医学物理学：05第四章 振动

粘性流体的流动粘性流体的运动规律层流、湍流、过渡流动的概念牛顿粘滞定律雷诺数泊肃叶定律斯托克司定律（粘性）（测定粘性）复习简谐振动的合成简谐振动本次课程内容振动微分方程相关数学知识微分方程相关数学知识mathematicskownledgeondifferentialequation微分方程的相关数学知识一、微分方程的基本概念二、二阶常系数齐次线性微分方程一、微分方程的基本概念1.微分方程的定义含有未知函数的导数的等式称为微分方程。例如：2.微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为该微分方程的阶.例如：——一阶微分方程——二阶微分方程答案问题的阶？三阶。3.微分方程的解恒等式，若一个函数代入微分方程后能使方程成为则此函数称为该微分方程的解。例如：函数是微分方程的解。注意微分方程的解不唯一。事实上，函数都是的解。微分方程例求微分方程的解。解题提示由可得进而4.微分方程的通解的个数与方程的阶数相同，若微分方程的解中含有任意常数，则称此解为通解。例如：函数是微分方程的通解。且任意常而不是的通解。5.微分方程的特解若微分方程的解中不含有任意常数，则称例如：函数是微分方程的特解。此解为特解。注意微分方程的某个解，可能不是通解，也不是特解。二、二阶常系数齐次线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程的定义形如的微分方程称为二阶线性微分方程。其中a(x)，b(x)，c(x)，f(x)

都为已知函数，且a(x)不为零。当a(x)，b(x)，c(x)都为常数时，即方程为时，方程称为二阶常系数线性微分方程。此时，若f(x)=0时，即方程为时，方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。这时，方程常简写成2.二阶常系数齐次线性微分方程的解法对二阶常系数齐次线性微分方程称对应的代数方程为原微分方程的特征方程。原微分方程的通解与特征方程的解的关系如下：特征方程的解微分方程的通解实解实解复解小结一、微分方程的基本概念二、二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的定义微分方程的阶微分方程的解定义解法微分方程的通解微分方程的特解第四章振动vibration一个物理量随时间的周期性变化都称为振动。动称为机械振动。弹簧振子单摆一个物体在某固定位置所作的来回往复的运第一节简谐振动

一、简谐振动方程(simpleharmonicvibrationequation)oxmF由虎克定律，有由牛顿第二定律，有考虑弹簧振子，x对t的二阶导数即若令则上述二阶常系数齐次线性微分方程化为——简谐振动的动力学方程该微分方程（动力学方程）的特征方程为其解为进而得微分方程的通解为其中是与运动的初始状态有关的常数。根据中学数学中的三角函数的公式，或正弦）函数来表示，则称该振动为简谐振动。进而是上式可化为其中A

和是与有关的常数，与运动的初始状态有关的常数。

如果振动的位移x

可以通过时间t

的余弦（对于简谐振动，由可得速度的表达式以及加速度的表达式二、简谐振动的特征量简谐振动的运动表达式中的三个量称为该简谐振动的特征量。1.振幅A振动物体离开平衡位置的最大位移称为振幅。oxmv＝0最大位移时，速注意度为零，从而有振幅＝A2.角频率（弧度/秒）。称为周期，用T

来表示，单位是s（秒）。来表示，单位是Hz（赫兹）。振动物体在秒所完成的振动次数称为角频率，单位是振动物体完成一次完整振动所需的时间振动物体在1秒内所完成的振动次数称为频率，用由运动表达式可知：频率角频率是运动表达式而按角频率的定义，答案问题中的角频率事实上，周期角频率应为角频率、周期、频率之间的关系对于弹簧振子角频率，周期，频率分别为其中k是弹性系数，m

是振子的质量。从上面的表达式可以看出，弹簧振子的角频率，周期，频率都是振动系统本身的固有性质，固有频率。从而它们又称为固有角频率，固有周期，3.相位和初相位在t

时刻的值称为振动的相位，单位是rad（弧度）。当t=0

时的相位称为初相位。在简谐振动的运动表达式以及速度表达式中，令t=0由以上两式可得表明振幅和初相位都是由初始位移、初始速度及固有（角）频率决定的。可得到初始位移以及初始速度三、简谐振动的矢量图表示法XOt=0PMx用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐运动的方法称为简谐振动的矢量图示法。第三节简谐振动的合成

两个同一直线（同方向）、同频率的简谐振动它们位于同一直线上，所合成的振动为？问题合成的两个简谐振动是否还是简谐振动？即答案合成的还是简谐运动，且

证法一（中学数学的三角公式方法）公式ab其中而由此

证法二（简谐振动的矢量图方法）OX当向量以角速度旋转时，平行四边形保持不变，即关系式不变。OX间的关系，根据平行四边形对角线长与两邻边长以及夹角之有并易得小结微分方程相关数学知识简谐振动简谐振动的合成方程特征量矢量图示法角频率、周期、频率之间的关系两角和的余弦公式该微分方程（动力学方程）的特征方程为其解为进而得微分方程的通解为其中是与运动的初始状态有关的常数。2.角频率（弧度/秒）。称为周期，用T

来表示，单位是s（秒）。来表示，单位是Hz（赫兹）。振动物体在秒所完成的振动次数称为角频率，单位是振动物体完成一次完整振动所需的时间振动物体在1秒内所完成的振动次数称为频率，用ab即若令则上述二阶常系数齐次线性微分方程化为——简谐振动的动力学方程根据中学数学中的三角函数的公式，或正弦）函数来表示，则称该振动为简谐振动。进而是上式可化为其中A

和是与有关的常数，与运动的初始状态有关的常数。

如果振动的位移x

可以通过时间t

的余弦（二、简谐振动的特征量简谐振动的运动表达式中的三个量称为该简谐振动的特征量。1.振幅A振动物体离开平衡位置的最大位移称为振幅。oxmv＝0最大位移时，速注意度为零，从而有振幅＝A由运动表达式可知：频率角频率是运动表达式而按角频率的定义，答案问题中的角频率事实上，