隐函数的求导方法

关于隐函数的求导方法第1页，课件共46页，创作于2023年2月一、一个方程所确定的隐函数及其导数什么是隐函数？显函数:第2页，课件共46页，创作于2023年2月隐函数:二元方程一元隐函数如有时可以将隐函数显化：第3页，课件共46页，创作于2023年2月第4页，课件共46页，创作于2023年2月第5页，课件共46页，创作于2023年2月第6页，课件共46页，创作于2023年2月第7页，课件共46页，创作于2023年2月定理1.

设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数第8页，课件共46页，创作于2023年2月两边对x求导在的某邻域内则第9页，课件共46页，创作于2023年2月例1方法一（公式法）第10页，课件共46页，创作于2023年2月例1方法二（直接求导法）方程两边对x求导，把y视为函数。第11页，课件共46页，创作于2023年2月例1方法三（微分法）方程两边同时微分第12页，课件共46页，创作于2023年2月若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还可求隐函数的第13页，课件共46页，创作于2023年2月由一个三元方程确定的隐函数二元显函数：第14页，课件共46页，创作于2023年2月二元隐函数：三元方程二元隐函数：如可以显化第15页，课件共46页，创作于2023年2月第16页，课件共46页，创作于2023年2月第17页，课件共46页，创作于2023年2月定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确第18页，课件共46页，创作于2023年2月两边对x求偏导同样可得则第19页，课件共46页，创作于2023年2月例2方法一（公式法）第20页，课件共46页，创作于2023年2月例2方法二（求偏导）方程两边对

x

求偏导，把z视为函数，y视为常数。第21页，课件共46页，创作于2023年2月例2方法三（微分法）方程两边同时微分第22页，课件共46页，创作于2023年2月例2第23页，课件共46页，创作于2023年2月解令则第24页，课件共46页，创作于2023年2月练习解：第25页，课件共46页，创作于2023年2月二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G

的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比第26页，课件共46页，创作于2023年2月定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；第27页，课件共46页，创作于2023年2月定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P85)第28页，课件共46页，创作于2023年2月有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P

的某邻域内解的公式故得系数行列式第29页，课件共46页，创作于2023年2月同样可得第30页，课件共46页，创作于2023年2月例3.

设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:

求答案:由题设故有第31页，课件共46页，创作于2023年2月例3.

设求解法2（微分法）方程组两边同时微分用Gramer法则第32页，课件共46页，创作于2023年2月显然，利用全微分法求偏导数更简便第33页，课件共46页，创作于2023年2月例4.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解:1)令对x,y的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数第34页，课件共46页，创作于2023年2月①式两边对x求导,得则有由定理3

可知结论1)成立.2)求反函数的偏导数.①②第35页，课件共46页，创作于2023年2月②从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得第36页，课件共46页，创作于2023年2月例4的应用:计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于第37页，课件共46页，创作于2023年2月内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.思考与练习设求第38页，课件共46页，创作于2023年2月提示:

第39页，课件共46页，创作于2023年2月解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节由dy,dz

的系数即可得作业

P892,8，9,10(1);(3)第40页，课件共46页，创作于2023年2月备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.

设解:两个隐函数方程两边对x

求导,得(考研)解得因此第41页，课件共46页，创作于2023年2月2.设是由方程和所确定的函数,求解法1

分别在各方程两端对x

求导,得(考研)第42页，课件共46页，创作于2023年2月解法2

微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得第43页，课件共46页，创作于2023年2月二元线性代数方程组解的公式解:第44页，课件共46页，创作于2023年2月雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积