【教学】《一次函数与方程、不等式》示范教学

第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式中学数学精品课件1.认识一次函数与方程（组）、不等式之间的联系．会用函数观点解释方程和不等式及其解和解集的意义．2.经历用函数图象表示方程、不等式的解和解集的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合的思想．学习目标

下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？

（1）2x＋1＝3；（2）2x＋1＝0；（3）2x＋1＝－1．

这三个方程可以看成函数

y＝2x＋1的函数值分别为3，0，－1时，求自变量x的值．探究新知32121-2Oxy-1-13

下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？

（1）2x＋1＝3；（2）2x＋1＝0；（3）2x＋1＝－1．y＝2x+1

这三个方程的解分别对应着函数y＝2x＋1图象上A，B，C三点的横坐标．ABC探究新知

因为任何以x为未知数的一个一元一次方程都可以转化为ax＋b=0（a≠0）的形式．所以解一元一次方程：

（1）从函数值的角度看，求方程ax＋b=0（a≠0）的解相当于求一次函数y=ax＋b（a≠0）的函数值为0时，相应的自变量x的值．探究新知32121-2Oxy-1-13y=2x+1

（2）从函数图象的角度看，求方程ax＋b=0（a≠0）的解相当于求直线y=ax＋b（a≠0）与x轴的交点的横坐标．探究新知下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？（1）3x＋2＞2；（2）3x＋2＜0；（3）3x＋2＜－1．三个不等式相当于在一次函数y=3x＋2的函数值分别大于2、小于0、小于－1时，求对应的自变量的取值范围．探究新知

下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？

（1）3x＋2＞2；（2）3x＋2＜0；（3）3x＋2＜－1．32121-2Oxy-1-13y=3x+2y=2y=0y=-1

在直线y＝3x＋2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于－1的点，看它们的横坐标的取值范围．探究新知

因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的形式，其左边恰是一次函数y=ax＋b的形式．所以解一元一次不等式：

（1）从函数值的角度看，就是求一次函数y=ax＋b的函数值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；探究新知32121-2Oxy-1-13y=3x+2

（2）从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax＋b在x轴上（或下）方部分的点的横坐标的取值范围．探究新知探究新知本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了一次函数与二元一次方程的关系，并通过讲解实例巩固知识点,有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】一次函数与二元一次方程.

1号探测气球从海拔5

m处出发，以1

m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15

m处出发，以0.5

m/min的速度上升．两个气球都上升了1

h．

问题（1）请用式子表示1号探测气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系．y=x＋5探究新知

问题（2）请写出函数y＝x＋5的图象上的任意5个点的坐标，你写出的5个点的坐标是否都满足方程y－x＝5？你是怎么验证的？105-5510Oxyy＝x＋5满足探究新知

问题（3）以方程y－x＝5的所有解组成的坐标是否都在一次函数y＝x＋5的图象上？

问题（4）我们能否概括出二元一次方程的解和一次函数图象上的点的坐标之间是什么关系？在探究新知一次函数二元一次方程

一次函数

y=x+5二元一次方程

y-x=5二元一次方程

y=x+5用方程观点看用函数观点看

从式子（数）角度看：探究新知

从形的角度看：

以二元一次方程y＝kx＋b（其中k，b为常数，k≠0）的解为坐标的点组成的图形

一次函数y＝kx＋b的图象探究新知探究新知本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了一次函数与二元一次方程组的关系，并通过讲解实例巩固知识点,有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】一次函数与二元一次方程组.

1号探测气球从海拔5

m处出发，以1

m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15

m处出发，以0.5

m/min的速度上升．两个气球都上升了1

h．

问题（6）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？探究新知从数量关系的角度解决解二元一次方程组即解得

这就是说，当上升20

min时，两个气球都位于海拔25

m的高度．探究新知A（20，25）302520151051020y=x+5y=0.5x+15155Oxy

从图形的角度解决

这两条直线的交点坐标（20，25），这也说明当上升20

min时，两个气球都位于海拔25

m的高度．探究新知

含有未知数

x和y两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，也对应着两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求两个函数值相等时的自变量的值

，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两直线的交点坐标．探究新知

（1）用函数的观点，说说你对一元一次方程有什么新的认识；（2）用函数的观点，说说一次函数与一元一次不等式的联系；（3）用函数的观点，从数形两方面说说你对二元一次方程有什么新的理解；（4）用函数的观点，从数和形两个角度说说对二元一次方程组的认识．探究新知1．（1）解不等式3x－6＜0，可看作：

（2）“当自变量x取何值时，函数y=3x＋8的值等于0”可看作：

求一次函数y＝3x－6的函数值小于0时自变量的取值范围．求方程3x＋8＝0的解．课堂练习1．如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集为（）．A．

B．x＜3

C．

D．x＞3A课堂练习1．（1）解不等式3x－6＜0，可看作：

（2）“当自变量x取何值时，函数y=3x＋8的值等于0”可看作：

求一次函数y＝3x－6的函数值小于0时自变量的取值范围．求方程3x＋8＝0的解．课堂练习2．下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解是（）．C课堂练习1．（1）解不等式3x－6＜0，可看作：

（2）“当自变量x取何值时，函数y=3x＋8的值等于0”可看作：

求一次函数y＝3x－6的函数值小于0时自变量的取值范围．求方程3x＋8＝0的解．课堂练习1．（1）解不等式3x－6＜0，可看作：

（2）“当自变量x取何值时，函数y=3x＋8的值等于0”可看作：

求一次函数y＝3x－6的函数值小于0时自变量的取值范围．求方程3x＋8＝0的解．课堂练习

2．如图，一次函数y=kx＋b（k≠0）的图象经过点P（-3，2），Q（-4，0），则关于x的不等式kx＋b＞-2的解集为

；关于x的方程kx＋b=0的解为

．OxyP（-3，-2）Q（-4，0）1．（1）解不等式3x－6＜0，可看作：

（2）“当自变量x取何值时，函数y=3x＋8的值等于0”可看作：

求一次函数y＝3x－6的函数值小于0时自变量的取值范围．求方程3x＋8＝0的解．课堂练习3．直线：y=x＋1与直线：y=mx＋n相交于点

P（1，b）．（1）求b的值