2019-2020年北师大版数学选修1-2讲义第3章§2 数学证明及答案

n2222222019-2020年师大版数学选修1-2讲：第章§2数证明及答案n222222

数学证明学习目标1.理解演绎推理的概念．重点)

核心素养通过对演绎推理的理解2．掌握演推理的基本模式，并能用它们进行一些简单及应用，提升学生的数的推理．(重点)3．能用“段论”证明简单的数学问题．(难点)

学抽象和逻辑推理的核心素养.1．证明证明命题的依据：命题的条件和已知的定义、公理、定理．证明的方法：演绎推理．2．演绎理的主要形式演绎推理的一种形式：三段论，其推理形式如下：大前提：提供了一个一般性道理．小前提：研究对象的特殊情况．结论：根据大前提和小前提作出的判断．[特别提醒]运用三段论推理时省略大前提或小前提复杂的证明，也常把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提1．下面几推理中是演绎推理的为()A．由金银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列

11，，，…的通项公式为＝(N)1×2233×4n＋C．半径为r圆的面积S＝r

2

，则单位圆的面积S＝D．由平面直角坐标系中圆的方程为(－)＋(－b)＝r，推测空间直角坐标系中球的方程为(－a)

＋－b)

＋(－)

＝r

2C[AB归纳推理，D为类比推理，C为演绎推．]-18

2an12019-2020年师大版数学选修1-2讲：第章§2数证明及答案2an12．下面几推理过程是演绎推理的是()A．两条线平行，同旁内角互补，如果∠与∠B两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠＝180°B．某校高三(有55人班有54，(3)有52，由此得出高三所有班级中的人数都超过人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质1D．在数列{}，a＝1＝n1出a的通项公式n

1a＋，通过计算a，aa猜想－3nA

[A演绎推理，B，是归纳推理，是类比推理．3．函数＝2＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：大前提：_____________________________________________小前提：_____________________________________________结论：[答案]一次函数的图像是一条直线函数y＝2＋5一次函数函数y＝2＋5图像是一条直线把演绎推理写成三段论的形式【例1】

将下列演绎推理写成三段论的形式．一切奇数都不能被2除，75能被整除，所以是奇数；三角形的内角和为180°，RtABC的角和为；通项公式为a＝3n＋2(n2)的数列{a}等差数列．nn思路点拨：三段论推理是演绎推理的主要模式推理形式为“如果⇒，a⇒b则⇒.其中⇒c为大前提提供了已知的一般性原理⇒b小前提，提供了一个特殊情况；ac为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．[解]一切奇数都不能被整除．(大前提)75能被整除(前提)-28

n2019-2020年师大版数学选修1-2讲：第章§2数证明及答案n75奇数．(论)三角形的内角和为180°.(前提)Rt△是三角形．(前提)Rt△的内角和为180°.(论)数列{}果当≥时

－a为同一常{nn1

n

}差数列大前提)通项公式＝32，n≥2，na

－a＝n2[3n1＋2]＝常数)．(前提)nn通项公式为＝＋2(n≥2)数列{n

n

}差数列．(结论)把演绎推理写成“三段论”的一般方法1．“三段论”写推理过程时，键是明确大、前提，段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．2．寻找大前提时，保证推理的正确性，以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．1．将下列绎推理写成三段论的形式．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；等腰三角形的两底角相等∠∠B是腰三角形的两底角则∠A∠.[解]平行四边形的对角线互相平分，(前提)菱形是平行四边形，小前提)菱形的对角线互相平分．(论)等腰三角形的两底角相等，(前提)-38

2019-2020年师大版数学选修1-2讲：第章§2数证明及答案∠A，∠B等腰三角形的两底角，(小前提)∠A∠.(结论)演绎推理在几何中的应用【例2】如图所示，D，EF分别是，CA边上的点，∠BFD＝∠A∥BA，求证＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．思路点拨：用三段论的模式依次证明：DF，四边形AEDF平行四边形，DEAF[解]同位角相等，直线平行，(大前提)∠BFD∠是同位角，∠BFD∠，小前提)所以DF.(结论)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(前提)DE且DF∥EA，(前提)所以四边形AEDF平行四边形．结论)平行四边形的对边相等，(前提)DEAF平行四边形对边，(小前提)所以＝AF结论)“三段论”证题的步骤及一般原理1．“三段论”明命题的步骤理清楚证明命题的一般思路；找出每一个结论得出的原因；把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．2．何证明问题中，一步都包含着一般性原理，可以分析出大前提和小-48

32019-2020年师大版数学选修1-2讲：第章§2数证明及答案3前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．2．证明：果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．[解]已知在梯形中(图所示)＝DCAD和它的对角线，证CA平分∠BCD，BD分∠CBA.证明：①等腰三角形的两底角相等(前提)△DAC等腰三角形，DCDA，小前提)∠1∠2.(论)②两条平行线被第三条直线所截内错角相等，(大前提)∠1∠3平行线，被所截的内错角，(小前提)∠1∠3.(论)③等于同一个量的两个量相等(前提)∠2，∠3等于∠1，小前提)∠2∠3等．(结论)即分∠BCD.④同理平分∠演绎推理在代数中的应用[探究问题]1．绎推理的结论一定正确吗？[提示]演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围所以在演绎推理中只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．12．为对数函数＝xa0a≠是增函数，而＝对数函数，-58

aa2019-2020年师大版数学选修1-2讲：第章§2数证明及答案aa所以ylog

13

x是增函数．上面的推理形式和结论正确吗？[提示]推理形式正确，结论不正确．因为大前提是错误的【例3】

b＋m已知a，b，m均为正实数，ba，用三段论形式证明：<.a＋m思路点拨：利用不等式的性质证明[解]因为不等式两边同乘以一个正数，等号不改变方向，(大前提)b<a，m>0，小前提)所以mb.(结论)因为不等式两边同加上一个数不等号方向不变，(大前提)<，(小前提)所以mbabmaab，ama(b)(结论)因为不等式两边同除以一个正数不等号方向不变，(大前提)bama(b)，a)>0，小前提)所以

ba＋m，即<结论)aaa代数问题中常见的利用三段论证明的命题1．数问题：比如函数的单调性奇偶性、周期性和对称性等．2．数的应用：利用导数研究函数的单调区，函数的极值和最值，明与函数有关的不等式等．3．角函数的图像与性质4．列的通项公式递推公式以及求和，数列的性质．5．等式的证明-68

2b2019-2020年师大版数学选修1-2讲：第章§2数证明及答案2ba＋b3．当a，b为正实数时，求证：≥ab[解]因为一个实数的平方是非负实数，(大前提)ab而－ab2

a2

－

实数的平，(前提)2所以

aba－ab非负实数，即－ab0.22所以

ab2

≥ab结论)1．演绎的提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．在演绎推理中，前提与结论之间存在着必然的联系只要前提是真实的推理的形式是正确的那么结论也必定是正确的因而演绎推理是数学中严格证明的工具．2．“三段”的常用格式可以解释为大前提：M是P；解释为中的元素都具有P性质小前提：S是M；解释为中的元素都是M中的元素)结论：S是P.(解释为S中的元素都具有性质)3段论中的大前提提供了一个一般性的原理小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式即与M的包含关系)是否正确．1．判断正“三段论”就是演绎推理．()演绎推理的结论是一定正确的．()演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()[答案]×

(2)×

×-78

22019-2020年师大版数学选修1-2讲：第章§2数证明及22三论证明命题任何实数的平方大于0为a是实数以

2

>0”，你认为这个推理()A．大前错误C．推理形式错误

B．小前提错误D．是正确的A

[这个三段论推理的大前提是“何实数的平方大于0”小前提是a实数”，结论是“a>0”．然结论错，原因是大前提错误．]3．如图所，因为四边形是平行四边形，所以AB＝CD，＝AD.又因为△ABC和△的三边