资高技术产业最差。当然，如果构造的判断矩阵不同，回得出相异的结论。目前四十八页\总数六十四页\编于十九点例4：某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知