第四节不可数无穷集

第四节不可数无穷集演示文稿目前一页\总数二十四页\编于八点（优选）第四节不可数无穷集目前二页\总数二十四页\编于八点[][][]01/32/31目前三页\总数二十四页\编于八点数的进位制简介十进制小数相应于对[0,1]十等分二进制小数相应于对[0,1]二等分三进制小数相应于对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如0.2000000…0.1999999…（十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数目前四页\总数二十四页\编于八点不可数集的存在性的另一种证明证明：假设（0,1）是可数集,则（0,1）可以写成一个无穷序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）令x=0.a1a2a3a4…其中则得到矛盾，所以

(0,1)是不可数集。目前五页\总数二十四页\编于八点定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集，其势记为，显然：例：1）R~(0,1)~[0,1]~[0,1)~R+~<a,b>(a<b)2连续势集的定义2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）目前六页\总数二十四页\编于八点3连续势集的性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集目前七页\总数二十四页\编于八点目前八页\总数二十四页\编于八点1874年Cantor考虑R与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明Rn具有连续基数，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它”.推论平面与直线有“相同多”的点目前九页\总数二十四页\编于八点连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集(](](]012n-1n(](](]012n-1ny目前十页\总数二十四页\编于八点4无最大势定理从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.目前十一页\总数二十四页\编于八点此证为对角线方法，与(0,1)是不可数集的证明比较。目前十二页\总数二十四页\编于八点

尽管Cantor在1883年就证明了这个定理，但直到1899年Cantor才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的Cantor的最大基数悖论.因此Cantor在1899年给Dedekind的一封信中曾指出,人们要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合.集合悖论目前十三页\总数二十四页\编于八点证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N

与{0,1}N对等；下证：说明：相当于把对应到一个三进制小数5可数势与连续势思考：为什么不用二进制。N上的特征函数全体目前十四页\总数二十四页\编于八点目前十五页\总数二十四页\编于八点

Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。注记：从前面我们已经看到：Cantor认为在之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。连续统假设目前十六页\总数二十四页\编于八点在Zermelo-Frankel公理集合论体系下参见：《数学与哲学》张景中，《数理逻辑概貌》莫绍揆ZF公理集合论体系下的连续统假设1940年Godel证明了连续统假设的相容性（即不能证明它不真）；1962年Stanford大学的P.J.Cohen证明了它的独立性（即不能用其他公理证明它真）；目前十七页\总数二十四页\编于八点6基数的运算目前十八页\总数二十四页\编于八点对一些记号的说明思考：如何推广不可数个集合的卡氏积？目前十九页\总数二十四页\编于八点第五节半序集第一章集合主讲：胡努春目前二十页\总数二十四页\编于八点1半序集数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系），序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积））例：对实数集R有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度目前二十一页\总数二十四页\编于八点半序集定义⑴自反性:

⑵反对称性:

⑶传递性:则称A按成一半序集（偏序集）。设A是一集合，为A中的某些元素的关系且满足:目前二十二页\总数二十四页\编于八点例

⑴是一半序集.⑵是一半序集.

目前二十三页\总数二十四页\编于八点2Zorn引理与选择公理Zorn引理：设