力学大会2015集求解可压缩流动的点云重构高精度无网格法

*，*（航天航空学院工程力学系，以求解可压缩Euler方程为例，这种方法采用多项式基函数进行点云重构，从而得到流动变量的分布点云法，高精度，最小二乘法，无网格 pointmethod)，只需要在求解域上布置求解点即可，不需要单元来填充。它的求解过程往往与点点edge-base数据结构。R.Lӧhner等[1]利用多项式构造通量的分MUSCL的近似一维插值得到通量计算的左右状态值，最终应用在二维可压缩流动计算中。E.Ortega等[2]将这一类方法推广到三维的可压缩流动计算中。P.VTotaZJWang等[3]则利用径向函数的方法来构造通量的分布及计算左右状态值。Katz等人[4-6]则提出了一种MeshlessVolumeedge点选取同一方法，减少了计算量。这方法中对空间离散位置的严格要求。以二维计算平面为例，介绍“点云”的概念。如图1所示，中心点i周围的点称为点云的候选点，空间分布的离散点Ks(s=1,2,6)为i点在物理区域内的相邻点，其中，i点为点云的中心点。1云示意点云中心点的信息是通过其周围支持点的信息近的，考虑到近精度，选点时应尽可能使各为无网格算法所需的点云形式。如图2所示，非结构网格中点云选取规则为：与点云中心点有层作为二次多项式重构，2层作为3次多项式重构，依此类推。非3云重构模板点设在整个物理空间内，每个点可以唯一表示为（x,y,u），其中，uK Kui(x)uil,i(x,y)l

ui(xxi)ui(yyi)ui(xxi) xyul为重构多项式系数，l=0,1,2,...,K。对kl i K=(k+1)(k+2)/2-1。特别地，在物理量重构中，有u0u。以二阶重构多项式为例，为求得重构多项式系数uli uu0u1xu2yu3x2u4xy xjxjxiyjyjyijCloud(i即Cloud(i)内的模板点数要大于重构多项式系数的个数，并由此形式超定方程组，可采用最小二乘方法对重构多项式中待定系数进行求解。进而可以得到重构多项式u的梯度u，即uau,ub j j jj其中，(aj,bj)T只与几何信息有关，可提前

UFG

u

u2

U ，F ，G vE

v2 在上述中，、u、v、p、E和H分别表示流体的密度、速度分量、压力、总能和总焓。通过上节的点云重构过程，可以得到通量梯度，将式(3)代入Euler方程，有U

aF(U)bG(U j=1 i, i,j通aF(U)bG(U) Fˆ(UL,UR,n i, i, i, i, i, i, i,其中，UL、UR为通量模板点处的左右状态，通过点云重构过程获得。将上代入式(5)i, i,U j

Si,jFi,j(Ui,j,Ui,j,ni,j WAP[-10r uj( uk( 的两个候选多项式，即 和 ，此过程称为二次重构过程ji kiKluji(x)uiujil,i(x),j1,2,,l

其中，ul 为邻域内节点j作延拓后的二次重构系数，n为邻域内节点数，l,i(x)为中心节点i的 1 l , l , l

l

j

l

j

l

j有了候选多项式，就可以对重构系数ul、 进行限制，设限制后的重构系数为ul，则 ulL(ul, , ,, 令 (ul)，j1,2,L,n，为大于零的小量避免分母为零，计算中取1010 ululL(1,, 其中，L为无量纲化限制函数，即WBAP限制器，其具体n)L(1,1,)

1jj于是，经WBAP限制后的多项式为 KKu%i(x)uil

等熵涡问题[11]的描述是在初始的平均来流,u,v,p}={1,1,1,1} y(1r2) x(1r2) (1)2u

,v

,T

,S(xyx5,y5)r2x2y25。计算区域为[0,10]×[0,10]，边界条件TVDRunge-Kuttat=2s2-4阶无网格格式进行计算，计算1等熵涡精格 网L1阶L∞阶8.57E-2.24E-2 2.45E-5.97E-4.80E-1.30E-1.08E-2.85E-5.32E-1.42E-3 1.05E-2.42E-1.44E-3.04E-1.83E-4.02E-1.64E-2.85E-4 1.20E-1.86E-6.49E-3.60E-4.67E-1.12E-图6上可看到四阶格式对于滑移线的捕捉明显优于二阶格式。图6使用二阶和四阶无网格格式计算的密度 数 LӧhnerR,SaccoC,OnateE,IdelsohnS,Afinitepointmethodforcompressibleflow,Int.J.Numer.Meth.Engng,OrtegaE,OnateE,IdelsohnS,afinitepointmethodforadaptivethree-dimensionalcompressibleflowcalculations,J.Numer.Meth.Fluids,60(2009)937-KatzA,JamesonA,Acomparisonofvariousmeshlessschemeswithinaunifiedalgorithm,AIAA2009-KatzA,JamesonA,Meshlessschemebasedonalignmentconstraints,AIAAJournal,48(11)(2010)2501-KatzA,JamesonA,Ameshlessvolumescheme,AIAA2009-RoeP.ApproximateRiemannsolvers,parametervectors,anddifferenceschemes.JComputPhys1981;43(2):357-WanaiLi,Yu-XinRen,Highorderk-exactWENOfinitevolumeschemesforsolvinggasdynamicEulerequationsonunstructuredgrids,Int.J.Numer.Meth.Fluids,70-6(2012)742-763LiW,RenYX.Themulti-dimensionallimitersforsolvinghyperbolicconservationlawsonunstructuredgrids.JComputPhys2011;230:7775-7795.LiW,RenYX.Themulti-dimensionallimitersforsolvinghyperbolicconservationlawsonunstructuredgridsII:Extensiontohighorderfinitevolumeschemes.JComputPhys2012;231:4053-4077.HuCQ,ShuCW.Weightedessentiallynon-oscillatoryschemesontriangularmeshes.JComputPhys1999;150:97-SodG.Asurveyofseveralfinitedifferencemethodsforsystemsofnonlinearhyperbolicconservationlaws.JComputPhys1978;77:439-471.HIGHORDERMESHLESSMETHODLESSBASEDCLOUDOFPOINTSRECONSTRUCTIONFORSOLVINTTWODIMENSIONALCOMPRESSIBLELI REN(1Departmentofengineeringmechanics,Tsinghuauniversity,Beijing100084,Theconstructionofarbitraryhighordermeshlessmethodsforsolvingcompressibleflowsstillremainsanopenquestioninthecurrentliture.Thispaperproposesageneralframeworkforconstructingtheupwindhighordermeshlessmethods.InsolvingEulerandNavier-Stokesequations,theseschemesusetheweightedleastsquaresfortheflowvariablereconstructionandthefluxevaluation.Theidentificationofstencilsforboththeflowvariablereconstructionandfluxevaluationareintroduced.Tosuppresstheoscillationsneardiscontinuities,thispaperusestheWBAPlimiterbasedonthesecondaryreconstructionprocedure.Allthesestepsmakethemeshlessmethodproposedinthispaperachievethedesiredorderofaccuracyandbecapable