【教学】《第二课时 垂径分弦》示范教学

第二十四章圆24.2圆的基本性质第2课时垂径分弦学习目标1.理解并掌握垂径定理及其推论，并能应用其解决一些简单的计算和证明问题；2.认识垂径定理及其推论在实际问题中的应用，会用添加辅助线的方法解决实际问题．情景引入赵州桥的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？探究新知【数学探究】探究垂径定理，本动画资源通过改变圆的直径或拖动在圆上一点改变弦的位置及长度，通过翻折探究垂径定理。探究新知1.如下图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.我们可以得到：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.这就是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.探究新知2.如下图：AB是⊙O的一条弦,且AM=BM，过点M作直径CD.我们可以得到：CD⊥AB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.这就是垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.合作探究探究垂径定理的推导.如下图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.由此推导出垂径定理.合作探究证明：连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,弧AC和弧BC重合,弧AD和弧BD重合.∴弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.新知运用1.如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是().A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．4cm解：∵直径AB⊥DC，CD＝6cm，∴DP＝3cm.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程3²＋x²＝(2x)²，解得x＝.∴OD＝2cm，∴AB＝4cm.故选D.新知运用2.如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm．随堂检测1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O是这段弧的圆心，C是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.解：∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，在Rt△ADO中，根据勾股定理可列方程R²＝(R－50)²＋150²，解得R＝250.故答案为250.随堂检测2.如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是弧AB、弧AC的中点，则∠MON的度数是().A．100°B．110°C．120°D．130°解：已知M、N分别是弧AB、弧AC的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.随堂检测3.如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为().A．9B．8C．6D．4解：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3.∵直径CD过弦AB的中点E，∴CD⊥AB，∴AE＝BE.在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，∴BE＝＝4，∴AB＝2BE＝8.故选B.课堂小结【知识点解析】垂径定理，本资源主要总结垂径定理