《结构力学》龙驭球动力学

第10

章结构动力计算基础高耸结构§10-1动力计算的特点和动力自由度1、结构动力计算的特点⑴动力荷载与静力荷载的区别

“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。或者荷载虽随时间变化但变得很慢，对结构的影响与静力荷载比相差甚徵，这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，仍属于静力荷载。由它所引起的内力和变形都是确定的。

“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。⑵动力计算与静力计算的的区别

两者都是建立平衡方程，但动力计算，根据达朗伯原理利用动静法，建立的是形式上的平衡方程，力系中包含了惯性力；考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。

动力计算的内容：研究结构在动力荷载作用下的动力反应（内力、位移、速度、加速度及惯性力等）的计算原理和方法。FP(t)tFP(t)t简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载2、动力荷载分类

动力计算涉及到内外两方面的因素：

1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等）；3）计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。

按变化规律及其作用特点可分为：⑴周期荷载：

荷载随时间作周期性变化。最简单也是最重要的一种称为简谐荷载，荷载FP(t)随时间t的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如转动电机的偏心力。其他的周期荷载可称为非简谐性的周期荷载。结构动力学的任务讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。⑶随机荷载：⑵冲击荷载：FPtFP(t)ttrFPtrFP短时内急剧增大或急剧减小。（如爆炸荷载）

荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。称为非确定性荷载，或称为随机荷载（如地震荷载、风荷载）。3、动力计算中体系的自由度

确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。

实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：

⑴集中质量法

把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱厂房排架水平振动时的计算简图单自由度体系2个自由度y2y12个自由度自由度与质量数不一定相等4个自由度m1m2m32个自由度水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ(t)v(t)u(t)y(x,t)x无限自由度体系自由度的确定举例:1)平面上的一个质点W=22)W=2*弹性支座不减少动力自由度3)计轴变时W=2不计轴变时W=1**为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。4)W=15)W=2***自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。6)W=27)W=18)平面上的一个刚体W=39)弹性地面上的三维刚体W=6W=210)4)W=15)W=2***自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。6)W=27)W=1W=1自由度的确定8)平面上的一个刚体W=39)弹性地面上的三维刚体W=610)W=211)12)W=13****自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系；自由度无限多的体系为无限自由度体系。（4）自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多(有限）自由度体系；自由度无限多的体系为无限自由度体系自由度。（3）自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。（1）弹性支座不减少动力自由度。（2）为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。确定动力计算自由度时应注意以下几点:⑵广义坐标法：

假定结构的位移曲线用一系列已知且满足边界条件的位移函数之和来表示。如具有分布质量m的简支梁是一个具有无限自由度的体系，简支梁的挠度曲线可用三角级数来表示：用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。

ak(t)—称广义坐标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，若式中所需确定的参数ak只取有限项，则简支梁被简化为有限xyxy(x,t)自由度体系。(此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系)这样，就简化为有限自由度体系。

如右图所示烟囱原来也是一个具有无限自由度的体系，由于底部是固定端，因此x

=0处，挠度

y

及转角应为零。根据上述位移边界条件，挠度曲线近似设为⑶有限元法：

有限单元法可以看作为广义坐标的一种特殊应用。将结构分成若干个单元。单元的结点位移作为基本未知量（广义坐标）。整个结构的位移曲线则借助于给定的形状函数叠加而得。ml/5l/5l/5l/5l/5ml/5ml/5ml/55l/543210543210φ1(x)y1=

1φ2(x)543210θ1=

1

如图10-9a中，梁分为5个单元，取结点位移参数（挠度y

和转角θ）作为广义坐标。在图10-9a中取中间四个结点的八个位移参数

y1、θ1，y2、θ2，y3、θ3，y4、θ4作广义坐标。

通过以上步骤，梁即转化为具有八个自由度的体系。可看出，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点。

每个结点位移参数只在相邻两个单元内引起挠度。在图10-9

b

和

c中分别给出结点位移参数y1和θ1相应的形状函数φ1(x)和φ2(x)。

梁的挠度可用八个广义坐标及其形状函数表示如下：第10章所有习题动力自由度数的判断，写在课本上补充体系运动微分方程的建立

要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。运动方程m施力物体惯性力m形式上的平衡方程，实质上的运动方程n次超偶静定纱结构基本结构在荷载作用下发生的沿Xi方向的位移

基本结构在Xj=1作用下发生的沿Xi方向的位移

假设图原结袜构沿Xi方向买的位畜移为嫂零位移貌的地侄点产生服位移性的原雕因n次超负静定比结构1）的物理意义；2）由位移互等定理；3）表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；4）柔埋度系纲数及愈其性泛质主系数副系数5)最后标内力一、乘柔度望法F=1柔度结系数柔度握法步愚骤：1.在质卫量上盾沿位阻移正除向加辜惯性备力；2.求外后力和沟惯性秘力引命起的网位移港；3.令该档位移悟等于损体系简位移秧。mEIly(t)y(t)柔度辉法实酷质：从变形捐协调铁角度存建立魂运动微分余方程,思路需类同坡于力斧法方程歌的建体立。二、喘刚度雅法mEIl刚度潮系数刚度露法步散骤：1.在质有量上燥沿位负移正滋向加阻惯性程力；2.求发迹生位校移y所需守之力龟；3.令该省力等能于体补系外誓力和冈惯性暴力。1y柔度趟法步值骤：1.在质次量上协沿位窑移正裂向加急惯性蕉力；2.求外铸力和来惯性六力引冤起的既位移华；3.令该疯位移棚等于准体系栽位移哗。刚度知法实震质：从静力系平衡劫角度根建立绳运动微分棵方程,思路请类同蚀于位斩移法方秀程的痰建立败。柔度锦法实谅质：从变形粒协调捧角度悬建立爪运动微分尾方程,思路誉类同丽于力卫法方程壮的建角立。三、吸列运处动方掉程例势题(1鞠)例1.mEIlEIlF=1l将系援数代放入并铺整理聚后:例2.=1lmEIlEIl/2l/2FP(t)FPl/4将系狱数代葬入并朗整理纠后:柔度愤法步泽骤：1.在质百量上锤沿位委移正愚向加嫁惯性恭力；2.求外谜力和强惯性牛力引嫌起的谎位移度；3.令该修位移矿等于戒体系亏位移挂。k111+k122+·卡·衬·龄·栏·稼·勉·崭·惹·示·+k1nn+F1P=钱0k211+k222+·鬼·测·披·泛·俯·膏·蚕·怒·禁·就+k2nn+F2P=室0·惕·塘·藏·奸·轮·鱼·柴·因·似·夫·告·兔·坛·罚·闹·哀·桂·爸·程·罚·献·使·纸·商·斜·邻·俩·捎·同·哥·凑·奔·铺·kn11+kn22+·俯·恋·欧·盐·荷·遵·语·掉·采·+knnn+FnP=斥0具有n个独勤立结督点位路移的洪超静览定结肯构：位移低法典拜型方辰程的垃物理司意义塌：结点种附加的约束融的反捆力之置和等险于零，所以李方程菜右端秩恒等桂于零惩。位毙移法眨典型押方程窑也是易平衡鲜方程莲。刚度工矩阵早中的弃系数嘱称为刚度榴系数拌：对称锁方阵主系数副系控数约束辨的地阶点产生分反力榨的原瞧因结构的刚度矩阵基本指结构j处附宴加约眠束发肉生单证位位厅移在i处产塑生的尖约束验反力层间较侧移馆刚度mlEIEIl1对于惕带刚束性横马梁的疤刚架(剪切购型刚谷架),当两检层之摔间发陷生相预对单卵位水粘平位搁移时,两层之填间的泪所有皂柱子留中的据剪力警之和殖称作外该层的宜层间即侧移现刚度.EIllEIEIEI层间图侧移读刚度对于胀带刚予性横型梁的较刚架(剪切惕型刚吉架),当两句层之谜间发纠生相如对单阿位水芽平位甘移时,两层之酱间的某所有兼柱子醋中的除剪力筝之和差称作籍该层的蕉层间影侧移龙刚度.EIllEIEIEIEIllEIEIEI三、沉列运盐动方允程例悼题(1妻)例3.mEIlEIl1经整幅理后,得:三、吓列运显动方宝程例御题(1巷)例4.mEIl/2EIl/21三、喘列运吓动方竭程例航题(1酷)列运适动方堡程时我可不蔬考虑移重力畏影响例5.---FP(t)引起的动位移---重力引起的位移质点影的总怜位移途为加速协度为mEIl/2l/2W例6建立芳图示眠体系坛的运愤动方净程y(t)2y(t)3y(t)m2mlllkAm2mlllkA3m2mlllkA思考陶题?例7建立朗图示撑体系埋的运钉动方节程llEImAB方法2:方法1:三、愉列运偏动方网程例揪题(2谅)例8.m1EIl/3l/3l/3m2=简记字为位移泼向量柔度火矩阵荷载过向量质量旧矩阵加速度向量例9.m1m2=刚度杂矩阵例9.m1m2=+例9.m1m2§1乞0-桂2单自乒由度伤体系荡的自灶由振另动自由字振动碎：体系材在振派动过像程中胳没有献动荷俘载的晨作用及。静平衡位置m

获得初位移ym

获得初速度自由渴振动扑产生吴原因盈：体系纲在初测始时母刻（t梯=0）受厘到外南界的害干扰荐。研究堪单自少由度浙体系横的自晓由振蓝动重斧要性滥在于佣：1、它矮代表幅了许磁多实喜际工的程问哈题，禁如水轿塔、库单层垦厂房百等。2、它缝是分料析多谨自由债度体辈系的批基础它，包承含了碧许多询基本浆概念们。自由从振动涛反映颜了体炕系的脚固有阴动力熊特性案。要解孝决的裤问题肌包括苗：建立蒸运动乳方程汽、计驾算自泄振频托率、辰周期洗和阻腰尼……斑….1、自由由振朵动微多分方魄程的优建立方法孟：达朗虑伯原字理应用沟条件缺：微幅象振动追（线服性微泪分方扶程）⑴刚度默法：研究票作用誉于被业隔离咸的质异量上呆的力驼，建幸立平仙衡方眉程。mk弹簧狮模型由平视衡位较置计码量。训以位症移为喇未知董量的易平衡呆方程猛式，刑引用灰了刚忽度系文数，斯称刚就度法饼。yym如图蹄所示宵的悬励臂立够柱顶疾部有卵一重拿物，海质量垃为m。设唯柱本茅身质叛量比m小得略多，葡可忽辰略不联计。帅因此降，体离系只蒜有一坐个自堂由度真。设由稳于外趴界干储扰，盏质点m离开喜静止环的平尺衡位肆置。谜干扰慨消失焰后，者由于册柱弹茧性力摇的影宝响，涌质点m沿水歉平方莲向产垫生自考由振赚动，逐在任热一时洒刻t质点轧的水众平位货移为y(t蚂)。

取质量

m在振动中位置为y时的状态作隔离体，其上作用有惯性力,与加速度反向；弹性力与位移反向。动力传平衡誉法（衫达朗瓜伯原烦理）去：考虑廉质点存上力避系的陡平衡⑵柔度送法：研兴究结厦构上雪质点脊的位宴移，低建立揪位移贯协调宫方程今。FI(t)可得茧与刚露度法互相同喇的方宇程刚度友法常申用于布刚架允类结日构，沸柔度吸法常驼用于岗梁式坚结构趣。mky惯性遭力：2、自趴由振饮动微本分方校程的冬解改写眠为其中它是弄二阶卧线性米齐次佣微分能方程础，其忽一般夹解为昌：积分晒常数C1，C2由初锄始条贵件确雅定。设t自=0时：（d）式可贤以写喊成由式萄可知贿，位健移是仇由初寄位移y引起灶的余读弦运害动和溉由初颤速度v引起混的正育弦运瞎动的淡合成轨，为捆了便花于研狼究合目成运捕动,令(1伤0－浑3)式改佛写成它表李示合闹成运兽动仍著是一尘个简站谐运抱动。瓣其中A和可由皂下式得确定振幅相位淘角mkyy0ty-yTTTyt0yt0A-A3、结赞构的到自振党周期由式及图没，可很见位缝移方广程是爬一个悲周期斗函数召。Tyt0A-A周景期：工程希频率评：圆频版率：计算面频率光和周留期的非几种厨形式抓：频率你和周旋期的丙讨论研：⑴只与怒结构疯的质堡量与哀刚度相有关踪蝶，与译外界封干扰糟无关默；⑵Ｔ与m的平服方根续成正外比，杏与k成反凳比，后据此势可改且变周事期；⑶是结纸构动没力特妈性的馅重要霞数量词标志累。l例10兼-1、计算作图示晃结构伐的频浴率和哈周期捕。1⑵计算看竖向越振动方周期E,I1E,A1WlA,E,ImEI1⑴计算用水平糠振动遣周期例10号-2、图示唐结构镰杆顶哗有重俘物，傻其重殿量为W，分秋别求掉水平郊和竖随向振尺动的够周期硬。IIEI1=mhk例10饺-3、计算命图示堪刚架庙的频腥率和争周期完。由截晋面平巩衡条岩件：y(t)2y(t)3y(t)m2mlllkAm2mlllkA2m3mlllkA例计算旅图示痕体系柴的自壁振频盖率。练习10浩.1：结构送柔度爬系数析或刚妨度系旅数的社求解傲。⑵⑴h11mmh11kh一端周铰结尝的杆柳的侧盲移刚柳度为亮：两端混刚结驼的杆腊的侧自移刚剂度为盘：1l/8l/8练习10畜-2、图示忠三根发单跨吴梁，EI为常炎数