【同步测试】课后习题-函数的基本性质

函数的基本性质

——课后习题习题1根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性．单调递增区间：［0，2］，［4，5］；单调递减区间：［－1，0］，［2，4］．函数在区间［－1，0］上单调递减，在区间［0，2］上单调递增，函数的基本性质在区间［2，4］上单调递减，在区间［4，5］上单调递增．函数的基本性质习题2画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y＝f（x）的单调区间及在每一单调区间上的单调性．（1）y＝x2－5x－6；（2）y＝9－x2．图略．（2）函数y＝9－x2在（－∞，0］上单调递增，在［0，＋∞）上单调递减．（1）函数y＝x2－5x－6在

上单调递减，在

上单调递增．函数的基本性质习题3证明：（1）函数f（x）＝－2x＋1是减函数；（2）函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上单调递增；（3）函数f（x）＝1－

（－∞，0）上单调递增．即f（x1）＞f（x2），所以f（x）＝－2x＋1在R上是减函数．（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，因为f（x1）－f（x2）＝－2（x1－x2）＞0，函数的基本性质习题3证明：（1）函数f（x）＝－2x＋1是减函数；（2）函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上单调递增；（3）函数f（x）＝1－

（－∞，0）上单调递增．（2）任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，因为x1－x2＜0，x1＋x2＞0，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）＝x2＋1在（－∞，0）上单调递增．则f（x1）－f（x2）＝

＝（x1－x2）（x1＋x2）．函数的基本性质习题3证明：（1）函数f（x）＝－2x＋1是减函数；（2）函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上单调递增；（3）函数f（x）＝1－

（－∞，0）上单调递增．（3）任取x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝

．因为x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）＝1－

在区间（－∞，0）上单调递增．函数的基本性质习题4某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为y＝

＋162x－21000，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．习题5判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x2＋1；函数的基本性质（1）偶函数．（2）奇函数．（2）f（x）＝

．函数的基本性质习题6一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高．画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）．自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象如图所示．函数的基本性质习题7已知函数f（x）＝x2－2x，g（x）＝x2－2x（x∈［2，4］），（1）求f（x），g（x）的单调区间；（2）求f（x），g（x）的最小值．（1）函数f（x）的单调递减区间为（－∞，1］，单调递增区间为［1，＋∞）；函数g（x）的单调递增区间为［2，4］．（2）f（x）的最小值为－1，g（x）的最小值为0．函数的基本性质习题8（1）根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋

在区间［3，＋∞）上单调递增．（2）讨论函数y＝x＋

在区间（0，＋∞）上的单调性．（3）讨论函数y＝x＋

（k＞0）在区间（0，＋∞）上的单调性．（1）任取x1，x2∈［3，＋∞），且x1＜x2，令y＝f（x），因为x1－x2＜0，x1x2＞9，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）

．所以y＝x＋

在区间［－3，＋∞）上单调递增．函数的基本性质习题8（1）根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋

在区间［3，＋∞）上单调递增．（2）讨论函数y＝x＋

在区间（0，＋∞）上的单调性．（3）讨论函数y＝x＋

（k＞0）在区间（0，＋∞）上的单调性．（2）函数y＝x＋

在区间（0，3）上单调递减，在［3，＋∞）上单调递增．（3）函数y＝x＋

（k＞0）在区间（0，

）上单调递减，在［

，＋∞）上单调递增．函数的基本性质习题9设函数y＝f（x）的定义域为I，区间D⊆I，记Δx＝x1－x2，Δy＝f（x1）－f（x2）．证明：（1）函数y＝f（x）在区间D上单调递增的充要条件是：∀x1，x2∈D，x1≠x2，都有

；（2）函数y＝f（x）在区间D上单调递减的充要条件是：∀x1，x2∈D，x1≠x2，都有

．函数的基本性质习题9设函数y＝f（x）的定义域为I，区间D⊆I，记Δx＝x1－x2，Δy＝f（x1）－f（x2）．证明：（1）函数y＝f（x）在区间D上单调递增的充要条件是：∀x1，x2∈D，x1≠x2，都有

；（1）充分性：因为∀x1，x2∈D，x1≠x2，

＞0，所以函数y＝f（x）在区间D上单调递增．所以

＞0，即f（x1）－f（x2）与x1－x2同号，函数的基本性质习题9设函数y＝f（x）的定义域为I，区间D⊆I，记Δx＝x1－x2，Δy＝f（x1）－f（x2）．证明：（1）函数y＝f（x）在区间D上单调递增的充要条件是：∀x1，x2∈D，x1≠x2，都有

；必要性：因为函数y＝f（x）在区间D上单调递增，所以∀x1，x2∈D，若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），于是有

＞0，即＞0．同理，若x1＞x2，也有

＞0．所以，∀x1，x2∈D，x1≠x2，都有

＞0．函数的基本性质习题9设函数y＝f（x）的定义域为I，区间D⊆I，记Δx＝x1－x2，Δy＝f（x1）－f（x2）．证明：（1）函数y＝f（x）在区间D上单调递增的充要条件是：∀x1，x2∈D，x1≠x2，都有

；（2）函数y＝f（x）在区间D上单调递减的充要条件是：∀x1，x2∈D，x1≠x2，都有

．（2）类比（1）中的证明过程可证．函数的基本性质习题10如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？设矩形熊猫居室的宽为xm，面积为ym2，所以，当x＝5时，y有最大值37.5．所以宽为5m时才能使所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是37.5m2．则每间熊猫居室的长为m，那么y＝函数的基本性质习题11已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1＋x）．画出函数f（x）的图象，并求出函数的解析式．图象略，函数解析式为f（x）＝

函数的基本性质习题12已知函数f（x）是偶函数，而且在（0，＋∞）上单调递减，判断f（x）在（－∞，0）上单调递增还是单调递减，并证明你的判断．f（x）在（－∞，0）上单调递增，证明如下：所以f（－x1）＜f（－x2）．又因为f（x）是偶函数，所以f（－x1）＝f（x1），f（－x2）＝f（x2）．设x1＜x2＜0，则－x1＞－x2＞0，因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，于是f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（－∞，0）上单调递增．函数的基本性质习题13我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形