数列复习课课件

数列

目标：

1、知识目标：理解数列的概念、通项公式、数列和函数之间的关系；理解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；理解数列前n项和Sn与通项an之间的关系。

2、能力目标：会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；能根据数列的前n项和公式写出通项公式；培养学生观察、归纳、推理的能力。3、德育目标：培养学生联系、类比的能力。集合元素的性质函数的概念确定性互异性无序性

函数就是特殊的映射

看下面一组实例：

(1)堆放的钢管4,5,6,7,8,9,10(2)正整数1,2,34,…的倒数1，1/2，1/3，1/4…

(3)

(4)1的正整数次幂：1,1,1,1,…

(5)无穷多个1数排成一列数：1，1，1，…

共同特点

1、都是一列数；2、有一定的次序。21/2的精确到1，0.1，0.01，0.001…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…（有限）（无限）（无限）（无限）（无限）特殊函数数列递推公式分类有穷数列无穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列定义通项公式图象表示项数项的大小本节基础知识框图表解

通项公式、递推公式是反映数列内在规律的重要公式。下面列表阐明它们的异同：不同点通项公式递推公式给出n的值，可求出数列中的第n项由前项（或前几项）的值，通过一次（或多次）运算，逐步地求出第n项an.相同点可确定一个数列，求出数列中的任意一项。数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第2项，……，第n项……。数列中的数是按一定次序排列的。因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那它们就是不同的数列。例如：4，5，6，7，8，9，10与数列10，9，8，7，6，5，4是不同的数列。在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同。因此，同一个数在数列中可以重复出现。数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，a4，a5，……，an，……上面的数列可简记作{an}。例如，把数列1，2，4，8，……，2n，……简记作{2n}。数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号。我们还应注意到这里{an}与an是不同的：{an}表示数列a1，a2，a3，a4，a5，……，an，……，而an只表示这个数列的第n项；这里{an}是数列的简记符号，并不表示一个集合。关于定义的理解，再强调以下几点：

1、{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1，a2，a3，a4，a5，……，an，……，而an只表示数列{an}的第几项。2、数列的项与它的项数是不同的概念。数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.3、次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}不论按怎样的次序排列都是同一个集合。如果数列{an}的第n项an与之间的关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。例如：数列4，5，6，7，8，9，10的通项公式an=n+3(n≤7),这里n≤7，表示n取不大于7的正整数（因为数列中只有7项）数列的通项公式数列……的通项公式是an=，这里n取所有正整数，此数列有无穷多项。再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：

1、数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集{1，2，……，n}为定义域的函数的表达式；

2、如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3……去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；

3、如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式。

4、有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的；

5、有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一。对于数列4，5，6，7，8，9，10，每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：123456745678910这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射。因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，……，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值。这里的函数是一种特殊的函数：它的自变量只能取正整数。数列的图象数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观的表示的。

数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同。如下图，表示数列4，5，6，7，8，9，10的图象。1234567n10９８７６５４３２１an从图上看，数列可用一群孤立的点表示；从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况。把数列与函数比较，数列是特殊的函数。特殊在定义域是正整数集或由以１为首的有限个连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点。O

根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。在写数列时，对于有穷数列，要把末列（有穷数列的最后一项叫末项）写出，例如数列1，3，5，7，9，……，2n-1，表示有穷数列。如果把数列写成1，3，5，7，9，……或1，3，5，7，9，……2n-1，……它就表示无穷数列（无穷数列没有末项）。数列的分类补充说明：按照项与项之间的大小关系，数列的增减性，可以分为以下几类：1、一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它前面的一项（即an+1≥an)，这样的数列叫做递增数列。2、一个数列，如果从第2项起，每一项都不大于它前面的一项（即an+1≤an)，这样的数列叫做递减数列。3、一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。4、一个数列，如果它的每一项都相等，这个数叫做常数列。如果已知数列{an}的第1项，（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种重要形式。

想一想：任何一个数列都能写出其通项公式或递推公式吗？虽然有些数列可以写出其通项公式或递推公式，但并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式。请试举几例。递推数列典型秩例题阴解析水与规名律、仍方法虎、技扇巧总颜结例1写出桑数列休的一脾个通吧项公懒式，肠使它扰的前挺几项美分别艰是下蹄列各切数。闭（1）-3，0，3，6，9；解：后一代项均火等于衫前一链项加法上3，那谁么第n项就女是第低一项赛加上父（n-热1）个3，即an=工-3上+(革n-相1)避×些3=补3n概-6(2骨)纸3,向5貌,腊9,券1忘7,厕3足3;解：每一间项都侨可以保视为2的多产少次录幂加乐上1的形丛式，箩即an=2n+1小结嗓：（1）数编列的倾通项泉公式送在数驼列中车占有筛极其筐重要既的地冤位，李它是裂数列仰的核意心。（2）对光于给穗出数肤列的行前几谨项求搭数列灯的一昏个通泉项公钻式这轿类问祖题，位常归在纳为卧数列莲的各煎项中挨的有刺关元舍素与内项数栋的相个依变骆化规特律而朽求之养。例2写出赤数列迁的一君个通度项公谦式，隙使得熟它的察前几径项是巨下列歉各数眯。（2）0.政9，0.猾99，0.凭99文9，0.适99哗99；解：任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看作是自然数列的倒数，正负相间用（-1）的多少次幂进行调整，其通项公式为an=(-1)n·()=解：原数列可变形为(1-),(1-),(1-),(1-),故通项公式为an=1-（1）-1，小结此：用观别察归灭纳法丽写出岁数列诞的一吧个通住项公散式，掉体现水了由只特殊减到一堂般的滨思维凤规律际。观堪察、刮分析联问题禽的特肚点是裳最重挤要的屑，观认察要宴有目愧的，刺要能策观察喊出特壁点，渡观察德出项互与项煎之间攻的关瓦系、头规律番。这致类问铜题就斯是要潜观察渠各项热与对弱应的岔项数渗之间代的项奴数之垦间的卵联系掠，利彼用我季们熟取知的翁一些耕基本乎数列屠（如泼自然愿数列箭、奇稠偶数六列、邮自然趋数列恳的前n项数士列、迟自然辅数的榆平方巩数列院、简荐单的非指数束数列得，……），榆建立声合理园的联翅想、践转换肾而达葬到问在题的收解决机。还必茧须熟年练地次掌握繁一些棍基本蒜数列贩的通幻玉项公宝式，里比如罪下面省这些欣数列惨均属功于基另本数何列，创它们趴的通岩项公裹式必绢须要桂记住轨。1、数逃列-1，1，-1，1，……的通酿项公炭式是徒：an=(膜-1含)n2、数梁列1，2，3，4，……的通杀项公讲式是裙：an=n3、数薄列1，3，5，7，……的通渡项公颠式是部：an=2蛾n-农14、数将列2，4，6，8，……的通夫项公黎式是痛：an=2决n5、数五列1，2，4，8，……的通罢项公票式是良：an=2n-熄16、数头列1，4，9，16，……的通史项公牧式是到：an=n27、数列1,,,,……的通项公式是：an=(其中n∈N*)例3、设a1=2澡,an+鹿1=2最an+3夺,则通紧项an可能需是（以）A、5-透3n予B、3·庆2n-侵1-1墨C、5-惜3n2D、5·板2n-林1-3分析透：问林题已洪给出咳递推岛公式娱，由霜此公伯式写阁出数虫列的燥前几闷项，锁然后黎检验荣这几界项与估选择俊项中督哪个构式子放相符挎合，恭可作矛出判捕断。解：童由递削推公恒式，呈可算穿得a1=2，a2=7；而由选择姥项中扎的通寨项，休分别丹算得A、急a1=2亭，堵a2=-艳1；B、它a1=2绩，胀a2=5叙；C、收a1=2启，成a2=-富7；D、a1=2砍，痕a2=7飞；D例4、求鹅数列{-进2n2+9剥n+臣3}中的威最大滥项。分析编：由栋通项纯公式和可以盯看出哀：an与n构成票二次打函数皂关系构，求钩二次河函数六的最贩值可用采用器配方糖法，绑此时苦要注润意其短中自颂变量n为正肢整数匪。解：由已知an=-2n2+9n+3=由于n为正纯整数雨，故悲当n取2时an取到渣最大泼值为13。所以奏数列{-怪2n2+9献n+脏3}中的乘最大抚项为a2=1避3小结喉：数列逢的项阳与项缝数之诱间构饼成特编殊的图函数成关系佣，在菠用函投数的糊有关取知识举解决粘数列亮问题睛时，爆要注荡意到而函数隐的定庸义域