数理方程特殊函数

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数理方程与特殊函数2本章主要介绍利用格林函数法求解拉普拉斯方程与泊松方程的狄氏问题。主要内容第六章格林函数法(一)、格林公式及调和函数性质(二)、泊松方程狄氏问题格林函数法(三)、几种特殊区域上狄氏问题格林函数(四)、三类典型方程的基本解问题授课时数：10学时3本次课主要内容(一)、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题(二)、三个格林公式格林公式及调和函数性质(三)、调和函数的概念与性质4Laplace方程:Poisson方程:1、Dirichlet问题（第一类边值问题）

(一)、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题5Laplace方程:Poisson方程:2、Neumann问题（第二类边值问题）6Laplace方程:Poisson方程:3、Robin问题（第三类边值问题）7借助于三个格林公式，可以得到拉氏方程与泊松方程洛平问题与狄氏问题解的积分表达式。三个格林公式可以借助于高斯公式导出。(二)、三个格林公式高斯公式：设空间区域V是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P,Q,R在V上具有一阶连续偏导数，S的方向取外侧，则：或8设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：1、第一格林公式证明：9由高斯公式：10设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：2、第二格林公式证明：由第一格林公式得：用(1)-(2)得第二格林公式。11设M0是V内一点，M是V中的动点，v(M)=1/rMM0,u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：3、第三格林公式M0MSVxyz12证明：球面：

球心：半径：由高斯公式可得：通过直接计算得：M0MSVxyz13又因球面方向指向内侧，与r方向正好相反，所以：又由于：14所以，当ε→0时，得到：于是得到第三格林公式：4、泊松方程洛平问题解的积分表达式定理1：泊松方程洛平问题15的解为：其中，n为曲面S的外法线。16推论1：拉吴氏方天程洛泪平问词题的解近为：n为曲湿面S的外疾法线童。171、定卖义：瞧如果歪函数u(耗x,固y,棚z)满足:(1悔)在康上具骡有二漆阶连兄续偏碑导数够；(2蕉)(三)、调野和函况数的孔概念伍与性惭质称u为V上的责调和仍函数带。2、调线和函葬数的音性质虹。性质1设u(攀x,农y,宣z)是区咽域V上的冈调和秃函数掠，则乳有证明车：第斤二Gr万ee于n公式:18取则：所以:推论1：拉揪氏牛榆曼问陈题有解推的必骨要条膀件是撇：19证明捎：若寻定解痰问题抵有解越，因u为V上调哨和函组数，葡由性汪质1，性质2设u(奏x,创y,息z)是区生域V上的寇调和收函数刮，则完有:证明航：由候第三迹格林顺公式胞，注茧意到u是调逆和函隆数，盘即得耳：20性质3:裁(平均灾值定滋理)设u事(x议,补y,还z错)是区拦域V上的京调和借函数弱，M0是V中任统意一灵点，SR是以M0为心午，R为半怎径的权球面造，且跌该球档完全滤落在V的内岂部，闲则有蛋：M0SRVxyz21证明:把性膨质2和性焰质1用到vR上有驰：M0SRVxyz22性质4(极值吨原理)设u(笋x,涉y,抚z)是有英界闭扭区域V内的柄调和处函数半，齿在V上连别续,薪且u遗(染M菠)≠常数对，则u(鄙M)的最讨大值蔬和最铃小值厘只能蛋在边配界面S上取纪得。证明傻：若箱不然商，设u在V内某福点M1取得禽最大送值。慕我们更可以饶推出惹在V上，u应(太M室)=常数饱，从斧而产便生矛从盾。首先泉：以M1为心浇，R为半盲径在V内作陪球VR，其骄球面隐设为SR.M1SRVxyz23可以演证明疑：在SR上，欧有u(咳M)钻=u纪(M1)若不坐然，佳设球森面上录有点M，使疲得u(已M)充<u倾(M1),则由妇连续炭函数缩慧保号化性，居存在M的一逝个邻妄域，党使得滔在该戴邻域梅内有u(窄M)甩<u曲(M1),于是心：但是沿，由波平均悬值定掀理：于是哗，产寨生矛颂盾！于是旬，对倡于以M1为心男，在窄任意垫的r≤R为半夕径的倡球面沟上有u(测M)须=u价(M1)24所以锅，我委们得奸到：铲在VR上有u(拌M)耳=u废(M1)其次需，可协以证英明：雨在V上任闲何一浪点T，有u(让M)挖=u唉(M1)。先用膏折线售把M1和T连接课起来望，并奥设整励个折胁线与V的边饼界的绸最短献距离轧为d.VM1T以M1为心,小于d的任鹅意数幻玉为半塘径作雪球K1。设晃该球渡与折含线相移交于M2，则融：u(漠M1)=矩u(链M2)；25又以M2为心,小于d的任旋意数膝为半酱径作省球K2。设侍该球惨与折婶线相啄交于M3，则吨：u(跨M3)=访u(退M1)；VM1T如此槽推下玻去，歼得到真球Kn，使得蛙它包唉含点T,且有门：u(僚T)萄=u能(M1)；这样勇，我掉们推趴出了u(嫁M)在V上为钉常数金。与拼条件斜矛盾树！26由调辉和函隶数极撤值原缩慧理，冒可以叼推出亲如下生几个坊结论哥：推论1设u为有议界闭券区域V内的熊调和摸函数油，在溜闭区援域V上连柔续，盟如果暗还在写边界住面S上为例常数K，则它链在内吼各点楚的值本也等衡于常改数K。证明蕉：由武极值杠原理丧：u在V上的沿最大栗值最施小值繁都只州能在S上取没得，脆所以腿：u|V=k晒.27推论2设u是在称有界叮区域V上的科调和展函数殖，且网在闭肿区域V上连岗续，钻如果患还在片边界蔬面S上恒懂为零喷，则屯它在驾内各倒点处达的值税都等片于零详。证明烈：由偷推论1即得皂证明忙。推论3设在击有界例区域V内的测两个眉调和永函数搞，在查闭区赏域V上连估续，仪如果骑它们帽还在债区域挂的边填界面S上取竿相等群的值旗，则窗它们另在V内所福取的撕值也骑彼此密相等悄。证明予：设营两个锅函数统分别永为u(米x,挺y,叛z)与v(送x,盲y,饲z)辆.作函堡数：28则F(巩x,茅y,岭z)在边格界S上取地值为0。由重推论2即可疤得结圈论。应用叔举例例1求定映解问娃题：解：鲜这是勿拉普黄拉斯床方程侄洛平扬问题防。由观调和萌函数踩极值遣原理框，在V上u=派1,同时核，当u=未1时，减显然耽满足顶定解分问题义。所坚以定禽解问缝题解尘应为u=崇1。29例2求定娱解问经题：解：味这是缘瑞泊松千方程住洛平肥问题毛，其活解为面：30例3求定游解问个题：解：尤这是纹泊松托方程盏狄氏忠问题宰。采用劣特解寨法先把把泊迫松方译程化乌为拉控普拉兔斯方益程。容易首知道剪，该侨泊松证方程泰的一敏个特寻解为签：于是草令：31得到泥：由极理值原戚理：所以怜，原成定解议问题你的解子为：32例4求证洁：是n维调淡和函巴数。么其中铜：C1,C2是常胡数。证明赵：(1蹲)随n=孝2时33同理贼：所以躬：(2害)喉n≠2时.所以舞：34Th挺an校k签Y才ou孟!35性质4(极值旗原理)设u(碗x,韵y,嘱z)是有务界闭礼区域V内的与调和鞋函数跟，枝在V上连歪续,酿且u组(崖M们)≠常数轨，则u(猪M)的最刚大值伯和最城小值缺只能份在边矩界面S上取胃得。证法秋二：曲若不团然，沙设u在V内P0(x0,y0,z0)取得遵最大惜值为M0，而u在S上的舅最大愿值为M*核,则：M*介<M0作函腔数其中P(对x,糊y,裕z)是V中点抱，R是包往含V的球替体半腾径。附录36但一凉方面泼，v(疼x,婚y,酬z)