差分定位模糊度计算公式推导

载波双差观测方程及模糊度计算公式推导一)、载波双差方程推导载波观测量方程一般形式为：九申+九N=p+c(81—Sts)+£u 0Q pStStu5ts分别为接收机钟差和卫星钟差，r为与大气有关的传播误差。站间单差：设有测站TT2分别对j号星进行了观测，则可得观测方程为：九Qj+九Nj—pj+c(51—5tsj)+£jTOC\o"1-5"\h\z1 1 u1 01九Qj+九Nj—pj+c(51—5tsj)+£j2 2 u2 02两式相减，得站间单差方程为：九(Qj—Qj)+九(Nj—Nj)—(pj—pj)121212+c(5t—5t)+(£j—£j)u1 u2 01 02站间单差观测方程消去了卫星钟差5tsj。星间双差：同理，两站对k号星进行观测，可得单差方程为:九(Qk—Qk)+X(Nk—Nk)—(pk—pk)111212+c(5t—5t)+(£k—£k)u1 u2 01 02两式相减，得到站间单差后的星间双差表达式为：九［(申j―申j)-(申k―申k)］+九［(Nj-Nj)-(Nk-Nk)］12121212=(pj—pj)—(pk—pk)+(£j-£j)—(£k—£k)1 2 1 2 Ql 02 ©1 02星间双差消去了接收机钟差5 故双差观测方程中不含卫u星和接收机钟差影响。式中：［(旳—莺)—(肾—彩)］为双差载波相位观测值，用AV"k表示；(Plj—PJ—(Pf—P2)为接收机到卫星几何距离的双差值，用AVpkj表示；(£0ij—£02j)—(£0ik—£02)为与大气有关延迟的双差观测值，短基线(<1km)情况下，可以近似为0，长基线情况下，要考虑电离层延迟，用LC组合观测消除，以下公式推导默认为短基线情况。则双差观测方程式可以写为：XeAVpj+九N=AVpjkk假定两站T1为参考站，坐标为已知，T2为移动站，坐标未知，仅通过单点定位得到概率坐标［X0YoZo］。对pj，由于移动站坐标非精确已知，对其在测站2初始坐标［X0YoZ0］进行泰勒展开，得到线性化方程为：5x2pj=pj+［ljmjnj］•5y22025z2式中，p20为用测站2初始坐标［XoYoZo］计算得到的卫星到测站的近似几何距离，[ljmjnj]为方向余弦，计算公式如下：lj=(Xj-X)/pj020mj=(Yj-Y)/pj020nj=(Zj—Z)/pj0205x2、5y2、5x2、5y2、5z2为测站2坐标修正量。则接收机到卫星几何距离双差值AVpk可表示为：AVpj=(pj-pj)-(pk-pk)=(pj-pj)-(pk-pk)k i 2i2+AVljkAVmjkAVnjk•i05xi5yi5zi20i020=AVpj+AVljkk0AVmjkAVnjk•5x15yi5zi式中，AVljk、AVmjk、AVnjk为方向余弦双差值，即两颗卫星相对于移动站的方向余弦的双差，实际计算中为其他星方向余弦减去基准星方向余弦。则双差观测方程式可以线性化为：九・AV申九・AV申j+九N=AVpj+「AVljkk k0 i2AVmjk12AVnjk•i25x15yi5z合并未知数，变换为：AVljk AVAVljk AVmjk AVnj121212-5x1-5y1-5z1九N=AVpj—九•AV申jk0 k若两测站共视星为m颗，k号星为高度角最高卫星，设为基准星，即星间双差时所有卫星单差观测方程均减去k号星单差观测方程，可得到m-1个方程。供需计算m-1个模糊度未知数，基准星模糊度为0。则可得到观测方程为：AVlikAVmikAVlikAVmikAVnikE0i2i2i2AVl2kAVm2kAVn2k0Ei2■i2i2■■AVlmkAVmmk■AVnmk0i2i2i2AV11kAVm1kAVn1k121212令：A=AV12kAVm2kAVn2k12■1212■AV1mk12AVmmk12AVnmk12AVpi—X*AV^ik0 kAVp2—X・AVq2k0 k-5x1-5x1-5x1九N1九N2AVpi一九•AV申ik0 kAVp2一九・AV申2k0 k■■AVpm—九•AV申mk0 k—5x1—5yi—5zi则某一历元观测m颗卫星的双差观测方程为：A•X+九N=[aE]•% =l卜N_上式中，A为方向余弦双差值；X为三维坐标修正值向量；N为模糊度未知数，与历元变化无关；L为接收机到卫星的距离的双差值减去载波相位观测量双差值，为已知常数量。设有n个历元,每一历元跟踪m颗卫星，可列出其双差方程组A•X+N=L111A•X+N=L〃222A•X+N=Lnnn对双频观测值，初始计算模糊度时，一般先计算宽巷模糊度Nw使用的载波相位观测值为L1、L2观测值之差。（二）、静态观测各历元坐标改正量相等，X1=X2二…=XN。N历元观测矩阵形式为：(AE\rl)1iAErx]L2•2• •• •♦ ♦<N‘•■■lAE)n:L)nA其中i为（m-l）X3矩阵，双差方向余弦阵。E为（m-l）X（m-l）矩阵，模糊度对应的系数阵。

X为3X1矩阵，坐标改正量。N为（m-l）Xl矩阵，模糊度。Li为（m-l）Xl矩阵，常数阵，载波观测双差值。其法方程形式为：BtPB•X=BtPL，即X=(BtPB)-1•BtPLBt•b=Bt•b=厂At1IEAT2E(AiA•2■E、E■■■E丿(AtA+AtAh FAtA At+AtH FAt'TOC\o"1-5"\h\z1122 nn 1 2 njA+A+•…+A E 丿1 2 n该阵可具体分解为(3x3 3x(m-1)'j(m—1)x3(m—1)x(m—1)丿，即为(m+2)X(m+2)矩阵。(ATBT(ATBT•L=j1jEAT2E•(l11l2(丿•jJL丿JATnEnAtL+AtLf +LtA1 1 2 2 nnflii=1该阵为（m+2）Xl矩阵。可解得坐标改正量和模糊度浮点解对应量为：（X\=（BtB）-1•BtLJN丿其中（BtB）—1即为协因数阵Q,N为模糊度浮点解（此处N以实际距离量表示，计算模糊度浮点解时需要除以相应波长，或者在将

前面公式改为AnXn+""=Ln,后面公式相应进行推算）。将Q和N代入Lmbda算法中，即可求得模糊度整数解。（三）、动态观测各历元坐标改正量不等，分别为X,X，…,X。1 2 N(X\1X2•丿■■X丿丿nLN丿丿00■■A

00■■A

nAnA(ATA)-1AT111 1A(ATA)-1AT222 2■■A(ATA)-1ATnnnnnEA(ATA)-1ATL1 1 1 11A(ATA)-1ATL22 2 22■■A(ATA)-1ATLnnnnn艺l.(AE、(X、0…01(l)1Xi0A0E2l•2••••■■=2•■■••••■■X■■100•…AnEJnLN丿LlJn其法方程形式BtPB•X-BtPL为:(ATA00AT)(X、(atL)11丿111丿1丿ATL丿0ATA0ATX222222•■•••••■•■■—X丿丿ATL丿•■■ATAATnnLA1A2n n•…AnnnE丿nLN丿艺l.i=1将上式前n行分别左乘A.（A.TA.）-1，得到如下矩阵:(A010A2■■\AA12将最后一行分别减去上面各行，得到:(nE—^A(AtA)-iAt)•N= A(ATA)—1ATL・・・・・・・・・・iiiiiiiiiiTOC\o"1-5"\h\zi=1 i=1 i=1即：艺(E—A(AtA)-1At)•N上(L—A(AtA)-1AtL)iiii iiiiiii=1 i=1上(E—A(AtA)-1At)•Liiii ii=1令：B=E—A(AtA)-1Ati iiii则上式可以简化为：KB•N=K(B・•七)i=1 i=1得到整周模糊度向量：N=(丫BJ-1 (B.•七)i=1 i=1计算L1载波模糊度N1由上面两种方法计算并通过Lambda方法可固定宽巷模糊度。在短基线(<1km)不考虑双差电离层残余情况下，对宽巷模糊度和宽巷观测值：A•X+九N=[AE]•wwwwAVp1一九・AV申1k0 w kwAVp2—九•AV(p2L= k0 w kwwAVpm—九•AVpmk0w kw对L1载波模糊度和观测值：A•XA•X+九N=[a11E]•11AVpi一九・AV申iTOC\o"1-5"\h\zk01 k1AVp2一九•AV(p2k01 k1AVpm—九•AVpmk01 k1通过以上两式，可得如下方程：L―九N二L―九N二A•X111www推出：N=(九N+L—L)/九=(九N+九AVp—九AVp)/九1ww1w1wwww111=九(N+AVp)/九—AVpwww11通过该式可以根据宽巷模糊度计算出L1模糊度N1的浮点解，通过搜索算法固定N1模糊度。实际计算时，通常通过一定数目历元加权平滑得到3颗卫星的N1模糊度，然后通过最小二乘搜索算法得到其他卫星模糊度。电离层延迟误差特性分析：对载波相位观测值PfP2的电离层误差可做如下推导:40.28TECA= TOC\o"1-5"\h\zionl f2140.28TECA= ion2 f22两式相除：A 九申f2ionl=一1ionl= 2A 入0—f2，ion2 2ion2 1将入/=c（c为光速）代入上式，得：.1ionl入02ion22ionl.1ionl入02ion22ionl,即1ion20ionl厂ion22l以上两式说明，对L1、L2两相位载波观测值而言，其电离层延迟距离与频率的平方成反比，电离层延迟化成以周数为单位后( 0ionl、 0ion2)与频率成反比。在长基线情况下(>1km),考虑双差观测值中的电离层残差，用LC组合观测值辅助计算N1。定义消电离层组合(LC组合)为：f2 ff ff f2—ff0= l0— 12 0=l （0—0）+l120TOC\o"1-5"\h\zcf2—f21f2—f22f2—f2 1 2f2—f2 1l2 l2 l2 l2ff f ff f=1 （0—0）+10=10+10f2—f2 1 2 T+T1f2—f2w -f+f112121212根据组合观测定理可得，电离层组合(LC组合)模糊度为:12定义消电离层组合(LC组合)为：f2 ffQ= 1Q- 12少cf2-f21f2-f221212式中：Qc、Q1、Q2均为原始观测值或其组合值，满足下面观测方程：九申+九N=p+c(St—Sts)+£u 0将