【教学】全称量词与存在量词参考教学

全称量词与存在量词

具体实例定义什么是全称量词和存在量词表示如何表示应用如何正确地对含有一个量词的命题进行否定辨析如何判断含有一个量词的命题的真假整体概览问题1

阅读教科书第26页第一段，本节将要研究哪些内容？请你罗列出来，如果让你来设计本节内容及其研究思路，你将会如何展开？

（1）x＞3；（2）2x＋1是整数．（1）（2）都不是命题，因为在这两个语句中，不知道变量x代表什么数，无法判断真假，所以它们不是命题．问题导入问题2

下列语句是命题吗？为什么？

（1）x＞3；（2）2x＋1是整数；（3）对所有的x∈R，x＞3；（4）对任意一个x∈Z，2x＋1是整数．（3）（4）是命题．（3）在（1）的基础上增加了短语“所有的”对变量x进行限定；新知探究问题3

语句（3）（4）是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

（4）在（2）的基础上增加了短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．新知探究问题3

语句（3）（4）是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？（1）x＞3；（2）2x＋1是整数；（3）对所有的x∈R，x＞3；（4）对任意一个x∈Z，2x＋1是整数．

用一个短语对变量的取值范围进行限定，可以使类似“x＞3”“2x＋1是整数”的开语句成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．通常，将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），…，表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为：∀x∈M，p（x）．新知探究

常见的全称量词：“每一个”“任意”“所有”“一切”“任给”等．全称量词的含义：在指定范围内，表示整体或者全部的含义．新知探究问题4

你还能说出哪些全称量词？全称量词的含义是什么？并试着举出几个全称量词命题．

全称量词命题举例：（1）对任意的x∈R，x2＋1＞0；（2）对任意一个无理数x，x2也是无理数；（3）所有的一元二次方程都有实根；……新知探究

追问全称量词命题可以简记为“∀x∈M，p（x）”．在上述命题中，“M”，“p（x）”分别指的是什么？（1）“M”指的是R，“p（x）”指的是“x2＋1＞0”；（2）“M”指的是“所有无理数”，“p（x）”指的是“x2也是无理数”；（3）“M”指的是“所有一元二次方程”，“p（x）”指的是“方程都有实根”；……新知探究

（1）对任意的x∈R，x2＋1＞0；（2）对任意一个无理数x，x2也是无理数；（3）所有的一元二次方程都有实根；……（1）是真命题；对于∀x∈R，总有x2＋1≥1＞0．所以，全称量词命题“对任意的x∈R，x2＋1＞0”为真命题；新知探究问题5

请判断上述全称命题的真假，并说明理由．

（2）是假命题；因为

是无理数，

是有理数．所以，全称量词命题“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是假命题；新知探究（1）对任意的x∈R，x2＋1＞0；（2）对任意一个无理数x，x2也是无理数；（3）所有的一元二次方程都有实根；……问题5

请判断上述全称命题的真假，并说明理由．

（3）是假命题；一元二次方程x2＋x＋1＝0没有实根．所以，全称量词命题“所有的一元二次方程都有实根”是假命题．新知探究（1）对任意的x∈R，x2＋1＞0；（2）对任意一个无理数x，x2也是无理数；（3）所有的一元二次方程都有实根；……问题5

请判断上述全称命题的真假，并说明理由．

追问对给定的全称量词命题，如何判断它的真假？如果对集合M中的每一个x，p（x）都成立，那么“∀x∈M，p（x）”为真命题；如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）不成立，那么“∀x∈M，p（x）”为假命题．新知探究

（1）2x＋1＝3；（2）x能被2和3整除；（3）存在一个x∈R，使2x＋1＝3；（4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．（3）在（1）的基础上增加了短语“存在一个”对变量x进行限定；不是不是是是（4）在（2）的基础上增加了短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．新知探究问题6

下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．类比全称量词命题的符号表示，存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为∃x∈M，p（x）．新知探究

常见的存在量词：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．存在量词的含义：在指定范围内，表示个别或一部分的含义．新知探究问题7你还能说出哪些存在量词？存在量词的含义是什么？并试着举出几个存在量词命题．

存在量词命题举例：（1）有一个实数

，使x2＋1＝0；（2）存在一个无理数x，x2也是无理数；（3）有些平行四边形是菱形；……新知探究

（1）有一个实数x，使x2＋1＝0；（2）存在一个无理数x，x2也是无理数；（3）有些平行四边形是菱形；……（1）是假命题；对于∀x∈R，总有x2＋1＞0，即不存在x∈R，使得x2＋1＝0．所以，存在量词命题“有一个实数x，使x2＋1＝0”为假命题；新知探究问题8

你能判断上述存在命题的真假吗？说明理由，并类比全称量词命题总结出存在量词命题真假的判断方法．

（1）有一个实数x，使x2＋1＝0；（2）存在一个无理数x，x2也是无理数；（3）有些平行四边形是菱形；……（2）是真命题；所以，存在量词命题“存在一个无理数x，x2也是无理数”是真命题；因为

＋1是无理数，（

＋1）2＝3＋

是无理数．新知探究问题8

你能判断上述存在命题的真假吗？说明理由，并类比全称量词命题总结出存在量词命题真假的判断方法．

（1）有一个实数x，使x2＋1＝0；（2）存在一个无理数x，x2也是无理数；（3）有些平行四边形是菱形；……（3）是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．所以，存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．新知探究问题8

你能判断上述存在命题的真假吗？说明理由，并类比全称量词命题总结出存在量词命题真假的判断方法．

如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）成立，那么“∃x∈M，p（x）”为真命题；如果对集合M中每一个x，p（x）都不成立，那么“∃x∈M，p（x）”为假命题．新知探究方法

归纳小结问题9

本节课我们学习了全称量词和存在量词，全称量词和存在量词的含义分别是什么？常用的表述形式分别有哪些？什么是全称量词命题和存在量词命题？它们的符号表示分别是什么？如何判断它们的真假？将所有内容以表格的形式呈现出来．回顾本节学习过程，与你在问题1中设计的研究过程和思路是否一致？

全称量词存在量词含义举例对应的命题表示判断在指定范围内，表示整体或者全部．在指定范围内，表示个别或一部分．“所有的”、“每一个”、“任何一个”、“一切”等“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”等全称量词命题存在量词命题对M中任意一个x，p(x)成立存在M中元素x，p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)如果对集合M中的每一个x，p(x)都成立，那么“∀x∈M，p(x)”为真命题如果在集合M中存在一个x0，使得p(x0)成立，那么“∃x∈M，p(x)”为真命题如果在集合M中存在一个x0，使得p(x0)不成立，那么“∀x∈M，p(x)”为假命题如果对集合M中每一个x，p（x）都不成立，那么“∃x∈M，p(x)”为假命题归纳小结

1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．目标检测（1）对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四边形；（3）至少有一个偶数是素数；（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．1

1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．目标检测（1）对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；全称量词命题；∀a，b∈R，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；假命题；因为当a＝0，b≠0时，方程无解，所以其为假命题；1

1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．目标检测（2）所有的矩形都是平行四边形；全称量词命题；∀的矩形都是平行四边形；真命题；根据矩形的定义可知其为真命题；1

1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．目标检测（3）至少有一个偶数是素数；存在量词命题；∃x是偶数，x是素数；真命题；所以“至少有一个偶数是素数”是真命题；2是偶数，2也是素数，1

1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．目标检测（4）存在x∈R，