专升本高数高等数学课件1第三章

一、最值的求法第六节最大值、最小值问题步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)二、应用举例例1解计算比较得例5

求函数在闭区间上的最大值和最小值.解（1）求导数：令（2）求端点及各驻点的函数值：（3）比较：最大值最小值为经济应用数学

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HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例2解:点击图片任意处播放\暂停例3敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟,河的宽度0.5千米．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;B20kmAC100km现要在AB上选定一点D向工厂C修筑一条公路例2.铁路线上A,B两地相距100公里,工厂C距A处20公里,AC垂直于AB.已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问

D点应选在何处?D解不妨设铁路每公里运费为3k,公路每公里运费为5k.令则运费得所以,D点应选在距A点15公里处,运费最省.例3.某商店每年销售某种商品a

件，每次购进的手续费为b

元，而每件商品每年库存费为c元。在该商品均匀销售的情况下，问商店应分几批购进此种商品，能使所需手续费及库存费之和最小？解.设每批购进

x

件商品，所需总费用为

y

元。则得即批数为时，费用最小。

案例1

面包价格的确定：某职业院校为了培养学生的创业能力，鼓励毕业学年的学生在校园里开展各种营销活动.为了探索创业途径，学生蔡明利用业余时间在学院内的一家面包销售点打工.经过一段时间统计，他发现某种面包以每块2元的价格销售时，每天能卖掉500块；若价格每提高1角，每天就会少卖掉10块.另外，面包点每天的固定开销为40元，每块面包的成本为1.5元.此后，蔡明决定独自经营该面包销售点.问：蔡明怎样确定面包的价格，才能使获得的利润最大？经济应用数学

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HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege解设x为每天的销售价格，y为每天

销售的块数，P为每天的利润.据题意，当时，

于是，得解得

每日的收入：

每日的成本是：

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HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege每日的利润是：将

代入上式，得经济应用数学

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HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege求导：求二阶导数：因为所以在x=4.25取得极大值.又在区间内只有惟一驻点，所以在点x=4.25处必取得最大值，且最大值为答：面包的价格定为4.25元/块时，才能获得最大利润，且最大利润为716.25元.经济应用数学

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HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege案例2（经济批量）某工厂每年需要某种原料100万吨，且对该种原料的消耗是均匀的.已知原料每吨的年库存费是0.05元，分期分批均匀进货，每次进货的费用为1000元.试求最佳订货批量和年订货总次数.经济应用数学

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HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege解设每次购进x万吨，则平均库存量为总库存费用为一年进货总次数为，总进货费用为所以，总费用为经济应用数学

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HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege于是，问题归结为：求x为何值时，函数E在区间内取得最小值.解得（舍去）、

因为在区间内总费函数只有唯一驻点所以在该点处必取得最小值.即最佳订货批量为20吨，每年进货次数为次，最小总费用为10000元.经济应用数学

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HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例1:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得,则令,解得,从而

,即h=2r.由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.综合实训课外（P）第2(1)(4)题；第3(1)(2)题；第6题；第10题。(1)函数的驻点一定是它的极值点(4)函数的极值可能在区间端点取得判断题：取得极值,则必有在(2)若函数的极大值一定大于它的极小值(3)××××

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