【教学】《一元二次方程根的判别式》示范教学

第十七章一元二次方程17.3一元二次方程根的判别式学习目标1.理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况.2.通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．情境导入1.先用公式法解下列方程：(1)x2+4＝4x(2)x2+2x＝3(3)x2－x＋2＝0你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？情境导入观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？探究新知本图片是微课的首页截图，本微课资源针对《一元二次方程根的判别式》进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应用能力，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】一元二次方程根的判别式.探究新知思考：一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，①它何时有两个相等的实数根？②何时有两个不相等的实数根？③何时没有实数根？④为什么说方程根的情况是由b2-4ac决定的？请小组内进行讨论、探究1.一元二次方程的根的判别式探究新知从我们刚刚的讨论可得：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定.因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.通常用符号“Δ”(希腊字母)来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac.探究新知能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？2.一元二次方程的根的判别方法一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)①当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，没有实数根.探究新知不解方程，判别下列方程的根的情况(1)3x2－x＋1=3x(2)5(x2＋1)=7x(3)x2－4x=－42.一元二次方程的根的判别方法判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：①一化(将一元二次方程化为一般形式)；②二算(确定a、b、c的值，算出Δ的值)；③三判断(根据结论1判别方程根的情况).例1已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是()A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定新知运用利用根的判别式判断一元二次方程根的情况解：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B.例2若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k>－1B．k>－1且k≠0C．k<1D．k<1且k≠0新知运用根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围解：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即(-2)2-4×k×(-1)>0,k≠0,解得k>－1且k≠0.故选B.例3已知a，b，c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根．新知运用一元二次方程根的判别式与三角形的综合分析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a，b，c是三角形三条边的长可知a，b，c都是正数．由三角形的三边关系可知a＋b>c，a＋c>b，b＋c>a.证明：∵b为三角形一边的长，∴b≠0，∴b2≠0，∴b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0是关于x的一元二次方程．∴Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(b2＋c2－a2＋2bc)(b2＋c2－a2－2bc)＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．新知运用例4是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．新知运用利用根的判别式解决存在性问题

随堂检测1．一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根A随堂检测2．对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况是(

)A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定C随堂检测3．若关于x的方程x2＋(1－m)x＋

＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值为___．4．若一元二次方程x