【同步测试】课后习题-三角恒等变换

三角恒等变换

——课后习题习题1已知sinα＝

，cosβ＝

，α∈

，β∈

，求cos（α－β）的值．三角恒等变换习题2已知α，β都是锐角，cosα＝

，cos（α＋β）＝

，求cosβ的值．（提示：β＝（α＋β）－α．）三角恒等变换习题3已知sin（30°＋α）＝

，60°＜α＜150°，求cosα的值．三角恒等变换习题4在△ABC中，sinA＝

，cosB＝

，求cosC的值．三角恒等变换习题5已知tan（α＋β）＝3，tan（α－β）＝5，求tan2α，tan2β的值．三角恒等变换习题6三角恒等变换化简：（1）sin347°cos148°＋sin77°cos58°；（2）sin164°sin224°＋sin254°sin314°；（3）sin（α＋β）cos（γ－β）－cos（β＋α）sin（β－γ）；（4）sin（α－β）sin（β－γ）－cos（α－β）cos（γ－β）；（5）

；（6）

．（4）－cos（α－γ）．（3）sin（α＋γ）．（1）

（2）

（6）tan（β－α）．（5）

习题7已知sinα＝0.80，α∈

，求sin2α，cos2α的值（精确到0.01）．三角恒等变换sin2α＝0.96；cos2α＝－0.28．三角恒等变换习题8求证：（1）（sin2α－cos2α）2＝1－sin4α；（2）；（3）

；（4）

；（5）；（6）

．（1）（2）略．（3）提示：用sin2φ＋cos2φ代替1，用2sinφcosφ代替sin2φ．（4）略．（5）提示：用2sin2

θ代替1－cos2θ，用2cos2θ代替1＋cos2θ．（6）略．三角恒等变换习题9已知sin（α＋β）＝

，sin（α－β）＝

，求证：证明略．（1）sinαcosβ＝5cosαsinβ；（2）tanα＝5tanβ．习题10已知

，求证

．三角恒等变换由已知可解得tanθ＝

．于是tan2θ＝因此tan2θ＝－4tan（θ＋

）．习题11已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于

，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切．三角恒等变换设圆心角为α，则同弧所对的圆周角为

．因为sinα＝

，所以0°＜α＜180°，0°＜

＜90°．当0°＜α＜90°时，cosα＝

，习题11已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于

，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切．三角恒等变换当90°＜α＜180°时，cosα＝

，三角恒等变换习题12化简：（1）；（2）；（3）；（4）

．（2）（4）（1）（3）习题13在△ABC中，已知tanA，tanB是x的方程x2＋p（x＋1）＋1＝0的两个实根，求∠C．三角恒等变换135°．习题14在△ABC中，B＝

，BC边上的高等于

，则cosA＝（）．三角恒等变换（A）

（B）

（C）

（D）

提示：设BC边上的高与BC边交于点D，则∠BAD＝

，且AD＝BD．因为AD＝

，所以DC＝2AD，所以sin∠CAD＝

，cos∠CAD＝

．所以cosA＝cos（∠BAD＋∠CAD）＝

．C三角恒等变换习题15求证：（1）3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α；（2）略习题16是否存在锐角α，β，使α＋2β＝

，

同时成立？若存在，求出α，β的度数；若不存在，请说明理由．三角恒等变换设存在锐角α，β使α＋2β＝

，又

，于是有所以

，由此可解得tanβ＝1，

．所以

．经检验

是符合题意的两锐角．三角恒等变换习题17（1）求函数

的周期和单调递增区间；（2）求函数f（x）＝asinx＋bcosx（a2＋b2≠0）的最大值和最小值．（2）函数的最大值为

，最小值为

．（1）函数的周期为

，单调递增区间为

，k∈Z．三角恒等变换习题18观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝

，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝

，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝

．分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．三角恒等变换习题18解答反映一般规律的等式不唯一，例如：sin2α＋cos2（α＋30°）＋sinαcos（α＋30°）＝

；sin2（α－30°）＋cos2α＋sin（α－30°）cosα＝

；sin2（α－15°）＋cos2（α＋15°）＋sin（α－15°）cos（α＋15°）＝

；sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝

，其中β－α＝30°；等等．证明略．三角恒等变换习题19你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？三角恒等变换习题19解答过M作MM1垂直于x轴，交x轴于M1．在Rt△OMA中，在Rt△OM1M中，OM1＝OMcos∠MOM1＝

，线段AB的中点M的坐标为（

（cosα＋cosβ），

（sinα＋sinβ））．∠MOM1＝

（β－α）＋α＝

（α＋β）．M1M＝OMsin∠MOM1＝于是有

（cosα＋cosβ）＝

，

（sinα＋sinβ）＝

习题20设f（α）＝sinxα＋cosxα，x∈｛n｜n＝2k，k∈N＋｝．利用三角变换，估计f（α）在x＝2，4，6时的取值情况，进而猜想x取一般值时f（α）的取值范围．三角恒等变换当x＝2时，f（α）＝sin2α＋cos2α＝1；当x＝4时，f（α）－s