数学建模微分方程与模糊数学

数学建模

微分与模糊专题专题板块系列概率统计专题1优化专题2模糊方法及微分方程专题3图论专题4模糊方法及微分方程专题Part1:微分方程模糊微分Part2:模糊数学part1：微分方程一微分方程模型二差分方程模型在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程.

在现实社会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时，可以利用计算机求其数值解)，既使得到其解析解，尚有未知参数需要估计.而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.如果则称平衡点x0是稳定的.称代数方程

f(x)=0的实根x=x0为方程(4-1)的平衡点(或奇点).它也是方程(4-1)的解.设一维微分方程模型平衡点的稳定性由于在讨论方程(4-1)的来代替.稳定性时，可用一阶微分方程模型平衡点的稳定性易知

x0也是方程(4-2)的平衡点.(4-2)的通解为关于x0是否稳定有以下结论：①若则x0是稳定的；②

若则x0是不稳定的.这个结论对于(4-1)也是成立的.一阶微分方程模型平衡点的稳定性代数方程组的实根x=x0,y=y0称为方程(4-3)的平衡点,记作P0(x0,y0).它也是方程(4-3)的解.微分方程组的平衡点的稳定性如果则称平衡点P0是稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则.设

则当p＞0且q＞0时，平衡点P0是稳定的；当p＜0或q＜0时，平衡点P0是不稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性稳定性模型建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景实例：捕鱼业的持续收获假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下渔场鱼量满足r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量，产量模型平衡点稳定骂性判王断x0稳定惠,倡可得浸到稳堤定产投量x1稳定芦,渔场溪干枯E~捕捞公强度r~固有第增长具率产量鼓模型图解卖法P的横盐坐标x0~平衡拉点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵雁坐标h~产量产量毙最大f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制驻渔场烂鱼量棕为最哀大鱼四量的县一半产量欠模型州－最察大产插量效益妙模型假设鱼销似售价冤格p单位葵捕捞艺强度部费用c单位务时间絮利润稳定缎平衡侵点求E使R(E)最大渔场狗鱼量收入T=ph(x)嘴=pE见x支出S=cE对于k阶差姥分方班程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)补=唱0售(册4-认6)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+爸1)器,…,x(n+k))醉=辽0酿,则称xn=x(n)是差列分方选程(4营-6把)的解,包含k个任捆意常惜数的画解称建为(4攀-6易)的通解,x0,x1,…,xk-1为已奖知时身称为(4浇-6帅)的初始浮条件,通解如中的膛任意扒常数狐都由葛初始绝条件味确定麻后的捉解称铲为(4赚-6摘)的特解.差分泛方程暴模型若x0,x1,…,xk－1已知，则形底如xn+k=g(n;xn,xn+1,哥…轿,xn+k-1)的差锤分方捏程的球解可复以在拖计算惑机上蚂实现.若有脂常数a是差事分方钥程(4情-6扩)的解，即F(n;a,a,…,a)顺=划0,则称a是差款分方恢程(4押-6扒)的平衡寄点.又对邪差分品方程(4府-6很)的任猛意由龟初始宋条件碧确定顶的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称崖这个棒平衡夸点a是稳定的.差分派方程巨模型一阶荡常系笋数线俯性差帅分方阀程xn+1+axn=b,(其中a,b为常是数，疲且a≠-1,衔0闯)的通暴解为xn=C(-a)n+b/(a+籍1)易知b/(a+1连)是其绣平衡拼点，幻玉由上抄式知顷，当证且仅忽当|a|＜1时，b/(a+1叹)是稳韵定的柳平衡备点.差分方方程控模型二阶硬常系贪数线热性差蓄分方惕程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常甜数.当r=承0时，淋它有似一特待解x*=殃0；当r≠帅0，且a+b+旱1≠集0时，漂它有兔一特仓解x*=r/(a+b+1马).不管誓是哪亲种情被形，x*是其节平衡宰点.设其兆特征寄方程2+a+b=催0的两纵个根绝分别抄为=1,=2.差分泛方程督模型①默当1,2是两常个不裙同实鉴根时之，二阶裳常系敏数线村性差据分方程亲的通贝解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;②当1,饼2=是两戴个相染同实嚼根时荷，二阶铸常系底数线占性差黎分方程膊的通诵解为xn=x*+矿(C1+C2n)n;则差分雨方程卷模型③当1,茧2=(co暂s±isi乡丰n)是一跳对共渠轭复鹅根时株，二阶踩常系饮数线败性差间分方程哑的通视解为xn=x*+n(C1co练sn+C2si恨nn).易知找，当模且仅远当特呀征方卧程的细任一怜特征歼根|i|＜1时,平衡诊点x*是稳亩定的.差分艘方程四模型对于最一阶梳非线升性差痰分方触程xn+1=f(xn)其平筛衡点x*由代魔数方蚁程x=f(x)解出.为分训析平简衡点x*的稳芳定性,将上疲述差槐分方突程近谣似为口一阶丽常系谦数线浮性差疾分方巨程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.

因此当时,x*是稳定的；当时,x*是不稳定的.当差分字方程孙模型问题供大德于求现象商品单数量劣与价要格的互振荡道在什枯么条斧件下按趋向鞭稳定当不穷稳定袍时政春府能攀采取朋什么短干预肺手段燃使之刚稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述矩商品要数量崇与价毁格的泡变化您规律数量茎与价努格在壮振荡市场项经济挠中的呆蛛网秒模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段快商品他数量新；yk~第k时段散商品烛价格消费五者的驰需求悦关系生产促者的量供应寸关系供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)全~平衡携点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…厨=x0,飞yk+1,yk+2,郑…=艺y0模型砌建立设x1偏离x0P0是稳创定平良衡点P0是不己稳定仰平衡柜点蛛但网遥模龙型稳定避性分解析xy0fgy0x0P0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4xy0y0x0P0fg曲线斜率稳定州性分微析在P0点附挪近用密直线掠近似令曲线P0稳定P0不稳尖定方傻程基模露型方程喇模型埋与蛛陶网模特型的狱一致稳定界性分重析~商品鉴数量锁减少1单位,价格言上涨寨幅度~价格寇上涨1单位,碑(下时誉段)供应榴的增泡量~消费搭者对联需求储的敏江感程写度~生产肥者对缝价格尊的敏汉感程色度小,有利黄于经句济稳恐定小,有利撒于经绩济稳谈定xk~第k时段酷商品趟数量讨；yk~第k时段阻商品寻价格经济稳定结果罗解释1.使尽量泊小，乘如=0以行民政手分段控臣制价祥格不判变2.使尽量馆小，买如=0靠经泡济实慕力控俗制数年量不纲变xy0y0gfxy0x0gf需求曲线变为水平供应曲线变为竖直结果哀解释守－政厘府干忠预生产企者根蒙据当厉前时联段和哨前一膨时段谋的价叙格决包定下欠一时戏段的面产量斯。生产披者管忽理水恶平提万高设供套应函怒数为需求化函数为不变二阶裤线性爷常系碌数差气分方森程模型草的推茎广方程通解(c1,c2由初绿始条哈件确胳定)1,2~特征根，即方程的根平衡析点稳伞定的条辱件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了x0为平轿衡点研究井平衡落点稳惯定，正即k,xkx0的条副件模型涌的推宋广一模糊集合及其运算二模糊聚类分析三模糊外综合北评判四模糊挪线性罚规划Pa楚rt秋2:模糊润数学一、经经典颂集合至与特氧征函小数集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的贩每个使对象u称为U的元素。模糊誓集合辆及其讲运算在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有或者，用函数表示为：其中函数梯称泰为集挖合A的特青征函让数。模糊州集合芦及其英运算罗素饼（Ru盯ss绸el睡l）悖涌论：在一学个孤禾岛上掀唯一触的一牛个理塘发师呆，其绣工作路是“悼专门是替那喉些不惹给自排己刮臭胡子栋的人螺刮胡盏子”怪，现洒问理雄发师殊本人喝该不狱该给效自己肆刮胡不子？取论域U={全岛刮胡子的人}，集合A={不给自己刮胡子的人}，用特征函数刻画为问题：显然理发师，那么理发师是否属于A？模糊利集合质及其粥运算二、想模糊零集合辆及其乌运算美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。基于此，1965年，Zadeh教授在《InformationandControl》杂志上发表了一篇开创性论文“FuzzySets”,标志着模糊数学的诞生。模糊肥集合验及其梦运算1、模葱糊子译集定义：设U是论域，称映射确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函数，称为对的隶属程度，简称隶属度。模糊子集由隶属函数唯一确定，故认为二者是等同的。为简单见，通常用A来表示和。模糊坝集合盾及其固运算模糊宿子集绳通常佩简称络模糊患集，以其表沫示方仪法有能：（1）Zadeh表示法这里表示对模糊集A的隶属度是。如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为可省棒略模糊渴集合歼及其智运算（3）向量表示法（2）序偶表示法若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：模糊肃集合盯及其股运算2、模收糊集表的运牺算定义张：设A，B是论筑域U的两学个模航糊子朽集，踏定义相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。模糊扮集合助及其核运算几个疼常用鼓的算允子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘积算子（3）环和、乘积算子模糊叔集合益及其宣运算（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘积算子（6）Einstain算子模糊缘瑞集合微及其核运算3、模夸糊矩善阵定义：设称R为模糊矩阵。当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，称R为模糊自反矩阵。（1）模鼓糊矩镇阵间耍的关弄系及兵运算定义：设都是模糊矩阵，定义相等：包含：模糊萍集合疲及其掌运算并：交：余：例：模糊役集合塞及其洋运算（2）模名糊矩挖阵的恢合成定义：设称模糊矩阵为A与B的合成，其中。例：模糊考集合消及其王运算（3）模守糊矩远阵的依转置定义：设称为A的转置矩阵，其中。（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设对任意的称为模糊矩阵A的截矩阵，其中模糊沈集合机及其悟运算例：模糊四集合弱及其女运算三、后隶属滤函数统的确桂定1、模肯糊统希计法模糊码统计盆试验剪的四围个要育素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖致使对A的隶属关系是不确定的。模糊巡寿集合光及其陡运算特点垦：在闹各次源试验格中，斥是固炊定的横，而铅在茂随机栗变动吹。模糊宏统计欲试验任过程努：（1）做n次试验，计算出（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对A的隶属度：模糊冈集合爬及其进运算2、指惨派方抚法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。3、其室它方呈法德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊扫集合砍及其路运算模糊楼聚类玩分析一、傅基本撒概念技及定猜理模糊败聚类脾分析例：草设朽对门于模阅糊等纷价矩管阵模糊惰聚类睬分析模糊望聚类葵分析例：科设有史模糊念相似厦矩阵模糊迟聚类枯分析二、元模糊首聚类侵的一残般步滑骤１、盈建立超数据费矩阵模糊材聚类辆分析（1）标肝准差障标准领化模糊征聚类粗分析（2）极差正规化（3）极差标准化（4）最大值规格化其中：模糊左聚类尺分析２、劲建立霉模糊存相似赛矩阵（1）相四似系女数法①夹角余弦法②相关系数法模糊脱聚类押分析（2）距网离法①Hamming距离②Euclid距离③Chebyshev距离模糊蚕聚类惜分析（3）贴限近度矮法①最大最小法②算术平均最小法③几何平均最小法模糊惩聚类赵分析3、聚成类并翻画出卫动态总聚类剖图（1）模荣糊传显递闭蚕包法步骤征：模糊台聚类休分析模糊腥聚类喇分析解：由题馆设知吊特性抛指标填矩阵蛇为采用街最大常值规险格化板法将秤数据隆规格古化为模糊炉聚类日分析用最衣大最毯小法贿构造模糊亩相似辛矩阵杂得到用平棒方法侧合成传爬递闭港包模糊胖聚类唱分析取，得模糊猎聚类泄分析取象，棉得取，得模糊梯聚类版分析取，得取，得模糊蚕聚类镇分析画出袋动态狠聚类备图如宿下：0.70.630.620.531模糊抗聚类浆分析模糊拣聚类时分析沫的简翅要流腰程:YN模糊棉模式皆识别模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。一最回大隶妨属原落