宇数学2015考研直播点题课程

11F(x1

2015考研数学点题课程2例2：方程3x2x21的实根个数是 b例3：设f(x)在区间[a,b]上存在一阶导数f(x)0，则F(x)a|f(x)f(t)|dt在开区间(a,b) (C)存在极大值 例4：f(x)cosx(2x3)3 1)在区间(,)上零点个数2（A)正好1 (C)正好3 5f(x在区间(0,f(x)0 1fF(x)1xf(u)dux 2du F(x)yF(x)的图形的凹凸区间及拐点坐标6：求曲面4z3x23y22xyxyz1zx2y例7：求函数u 在约束条件xyz

例8：f(x,y)x2y212x16yDx,y|x2y225} 9:x2xy1yx2y3u(0,0)1，求u(xy及u(xy的极值，例10：设f(x,y)在点O(0,0)的某邻域U1a 2点(0,0)f(x,y的极值点

(x,y

f(x,y)x2

a点(0,0)f(x,y的极小值点点(0,0)f(x,y的极大值点所给条件还不足以确定点(0,0)f(x,y的极值点.11（Ⅰ）I1xsin9xdx；0 I1，I22xsin9xdx，I x

sin 例12：设I1 dx，I2 dx， 0sin（A）I21（C）1I2

I2I1（D）1I1cos sin13：设常数0I1

dx，I2

dx，试比I1I2的大小

01

01I例14Dx,y|x1)2y1)22}I1

(xy)dDDI2ln(1xy)d 确的 DD（A）8I1I2 （B）I18I1I28 （D）I2815I1(xy)10dI2(xy)11dI3(xy)10d

I (x ，区

D:{(x,y)|

2)2(y1)2 D2:{(x,y)|x2(y1)22}，下列选项正确的 I1I2I3 （B）I4I3I2（C）I4I3I1 （D）I1I3I216yax2（x0常数a0）y1x2A，过坐标原点O和A的直线与曲线yax2围成一平面图形D，求a为何值时，V(a为最大 17a2b21（ab0）的第一象限上的点(,例18：设D{(x,y)|0x ,0y D19：设常数a0g(x在区间[aag(x)0（Ⅰ）令h(x)g(xg(x，证明：在区间[0ah(x0仅当x0时h(x)0ag(x)ex2dx

a

ag(x)dx x（ⅠDxy|0x2,0y2}求二重积分|x2y21|dD

D

f(x,y)d

f(x,y)(x2y2)d203证明：存在点(,D使|f(,|21I(|x||y|)dxdy.Dxy2yx1yx1D例22：设f(x)(0,1)f(x)1 nf f nn2

n23f(x)x3anx1，其中nanfn(x0有唯一正根rnSrr

Slim

存在，且1

S

n

a a4

a 24：设an4(tannxtann2x)dxn1,2,，求幂级数nanxn 例25：将函数f(x) 展开成(x2)的幂级数，并求其收敛区间26：设a00a11an13an4an1nn（Ⅰ）令ban1(n1,2,，证明limbnan

n求幂级数

n例27：求级数 nn28：下列各项中与limaAn对于任意给定的正数0N，当nN2时，有|anA|n对于任意给定的正数0N，当n2N时，有|aA|2n2对于任意给定的正数0N，当nN时，有|anA|2对于任意给定的正数0，存在正整数N，当nN2时，有| A|29f(xx03阶导数，且

131f 131x0f(xx0f(x曲线yf(x在点(0,f(0))左侧邻域是凹的，右侧邻域是凸的曲线yf(x在点(0,f(0))左侧邻域是凸的，右侧邻域是凹的 |f(x 例30：设f(x)在 a处连续且 axaxf(x不可导，但|f(x|f(x不可导，且|f(x)|f(x可导，且f(a)f(xf(xf(a0 2 31zf(xy满足关系：x3y3y3（k是正常数f(0,k)3k（Ⅰ）f(x,y（Ⅱ）x00,xn1f(xnxn)(n0,1,2,，数列{xn收敛，并求limxnef(x)cosxsinx例32：设f(x)在x0处连续且lim 0，求f(0)并讨论f(x)x0 x0f(0)33：设数列{x满足0x1ln(1xexn11(n1,2,

证明：当0x1ln(1xxexnn 34x时，(x)x(x)sincos， (A)(x)与(x)是同阶非等价无穷小量 （B）(x)与(x)是同阶等价无穷小 (x)是比(x)高阶的无穷小量. （D）(x)是比(x)低阶的无穷小量.例35：设f(x,y)是以2为周期的连续周期函数，G(x)20f(t)dtx0f(t)dt G(x是以2G(x也是以2G(x是以2G(x不是以2G(x不是以2G(x是以2G(x不是以2G(x也不是以2为周期的周期函数.36：下面结论正确的是A)zf(xy)在点(x0y0zf(xy)在点(x0y0处连zf(x,y)在点(x0y0某邻域内连续,则zf(x,y)在点(x0y0处两个偏导数存zf(xy在点(x0y0zf(xy在点(x0y0zf(xy在点(x0y0zf(xy在点(x0y0该邻域内两个偏导37设一个平板浸没在水中且垂直于水面(1000kgm3，平板的形状为双曲即平板的图形由双曲线4x2y24y1y1围成(长度单位m设水位下降，如果在时刻tyh(t处，且水面匀速下降速度为0.01(ms

0

1，当

(xyz)时

(x)例40：设yy(x)是方程x2 yxet2dt确定，则曲线yy(x)上x0对应的点处的0率半径R 41：求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率k

12y2cos

，其中为该曲线上cos0.并设该曲线在点(3,2)处的切线的倾角为4例42:极坐标曲线1（1在13上一段弧长 例43:一阶线性差分方程2yt18yt5tet的通解为yt p1182Q1p212Q2p1p2分别表示该商品在两个市场的价格（单位：万元/吨。Q1和Q2分别表示该商品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨，并且该企业生产这种商品的总成本函数是C2Q5，其中Q即QQ1例45:设zf(x,y)在点O(0,0)的某邻域内有定义，向量ei,e

= =若

均存在，且

若

不存在，则

y3x2dxy2 y3x2dxy2（A） x6y （B） x6y

xy2dxx2ydyx4y4

（D）

xy2dxx2x4y T1,TT 1，2，3下的坐标(A) n48f(x)x(0x展开成余弦级数，并求2n

433

1（A）a,I111（C）a,I

(e(1e

（B）a,Ia,I

1(e1(1ez12z50Sx2y2z21(0z12z

例51:设n阶矩阵A,B乘积可交换，1,2 、1,2,...,r Ax0与Bx0的一个基础解系，且对于n阶矩阵CD满足r(CADB)n (I)证明 n且1,2,...,r,1,2,...,r线性无 （II）证明1,2,...,r,1,2,...,rABx0 例52:设A为n阶正定矩阵，1,2,...,n为n零列向量，且满足TA1 (ij;i,j1,2n，试证：向量组1,2,...,n 53:（i）2T，-1，a3,1T，2,8,b1 （ii）2,b5,2T，3,7,a4T，1,2b A1,2,3B123和54AB,C3AB2BCATB

-

，C

- 1 - -

-

-55AB均为n阶矩阵A2AB2Br(A)r(B)，证明AB必为相似矩 56A是3阶矩阵b9,18,18T，方Axb有通k2,1,0Tk 1,2,2T，其中kkA及A100 00

-

00A~Br(AEr(A3E A

，B

1 2 2 a

2a

a a问aAXBBXaAXBBX1 1 59:设210ATBTT是 2 1 0 8 满足2B2A2CA4CB4CC11 12 1n axax...axbaxax11 12 1n 21 22 2n am1x1am2x2 amnxn11 21 m1ayay11 21 m1ayay... 12 22 m2a1ny1a2ny2...amnymb1y1b2y2...bmym 例61:设矩阵A

01 01试求

T62:f(x1x2xn)XTAXA证明：存在n，使得TA0 （II）设A 1，求，使得TA0 0 （A）f(x,x,x,x)(xx)2xx2xx2xx （B）f2(x1,x2,x3,x4)(x1x2)xxxxx （C）f(x,x,x,x)(xx)2xx2xx2xx （D）f(x,x,x,x)(xx)2xx2xx2xx 例64:设某种电子器件的 （以小时计）T服从参数为的指数分布，其中0未知，从这批电器中任取n只在时刻t=0时投入独立试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0kn只器件失效求一只器件在时间T0未失效求n0，1，2n0,n1,n2(n0n1n2n) EˆEˆ 22量Y，Xi

YjY

i,j1,2,...,(II)分别求ijijEXiYj的例67:设随量X1,X2,X3相互独立，且X1,X2均服从P(X