初等数论试题及答案

初等数论试题及答案初等数论练习题一一、填空题1、(2420)=27；(2420)=_880_2、设a，n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}.4、同余方程9x+12≡0(mod37)的解是x≡11(mod37)。5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18ttZ。.6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_(m)_。02013初等数论练习题及答案78、=-1。02013初等数论练习题及答案9、若p是素数，则同余方程xp1二、计算题1、解同余方程：3x211x200(mod105)。解：因105=357，同余方程3x211x200(mod3)的解为x1(mod3)，同余方程3x211x380(mod5)的解为x0，3(mod5)，同余方程3x211x200(mod7)的解为x2，6(mod7)，故原同余方程有4解。作同余方程组：xb1(mod3)，xb2(mod5)，xb3(mod7)，其中b1=1，b2=0，3，b3=2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x13，55，58，100(mod105)。2、判断同余方程x2≡42(mod107)是否有解？故同余方程x2≡42(mod107)有解。3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。解：易知1271≡50（mod111）。由502≡58（mod111），503≡58×50≡14（mod111），509≡143≡80（mod111）知5028≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod111）从而5056≡16（mod111）。故（127156+34）28≡（16+34）28≡5028≡70（mod111）三、证明题1、已知p是质数，（a，p）=1，证明：（1）当a为奇数时，ap-1+(p-1)a≡0(modp)；（2）当a为偶数时，ap-1-(p-1)a≡0(modp)。证明：由欧拉定理知ap-1≡1(modp)及(p-1)a≡-1(modp)立得（1）和（2）成立。2、设a为正奇数，n为正整数，试证≡1(mod2n+2)。(1)证明设a=2m1，当n=1时，有a2=(2m1)2=4m(m1)11(mod23)，即原式成立。设原式对于n=k成立，则有1(mod2k+2)=1q2k+2，其中qZ，所以=(1q2k+2)2=1q2k+31(mod2k+3)，其中q是某个整数。这说明式(1)当n=k1也成立。由归纳法知原式对所有正整数n成立。3、设p是一个素数，且1≤k≤p-1。证明：（-1）k(modp)。证明：设A=得：k!·A=（p-1）(p-2)…（p-k）≡（-1）(-2)…（-k）(modp)又（k!，p）=1，故A=（-1）k(modp)4、设p是不等于3和7的奇质数，证明：p6≡1(mod84)。说明：因为84=4×3×7，所以，只需证明：p6≡1(mod4)p6≡1(mod3)p6≡1(mod7)同时成立即可。证明：因为84=4×3×7及p是不等于3和7的奇质数，所以（p，4）=1，（p，3）=1，（p，7）=1。由欧拉定理知：p(4)≡p2≡1(mod4)，从而p6≡1(mod4)。同理可证：p6≡1(mod3)p6≡1(mod7)。故有p6≡1(mod84)。注：设p是不等于3和7的奇质数，证明：p6≡1(mod168)。（见赵继源p86）初等数论练习题二一、填空题1、(1000)=_16_；（除数函数：因数的个数）σ(1000)=_2340_.（和函数：所有因数的和）2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是199__.3、费尔马(Fermat)数是指Fn=+1，这种数中最小的合数Fn中的n=5。4、同余方程13x≡5(mod31)的解是x≡29(mod31)___5、分母不大于m的既约真分数的个数为(2)+(3)+…+(m)。6、设7∣(80n-1)，则最小的正整数n=_6__.7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=__559__.8、=_1__.9、若p是质数，np1，则同余方程xn1(modp)的解数为n.二、计算题1、试求被19除所得的余数。解：由2002≡7(mod19)20022≡11(mod19)20023≡1(mod19)又由20032004≡22004≡（22）1002≡1(mod3)可得：≡20023n+1≡(20023)n×2002≡7(mod19)2、解同余方程3x144x106x180(mod5)。解：由Fermat定理，x5x(mod5)，因此，原同余方程等价于2x2x30(mod5)将x0，1，2(mod5)分别代入上式进行验证，可知这个同余方程解是x1(mod5)。已知a=5，m=21，求使ax1(modm)成立的最小自然数x。解：因为（5，21）=1，所以有欧拉定理知5(21)≡1(mod21)。又由于(21)=12，所以x|12，而12的所有正因数为1，2，3，4，6，12。于是x应为其中使5x1(mod12)成立的最小数，经计算知：x=6。三、证明题1、试证13|(54m+46n+2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)证明：54m+46n+2000252m+642n+2000（-1）2m+（-1）2n+200020020(mod13)。2、证明Wilson定理的逆定理：若n>1，并且(n1)!1(modn)，则n是素数。证明：假设n是合数，即n=n1n2，1<n1<n，由题设易知(n1)!1(modn1)，得01(modn1)，矛盾。故n是素数。3、证明：设ps表示全部由1组成的s位十进制数，若ps是素数，则s也是一个素数。证明：假设s是合数，即s=ab，1，其中M＞1是正整数。由pa＞1也是正整数知ps是合数，这与题设矛盾。故s也是一个素数。4、证明：若2p1是奇素数，则(p!)2(1)p0(mod2p1)。证明：由威尔逊定理知1(2p)!=p!(p1)(2p)(1)p(p!)2(mod2p1)，由此得(p!)2(1)p0