高考数学轮复习难点突破教学案难点不等式恒成立问题

纵观近几年高考对于不等式综合问题的察看，主要有三类问题：恒建立问题、能建立问题以及恰建立问题，要修业生有较强的推理能力和正确的计算能力，才能顺利解答．从实质授课来看，这部分知识能力要求高、难度大，是学生掌握最为单薄，看到就头疼的题目．剖析原因，除了这类题目的下手确实不易之外，主假如学生没有形成解题的模式和套路，致使于碰到近似的题目便产生惧怕心理．本文就高中阶段出现这类问题加以种类的总结和方法的商议．不等式恒建立问题新课标下的高考越来越重视对学生的综合素质的察看，恒建立问题即是一个察看学生综合素质的很好路子，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，浸透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思想的灵便性、创立性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考取屡次出现恒建立问题，其形式渐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可以分．解决高考数学中的恒建立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分别参数法；④数形结合法；⑤消元转变法．下面我就以近几年高测试题为例加以剖析．1．1函数性质法一、一次函数——单一性法图1（1）二、二次函数——利用鉴别式、韦达定理及根的散布求解有以下几种基本种类：种类1：设f(x)ax2bxc(a0).（1）f(x)0在xR上恒建立a0且0；（2）f(x)0在xR上恒建立a0且0．种类2：设f(x)ax2bxc(a0).（1）当a0时，f(x)0在x[,]上恒建立bbb,2a或2a或2af()00f()0.f(x)0在x[,]上恒建立f()0,f()0.（2）当a0时，f(x)0在x[,]上恒建立f0,f0.bbb,f(x)0在x[,]上恒建立2a或2a或2af()00f()0.例2（2012蚌埠二中测试）已知不等式mx24mx40对随意实数x恒建立．则m取值范围是（）A．1,0B．1,0C．,10,D．1,0思路剖析：由不等式mx24mx40对随意实数x恒建立，知m0或m0,16m0.16m2由此能求出m的取值范围．例3(08年江西卷理12)．已知函数fx2mx224mx1,gxmx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值最罕有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．0,2B．0,8C．2,8D．,0思路剖析：f(x)与g(x)的函数种类，直接受参数m的影响，∴第一要对参数进行分类讨论，尔后转换成不等式的恒建立的问题利用函数性质及图像解题．三、其余函数：f(x)0恒建立f(x)min0（注：若f(x)的最小值不存在，则f(x)0恒建立f(x)的下界大于0）；f()x0恒建立f(x)max0（注：若f(x)的最大值不存在，则f(x)0恒建立f(x)的上界小于0）．例4（2013年高考重庆卷文）设0,不等式8x2(8sin)xcos20对xR恒建立,则a的取值范围为____________.例5（2013年高考浙江卷文）设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab等于______________.例6（2013年上海高考数学试题文）设常数a0,若9xa2a1对所有正实数x建立,则a的取值范围为x________.【答案】[1,)5例7（07年重庆卷理20)已知函数f(x)ax4lnxbx4c(x0)在x1处获取极值3c，其中a，b为常数．1）试确定a，b的值；2）讨论函数f(x)的单一区间；（3）若对随意x0，不等式f(x)2c2恒建立，求c的取值范围．思路剖析：f(x)2c2恒建立，即f(x)min2c2，要解决本题重点是求f(x)min，x0例8（08天津文21）．设函数f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a,bR．（Ⅲ）若对于随意的a2，2，不等式f(x)1在11，上恒建立，求b的取值范围．（节选）思路剖析：f(x)1，即f(x)1，，，x，，要解决本题重点是求．maxa2211f(x)max例9（09年全国卷II文21）设函数f(x)1x3(1a)x24ax24a，其中常数a1．3（II）若当x0时，f(x)0恒建立，求a的取值范围．（节选）思路剖析：利用导数求函数的最值，由恒建立条件得出不等式条件进而求出a的范围．1．2分别参数法——极端化原则若所给的不等式能经过恒等变形使参数与主元分别于不等式两头，进而问题转变为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分别参数法来确定不等式fx,0（xD，为实参数）恒建立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分别，即化为gfx（或gfx）恒建立的形式；（2）求fx在xD上的最大（或最小）值；（3）解不等式gf(x)max(或gfxmin)，得的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分别；（2）函数的最值易求出．例10（2013新课标卷Ⅰ理11）已知函数f(x)x22x,x0，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是ln(x1),x0A.(,0]B.(,1]C.[-2,1]D.[-2,0]例11（07年山东卷文15)当x(1,2)时，不等式x2mx40恒建立，则m的取值范围是．（1）当

a,b

知足什么条件时，

f(x)获取极值

?（2）已知

a

0，且

f(x)

在区间

(0,1]上单一递加，试用

a表示出

b的取值范围．思路剖析：本题虽有三个变量

x，a，b，而

x的范围已知，最后要用

a表示出

b的取值范围，∴能够将a看作一个已知数，对

x和b进行离参．例13（2010天津高考理16）．设函数f(x)x21，对随意x2,，3fx4m2f(x)f(x1)4f(m)恒建立，则实数m的取值范围是．m1．3主参换位——反宾为主法某些含参不等式恒建立问题，在分别参数会碰到讨论的麻烦或许即使能简单分别出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思想角度“反宾为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角从头审查恒建立问题，经常可防范不用要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，峰回路转又一村”的围魏救赵的收效．例14（07辽宁卷文科22)已知函数f(x)x39x2cos48xcos18sin2，g(x)f(x)，且对随意的实数t均有g(1cost)0，g(3sint)0．(Ⅰ)求函数f(x)的剖析式；(Ⅱ)若对随意的m[26,6]，恒有f(x)x2mx11，求x的取值范围．例15(08安徽文科20)．已知函数f(x)ax33x2(a1)x1，其中a为实数．32（Ⅱ）已知不等式f(x)＞x2xa1对随意a(0，)都建立，求实数x的取值范围．（节选）思路剖析：已知参数a的范围，要求自变量x的范围，变换主参元x和a的地址，结构以a为自变量x作为参数的一次函数g(a)，变换成a(0，)，g(a)0恒建立再求解．1．4数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为f(x)g(x)（或f(x)g(x)）后，能特别简单地画出不等号两边函数的图像，则能够经过绘图直接判断得出结果．特别对于选择题、填空题这类方法更显方便、快捷．例17.若不等式3x2logax0在x0,1内恒建立，求实数a的取值范围．31．5消元转变法例19．已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若m,n[1,1],mn0时f(m)f(n)0，若mnf(x)t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]恒建立，求实数t的取值范围．议论：对于含有两个以上变量的不等式恒建立问题，能够依照题意依次进行消元转变，进而转变为只含有两变量的不等式问题，使问题获取解决．上述例子剖析了近几年数学高考取恒建立问题的题型及解法，值得一提的是，各样种类各样方法其实不是完好孤立的，诚然方法表现的不同样，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正表现了数学中的“一致美”．不等式能建立问题的办理方法若在区间D上存在实数x使不等式fxk建立，则等价于在区间D上fxmaxk；若在区间D上存在实数x使不等式fxk建立，则等价于在区间D上的fxmink．注意不等式能建立问题（即不等式有解问题）与恒建立问题的差异．从会合见解看，含参不等式fxkfxk在区间D上恒建立DxfxkfxmaxkDxfxkfxmink，而含参不等式fxkfxk在区间D上能建立最少存在一个实数x使不等式fxkfxk成立DxfxkfxminkDxfxkfxmaxk．例20．若对于x的不