第1课时三角函数的基本概念（原卷版）

第四章三角函数第1课时三角函数的基本概念编写：廖云波【回归教材】1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的；②分类：角按旋转方向分为、和．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2.象限角第一象限角的集合为；第二象限角的集合为；第三象限角的集合为；第四象限角的集合为.3.弧度制(1)定义：把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝rad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝.(3)扇形的弧长公式：l＝，扇形的面积公式：S＝＝.4.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域一象限符号二象限符号三象限符号四象限符号sinαRcosαRtanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}【典例讲练】题型一角的有关概念【例1-1】在与495°角终边相同的角中，用弧度制表示满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)在区间内的角.【例1-2】将下列角度化为弧度，弧度转化为角度(1)(2)(3)(4)(5)(6)【例1-3】设是第四象限的角．(1)试讨论是哪个象限的角；(2)写出的范围（选讲）；(3)写出的范围．【例1-4】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).归纳总结：【练习1-1】把表示成，的形式，则的值可以是（）A．B．C．D．【练习1-2】已知集合，，则（）A．B．C．D．题型二三角函数的定义【例2-1】已知角α的终边与单位圆的交点为P，则＝______．【例2-2】已知是角终边上一点，且，则的值是（）A．B．C．D．归纳总结：【练习2-1】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（）A．B．C．D．【练习2-2】已知角的终边经过点，且，则（）A．B．C．D．题型三利用三角函数的定义解三角不等式【例3-1】集合A＝[0,2π]，B＝{|sincos}，则A∩B＝_______.【例3-2】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围.(1);(2).归纳总结：【练习3-1】设，则的大小关系为（）A．B．C．D．【练习3-2】求下列函数的定义域：（1）；（2）.题型四弧度制的应用【例4-1】已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.(1)若，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．【例4-2】已知半径为6的圆中，弦的长为6.(1)求弦所对圆心角的大小；(2)求圆心角所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积【例4-3】如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积__________．归纳总结：【练习4-1】已知一扇形的圆心角为，周长为C，面积为S，所在圆的半径为r．(1)若，cm，求扇形的弧长；(2)若cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【练习4-2】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（）A．B．C．D．【练习4-3】已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的底面半径为______.【完成课时作业（二十四）】【课时作业（二十四）】A组础题巩固1．下列说法正确的是（）A．终边相同的角相等B．相等的角终边相同C．小于的角是锐角D．第一象限的角是正角2．已知角的终边经过点，且，则（）A．B．1C．2D．3．设是第一象限的角，且，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．或D．不确定5．《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩膀近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米．“弓”所在圆的半径约为1米．则掷铁饼者双手之间的距离约为（）（参考数据：，）A．1.412米B．1.414米C．1.732米D．1.734米6．设，，，则（）A．B．C．D．7．设，使且同时成立的取值范围是（）A．B．C．D．8．对于下列四个命题：①；②；③；④.其中正确命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④9．【多选题】下列说法错误的是（）A．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是B．若角，则α角为第二象限角C．若角α为第一象限角，则角也是第一象限角D．在区间内，函数与的图象有3个不同的交点10．终边在直线上的角构成的集合可以表示为_________.11．函数的定义域为____________.12．和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：469密位写成“”1周角等于6000密位，记作“”.如果一个扇形的半径为2，面积为，则其圆心角可以用密位制表示为________.13．已知某圆锥的底面周长为4π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为_______．B组挑战自我1．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）A．B．C．D．2．设地球半径为R，地球上北纬30°圈上有A，B两点，点A在西经10°，点B在东经110°，则点A和B两点东西方向的距离是___________.3．如图所示，某小区有一个半径为40米、圆心角为的扇形花圃OPQ，点