战地黄花考研数学讲座

(1)

“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结

果。实在是一件不容易的事。

非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在

准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。

在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。

在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向

量。

在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生

有较好的《高等数学》基础。

非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟,

下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。

大学数学教学目的，通常只是为了满足相关木科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来

进行概念训练。

考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有

学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。

做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。

按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每

个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。

从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业

的木科生们所接触的，只是初等微枳分的•少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记

忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，”这个题目涉及的概念是---"，而非“在哪儿做过这道题”,

才能算是有点入门了。

你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。

阳春三月风光好，抓好基础正当时。

考研数学讲座(2)笔下生花花自红

在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。”

发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写"与"思''同步的重要性。

也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写'’的重要性。考研的学生们，往往拿

着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。

数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。

科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何

迈出第一步。

或“依据已知条件，我首先能得到什么？“(分析法)；

或“要证明这个结论，就是要证明什么？“(综合法)。

在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。

“连续函数与不连续函数的和会怎样？”

写成“连续A+不连续B=?”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。(穷尽法)。

如果，“连续A+不连续B=连续C”移项，则“连续C一连续A=不连续B”

这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。

有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导“，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是

否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，

题面上有已知条件f-(l)>0,概念深，写得熟的人立刻就会先写出

h趋于0时，lim(f(l+h)-f(l))/h>0

然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。

又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aa=Xa,a/0,要是移项写成

(A-XE)a=0,a#0,

这就表示a是齐次线性方程组(A一在)X=0的非零解，进而由理论得到算法。

数学思维的特点之一是“发散性”。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新

的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。

车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能•

步步走。陈景润那篇名扬世界的力+2”论文中有28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的28步。

对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。

《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，

积分，解微分方程等，反应必然都慢。

《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题,

选择•个分块变形就明白了。

《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，

二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。

要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。

我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全卷。

中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做,

你一写出来也可能会面目全非。

多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。

考研数学讲座（3）极限概念要体验

极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。

很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。”

近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲

边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越

来越精确的园周率值或面积。”

国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。

极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。

自变量的变化趋势分为两类，一类是XTXO；一类是XTOO,

“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a?”

如果是，则称数a为函数的极限。

“无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。

学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才

是计算或讨论极限值。

自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。

自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；

回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，

x趋于正无穷时，正指数的基函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。

x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。

X—O+时，对数函数Inx趋于一8；x趋于正无穷时，Inx无限增大，没有极限。

X—>00时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。

我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体

想来，当x由0.01变为0.001时;只向中心点x=0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图

形在+1与-1之间上下波动140多次。在x=0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是“电子云”。

当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页,

他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。

x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作帐，让

震荡要多疯狂有多疯狂。

更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0,（或无限增大。）就可能有的函数趋于

0时（或无限增大时）“跑得更快”。这就是高阶，低阶概念。

考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。

多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即£-3语言）。没有这套

语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数

学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷卜.都没有出现过要运用£-6语言的题目。研究生入学考题中，考

试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是

“若X趋于8时，相应函数值f（X）有正的极限,则当|X|充分大时，（你不仿设定一点X0,当|XI>x0

时，）总有f（x）>0”

*“若x趋于xO忖，相应函数值f（x）有正的极限，则在xO的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”

这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。

除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。

若x趋于无穷时，函数的极限为0,则x的绝对值充分大时，（你不仿设定一点xO,当|x|>x0时，）函

数的绝对值恒小于1

若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，（你不仿设定一点xO,当Ix1>x0

时，）函数的绝对值全大于1

*若x趋于0时，函数的极限为0,则在0点的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时;

函数的绝对值全小于1

（你不仿设定有充分小的数8>0,当0<Ix]<3时，函数的绝对值全小于1）

没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近''的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由

设定的点xO,或充分小的数5>0,并利用它们。

考研数学讲座（4）“存在”与否全面看

定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。

即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。

讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。

1.海涅定理

观察x趋于xO的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近

x.O；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理：

定理（1）极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于xO,相应的函数值总有相同的极限A存在。

这个定理条件的“充分性''没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x逼近xO的所有方式。很多教科书都没有

点出这一定理，只是把它的“必要性''独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理：

“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯二”

唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。

2.用左右极限来描述的等价条件

用E-S语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：

定理（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。

这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存

在性。这是因为

函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。

函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。

山于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分

段函数敏感，一定要学会在特殊点的两例J分别考察函数的左右极限。

（3）突出极限值的等价条件

考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：

定理（3）函数f（x）在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是，f（x）-A为无穷小。

从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A无限接近，自然等价于

：函数值f（x）与数A的距离|f（x）-A|无限接近于0

如果记a=f（x）-A,在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：

f（x）=A+a（无穷小）

考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。"存在”与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。

我用exp（）表示以e为底数的指数函数，（）内填指数。

例1x趋于0时，函数exp(1/x)不存在极限。

分析在原点x=0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。所以

x从左侧趋于0时，指数1/x始终是负数，故左极限f(0-0)=0,

x从右侧趋于0时，函数趋向+oo,由定理(2),函数不存在极限。也不能说，x趋于0时，exp(1/x)

是无穷大。

但是，在这种情形下，函数图形在点x=0有竖直渐近线x=0

例2x趋于0时，“震荡因子”sin(1/x)不存在极限。俗称震荡不存在。

分析用海涅定理证明其等价问题，“x趋于+8时，sinx不存在极限。”

分别取x=n7r及x=2im两个数列，n趋于+8时，它们都趋于+如相应的两列正弦函数值却分别有极限

0与1,不满足唯一性定理(定理(1))。故sinx不存在极限。(构造法！)

例3x趋于oo时，函数y=arctgx不存在极限。

分析把oo视为一个虚拟点，用定理(2)。由三角函数知识得，

x趋于+oo时，函数极限为兀/2,x趋于-8时，函数极限为一/2,

故，函数y=arctgx不存在极限。

请注意，证明过程表明，函数y=arctgx的图形有两条水平渐近线。即

—8方向有水平渐近线y=—K/2；+8方向则有有y=兀/2

例4当xf1时,函数f(x)=(exp(1/(x7)))(x平方-IMxT)的极限

(A)等于2(B)等于0(C)为oo(D)不存在但不为8

b］分析考查x-l时函数的极限，通常认为x不取1；而x*时，可以约去分母(x-1),让函数的

表达式化为f(x)=(x+l)exp(l/(x-1))

左极限f(1-0)=0,x从右侧趋于1时，函数趋向+oo，(选(D))

(画外音：多爽啊。这不过是“典型不存在1”的平移。)

例5f(x)=(2+exp(1/x))/(1+exp(4/x))+sinx/IxI,求x趋于0时函数的极限。

分析绝对值函数y=|x|是典型的分段函数。x=0是其定义分界点。•看就知道必须分左右计算。如果

很熟悉“典型不存在1”，这个5分题用6分钟足够了。实际上

X10-时，limf(x)=(2+0)/(1+0)-1=1

x—>0+时，exp(1/x)—>+oo,前项的分子分母同除以exp(4/x)再取极限

limf(x)=(0+0)/(0+1)+1=1

由定理(2)得X—>0时，limf(x)=1

例6曲线y=exp(l/x平方)arctg((x平方+x+l)/(x-l)(x+2))的渐近线共有

(A)l条.(B)2条。(C)3条。(D)4条。选(B)

分析先观察x趋于8时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母

共有三个零点。即0,1和一2；对于每个零点xO,直线x=xO都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。

实际上有

x—>oo时，limy=it/4,曲线有水平渐近线y=n/4

其中，xf»时，limexp(l/x平方)=1；im((x平方+x+l)/(x—l)(x+2))=1(分子分母同除以"x平方”)

考查"嫌疑点”1和一2时，注意运用“典型不存在3”，

f(1-0)=~en/2；f(1+0)=en/2,x=1不是曲线的竖直渐近线。

类似可以算得x=-2不是曲线的竖直渐近线。

XT0时，前因式趋向+00；后因式有极限arctg(-1/2),x=0是曲线的竖直渐近线。

啊，要想判断准而快，熟记“三个不存在看了上面几例，你有体会吗？

*还有两个判断极限存在性的定理(两个充分条件)：

定理(4)夹逼定理——若在点xO邻近(或|x|充分大时)恒有g(x)Wf(x)@(x),月.x—xO(或xTOO)

时limg(x)=limh(x)=A则必有limf(x)=A

定理(5)单调有界的序列有极限。(或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。)

加上讲座(3)中的““近朱者赤，近墨者黑“定理共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。

考研数学讲座(5)无穷小与无穷大

微积分还有一个名称，叫“无穷小分析

1.概念

在某一过程中，函数f(x)的极限为0,就称f(x)(这一过程中)为无穷小。

为了回避『5语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。

无穷小是个变量，不是0；y=0视为“常函数”，在任何一个过程中都是无穷小。不过这没啥意义。

依据极限定义，无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点，历

史上约定，“非法地”使用等号来表示无穷大。(潜台词：并不表示极限存在。)比如

x从右侧趋于0时，limlnx=_co；x从左侧趋于兀/2时，Iimtgx=+oo

无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷

大量的名称中隐含着它们(在特定过程中)的发展趋势。在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。

y=tgx(在x—TT/2左阳I］时)是无穷大。在(0,兀/2)内y=tgx是无界变量

x趋于0时，函数y=(1/x)sin(1/x)不是无穷大，但它在区间(0,1)内无界。

不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E,不管它有多大，当过程发展到•定阶段以后，无穷大量的

绝对值能全都大于E：而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E。

2.运算与比较

有限个无穷小量的线性组合是无穷小；“8—00”则结果不确定。

乘积的极限有三类可以确定：

有界变量•无穷小=无穷小无穷小•无穷小=(高阶)无穷小无穷大•无穷大=(高阶)无穷大

其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式

例10作数列x=1,0,2,0,3,0,0,n,0,---

y=0,1f0,2,0,3,0,—,0,n,0,—

两个数列显然都无界，但乘积xy是零数列。这表示可能会有无界•无界=有界

两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较如果极限为1,

分子分母为等价无穷小；极限为0,分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。

无穷大有类似的比较。

无穷小(无穷大)的比较是每年必考的点。

x趋于0时，a=xsin(1/x)和。=x都是无穷小，且显然有IaI<Ip|；但它们的商是震荡因子sin(1/x),

没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin(1/x)的用途。能够翻阅《分析中

的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。

回到基本初等函数，我们看到

x趋于+8时，y=x的H次方，指数n>0的基函数都是无穷大。且习惯地称为M阶无穷大。

(潜台词：这多象汽车的1档，2档，,啊。)

x趋于+oo时，底数大于1的指数函数都是无穷大；底数小于1的都是无穷小。

X趋于+8或X趋于0+时，对数函数是无穷大。

X趋于00时，sinx及COSX都没有极限。正弦，余弦，反三角函数(在任何区间上)都是有界变量。

请体验一个很重要也很有趣的事实。

(1)x—>+oo时，lim(x的n次方)/fexp(x)=0,这表明：

“X趋于+00时，指数函数exp(x)是比任意高次方的塞函数都还要高阶的无穷大。”

或者说，“x趋于+oo时，函数exp(-x)是任意高阶的无穷小。”

(2)x-*+oo时，limlnV(x的6次方)=0；6是任意取定的一个很小的正数。这表明：

“x趋于+oo时，对数函数Inx是比x的6次方都还要低阶的无穷大。”

在数学专业方向，通常称幕函数(x的n次方)为“缓增函数”；称exp(—x)为“速降函数”。

只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果

只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。

例11函数f(x)=xsinx(A)当xT8时为无穷大。(B)在(-8,+oo)内有界。

(C)在(-8,+oo)内无界。(D)在时有有限极限。

分析这和y=(1/x)sin(1/x)在x趋于0时的状态一样。(选(C))

例12设有数列Xn,具体取值为

若n为奇数,Xn=（n平方+Yn）/n；若n为偶数，Xn=1/h

则当n—oo时，Xn是（A）无穷大量（B）无穷小量（C）有界变量（D）无界变量

分析一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。用唯一性定理。选（D））

请与“典型不存在1”对比。本质相同。

例13已知数列Xn和Yn满足n-8时，limXnYn=0,贝ij

（A）若数列Xn发散，数列Yn必定也发散。（B）若数列Xn无界，数列Yn必定也无界。

（C）若数列Xn有界，数列Yn必定也有界。（D）若变量1/Xn为无穷小量，则变量Yn必定也是无穷小

量。

分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的

反例。对本题的（A）（B）（C）来说，只要Yn是适当高阶的无穷小，就可以保证limXnYn=0

无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明Xn为无穷大。要保证limXnYn=0,Yn必须为无穷

小量。应选答案（D）。

考研数学讲座（6）微观分析始连续

微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。

由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初

等函数。

大学数学还让学生学习两类，，分段函数，，。或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函

数；或者是有孤立的特别定义点的函数。

微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观

地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。

1.函数的连续性

定义——设函数f（x）在点xO的邻近有定义。当x趋于x0时，如果函数有极限.且极限值等于函数值f

（x0）,就称函数f在点xO连续。否则，称函数f在点xO间断。xO是它的间断点。

“函数f在点xO的邻近有定义”意味着，如果函数在点xO没有定义，那xO只是函数的一个孤立的无定义点。

也就是函数的一个天然的间断点。函数y=1/x在原点就是这样的。

“有极限”意味着存在。在分段函数情形，要立即转换成“左右极限存在且相等。”

函数在一点连续的定义等式，“左极限=右极限=中心点函数值“，最多可以得出两个方程。如果在这里

出题：“用连续定义求参数值。''则函数可以含一个或两个参数。

如果函数在区间上每一点连续，就称函数在此区间上连续。

最值定理——在闭区间上连续的函数一定有最大，最小值。

“有”，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大，最小数。

介值定理——如果数c能被夹在连续函数的两个值之间，则c一定属于此函数的值域。

请体会我的描述方式，这比教科书上写的更简明。

介值定理的一个特殊推论是，连续函数取正取负必取零。从理论上讲，求方程F（x）=0的根，可以转化为讨论

函数F的零点。

例16试证明，如果函数f在闭区间上连续，则它的值域也是一个闭区间。

分析函数f在闭区间上连续，f必有最大值M=f（xl）,最小值m=f（x2）,闭区间［m,M］内的任

-数c,自然就夹在f的两个最值之间，因而属于f的值域。即f的值域就是这个闭区间。

例17试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。

（潜台词：没有零点的连续函数定号。）

分析如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾;

（潜台词：函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。）

例18函数f在闭区间［a,b］上连续，其值域恰好也是［a,b］,试证方程f（x）=x在区间［a,b］上有解。

分析作F=f（x）-x,它显然在已知闭区间上连续。且有F（a）＞0而F（b）＜0

如果有一等号成立，则结论得证。否则，用介值定理。

（潜台词：要寻找反号的两个函数值，当然该先把已知点拿去试试。）

2.间断点分类

连续的对立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。

若函数在某点间断，但函数在这点的左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。

若函数在某点间断，且至少有个单侧极限不存在，就称此点为第二类间断点。

第一类间断又分为两种。左右极限不相等，跳跃间断；左右极限相等，可去间断。若考题要求你去掉某个可去

间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值，让其连续。

对于第二类间断，我们只学了两个特例。即

x=0是震荡因子y=sin(1/x)的震荡间断点。(画外音：请联想“典型不存在(2)”)

x=0是函数y=exp(l/x)的无穷间断点。(画外音：请联想”典型不存在(1)”)

只要函数在xO的•个单彳则为无穷大，xO就是函数的无穷间断点。x=xO是图形的竖直渐近线。

考题中经常把问题平移到别的点去讨论。

例19确定y=exp(l/x)arctg((x+1)/(x—1))的间断点，并说明其类型。

分析函数的解析表达式中，分母有零点0,1(潜台词：两个嫌疑犯啊。)

在点0,前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零，故0点是无穷间断点.

在点1,前因子连续非零，后因子的左极限是一兀/2,右极限为兀/2,第一类间断。

三个特殊的“不存在”记得越熟，计算左右极限就越快。要有•个基本材料库，典型的知识首先在基本材料范

围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。

例20设函数f(x)=x^a+exp(bx))在(-8,+8)内连续，且x—»—8时，极限limf(x)=0；则常数a,b

满足

(A)a<0,b<0(B)a>0,b>0(C)a<0,b>0(D)a>0,b<0

分析初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点，也就是函数的一个天然间断

点。

已知函数连续，则其分母不能为0,而指数函数exp(bx)的值域为(0,+oo),故a^O

又，x--8时，极限limf(x)=0表明，f(x)分母是较分子x高阶的无穷大，即要指数函数

exp(bx)为无穷大,只有bv为应选(D)»

(画外音：一个4分题，多少概念与基础知识综合！典型的考研题！漂亮的考研题！)

*例21已知函数f(x)在区间［a,b］上处处有定义，且单调。若f(x)有间断点，则只能是第一类间断点。

分析(构造法)不仿设f(x)在区间［a,b］上单增，但是有间断点xO；我们得证明f在点xO的左右极限

都存在。

已设f在区间单增，余下的问题是寻找其上界或下界。事实上有

XTXO一时，f单增，显然f(b)是它的一个上界。故左极限存在。

x->xO+时，自变量从右向左变化，相应的f值单减。显然f(a)是其一个下界。右极限也存在。

构造法是微积分自己的方法。它的要点是，实实在在地梳理函数的构造及其变化，山此推理获得所要结果。

考研数学指导(7)导数定义是重点

选定一个中心点xO,从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议,

是选好•个边际点。微量分析考虑的问题是：在xO点邻近，如果自变量x有一个增量Ax,则函数相应该有增量

Ay=f(xO+Ax)—f(xO),我们如何表述，研究及估计这个Ay呢？

最自然的第一考虑是“变化率中国人把除法称为“归一法"。无论Ax的绝对值是多少，Ay/Ax总表示，“当自变量变

化一个单位时，函数值平均变化多少。”

定义令Ax趋于零，如果增量商Ay/Ax的极限存在，就称函数在点xO可导。称极限值为函数在点xO的导数。记

为

Ax—0,lim(Ay/Ax)=f'(xO)

或Ax-0,lim((f(xO+Ax)—f(xO))/(x—xO))=f'(xO)

或x—xO,lim((f(x)—f(xO))/(x—xO))=f，(xO)

理解1你首先要熟悉“增量”这个词。它代表着一个新的思维方式。增量Ay研究好了，在X0邻近，f

(x)=f(xO)+Ay,函数就有了一个新的表述方式。

回头用“增量”语言说连续，则

“函数在点xO连续”等价于“Ax趋于0时，相应的函数增量Ay•定趋于0”

理解2要是以产量为自变量x,生产成本为函数y,则Ay/Ax表示，在已经生产xO件产品的状态下，再生产

一件产品的平均成本。导数则是点xO处的“边际成本”。

(画外音：“生产”过程中诸元素的磨合，自然会导致成本变化。)

如果用百分比来描述增量，则(Ay/y)/(Ax/x)表示，在xO状态下，自变量变化一个百分点，函数值平均变化多

少个百分点。如果Ax趋于零时极限存在，称其(绝对值)为y对x的弹性。

理解3如果函数f在区间的每一点处可导，就称f在此区间上可导。这时，区间上的点与导数值的对应关系构成一

个新的函数。称为f的导函数。简称导数。函数概念由此得到深化。

用定义算得各个基本初等函数的导数，称为“求导公式添上"和，差，积，商求导法则”与“复合函数求导法则”，我们

就可以计算初等函数的导数。

例24设函数f(x)=(n—>oo)lim((1+x)/(1+x2n)),讨论函数f(x)的间断点，其结论为

(A)不存在间断点(B)存在间断点x=l(C)存在间断点x=0(C)存在间断点x=-l

分析这是用极限定义的函数，必须先求出f(x)的解析表达式，再讨论其连续性。

任意给定一点x,(视为不变。)此时，把分母中的x2n项看成是(x2)n,这是自变量为n的指数函数。令n-8求

极限计算相应的函数值。

鉴于指数函数分为两大类，要讨论把x给定在不同区间所可能的影响。

(潜台词：函数概念深化，就在这变与不变。哲学啊！)算得

-1<X<1时，f(x)=1+x；f(l)=l；f(-l)=o

而x<—1或x>1时，恒有f(x)=0,观察得X—1时，limf(x)=2；应选(B)。

理解4运用定理(2),“极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。”则

“函数在点xO可导”等价于“左，右导数存在且相等”。

讨论分段函数在定义分界点xO处的可导性，先看准，写下中心点函数值f(xO),然后分别在xO两值］算左导数，右

导数。

例25

(1)h趋于0+时，lim(f(h)-f(O))/h存在不等价于函数在0点可导，因为它只是右导数。

(2)h趋于0时，lim(f(2h)—f(h))/h存在不等价于函数在0点可导，因为分子中的函数增量不是相对于中心点

函数值的增量。

请对比：如果f(x)函数在0点可导，则h-0时，

lim(f(2h)-f(h))/h=lim(f(2h)-f(0)+f(0)-f(h))/h

=2lim(f(2h)-f(0))/2h-lim(f(h)-f(0))/h

=2「(0)-f，(0)=ff(0)

(画外音：我把上述恒等变形技术称为“添零项获得增量考试中心认为你一定会这个小技术。

(2)中的不等价，要点在于，即便(2)中的极限存在，f(x)在0点也可能不可导。你可以作上述恒等变形，但是,

你无法排除“不存在一不存在=存在”的可能性。)

例26若函数f(x)满足条件f(1+x)=af(x),且f((O)=b,数a#),厚0,贝U

(A)f(x)在x=l不可导。(B)f,(l)=a(C)f,(l)=b(D)f,(l)=ab

分析将已知f，(O)=b还原为定义lim(f(0+h)-f(0))/h=b,

要算f'⑴，考查lim(f(l+h)-f(D)/h

如何向「(0)的定义式转化？！只能在已知恒等式上功夫。

显然f(l+h)=af(h)；而f(1)=f(1+0)=af(0)

lim(f(l+h)-f(D)/h=lima(f(h)-f(0))/h=ab应选(D)。

*理解5可导的定义式，是两个无穷小的商求极限，自然也就是两个无穷小的比较。于是可以说，

连续函数f(x)在点x0可导的充分必要条件是，x—xO时，函数增量Ay是与Ax同阶，或较Ax高阶的无穷

小。

考研的小题目中，经常在原点讨论可导性，且往往设函数在原点的值为零。我称这为“双特殊情形这时，要讨论的

增量商简化为f(x)/x,联想一下高低阶无穷小知识，可以说，“双特殊情形”下函数在原点可导，等价于x趋于0

时，函数是与自变量x同阶或比x高阶的无穷小。

如果函数结构简单，你•眼就能得出结论。

例27设函数f(x)在点x=0的某邻域内有定义，且恒满足If(x)|Wx平方，则点x=0必是f(x)的(A)

间断点。(B)连续而不可导点。(C)可导点，且「(0)=0(D)可导点，且『(0)，0

分析本题中实际上有夹逼关系0WIf(x)|<x2,在x=0的某邻域内成立。这就表明

f(0)=0,且|f(x)/x|WIx|由夹逼定理得，「(0)=0,应选(C)。

例28设有如下定义的分段函数f(x),x>0时,f(x)=(1—cosx/^x，xgO时，f(x)=x2g(x)

其中，g(x)为有界函数，则f(x)在点x=0(A)不存在极限(B)存在极限，但不连续。

(C)连续但不可导。(D)可导。

分析山定义得中心点函数值f(0)=0；本题在“双特殊情形”下讨论。

x>0时，显然f(x)是比x高阶的无穷小。右导数为0

xWO时，f(x)/x=xg(x),用夹逼法可判定左导数为0；应选(D)。

*理解6运用定理(3),若f(x)函数在点xO可导，即有已知极限

AXTO,lim(Ay/Ax)=f'(xO)

于是Ay/Ax=f<xO)+a(x)(无穷小)；即Ay=ff(xO)Ax+a(x)Ax

由此即可证明，函数在点xO可导，则一定在xO连续。

“如果分母是无穷小，商的极限存在，则分子也必定是无穷小。'‘经济类的考生可以这样来体验“可导一定连续考数学

一，二的同学则应将此结论作为一个练习题。

把导数定义中的极限算式记得用得滚瓜烂熟，你就既不会感到它抽象，也不会感到有多难。考研的题目设计都很有水

平，如果彳刖重考概念，题目中的函数结构通常都比较简单-

不要怕定义。就当是游戏吧。要玩好游戏，你总得先把游戏规则熟记于心。

考研数学讲座(8)求导熟练过大关

函数在一点xO可导，其导数值也就是函数图形在点(xO,f(xO))处的切线斜率。从这个意义出发，我们有时把函

数可导说成是“函数光滑

1典型的不可导

可导一定连续。函数的间断点自然是不可导点。这是平凡的。我们感兴趣的是函数连续而不可导的点。

最简单也最实用的反例是绝对值函数y=Ix|«这是一个分段函数。还原成分段形式后，在点x=0两侧分别用定义

计算，易算得右导数为1,左导数是一1

进一步的反例是y=IsinxI在点x=0和y=IInxI在点x=1连续而不可导。

从图形变化上去看一个连续函数取绝对值，那是件非常有趣的事情。

连续函数在相邻的两个零点之间不变号。如果恒正，每•个正数的绝对值就是自己。在这两个零点间的函数图形不变。

如果恒负，每一个负数的绝对值都是它的相反数。这两个零点间的函数图形由x轴下面对称地反射到了x轴上方。

y=sinx在原点的左侧邻近为负，右侧邻近为正。它的图形在原点右侧段不变，将左侧段对称地反射到上半平面，就是

y=Isinx|的图形。反射使得图形在原点处形成一个尖角，不光滑了。

这是否是一个普遍规律？不是！比如y=x3与y=|x3|在x=0点都可导。

函数y=x3的图形叫“立方抛物线”。在点x=0,函数导数为0,图形有水平的切线横穿而过。(潜台词：真有特色啊,

突破了我们原有的切线印念。)要是取绝对值，图形的原点左侧段对称地反射到上半平面，但水平的切线保持不变。新

函数仍然光滑。这里的关键在于，函数值为0,导数值也为0,x=0是立方函数的重零点。

综合上述，在f(x)恒为正或恒为负的区间匕曲线y=|f(x)|和曲线y=f(x)的光滑性是一致的。

只有在f(x)的零点处，才可能出现曲线y=f(x)光滑而曲线y=|f(x)|不光滑的状况。

数学三的考卷上有过这样的4分选择题。

例31f(x)在点x=a可导，则|f(x)|在x=a不可导若函数的充分必要条件是

(A)f(a)=0且「(a)=0(B)f(a)=0且f<a)彳0

(C)f(a)>0且「(a)>0(D)f(a)>0且「(a)<0

分析如果没有思路，首先联想y=x与y=|x|即可排除(A)；

俗语说，连续函数“一点大于0,则一段大于0"；相应绝对值就是自己。(C)(D)显然都错；只有选(B)。

(画外音：如果用代数语言，f(x)可导，f(a)=0,而「(a),0,则点a是f(x)的单零点。这道题该算擦边题。)

2.讨论深化

我在讲座(2)中举例，“连续A+不连续B=?”

如果，“连续A+不连续B=连续C”则“连续C一连续A=不连续B”

这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。

推理的关键在于，逆运算减法可行。

自然类似有：可导A+不可导B=不可导C。比如y=x+Isinx|在点x=0不可导。

例32函数f(x)=IsinxI+Icosx|的不可导点是(？)

分析函数为“和”结构。无论是Isinx|的不可导点或|cosxI的不可导点，都是f的不可导点。即

x=knx=krt+TT/2,k=0,±1,±2,...

更深化的问题是：可导Ax(连续)不可导B,是可导还是不可导？

比如y=xIx|在点0可导吗？

与“和”的情形相比，积的逆运算不一定可行。当且仅当A加时，才有C/A=B所以

结论1,若f(x)在点x0可导，且f(x0)声0,g(x)在点x0连续不可导，则积函数尸f(x)g(x)在点x0，・

定不可导。

结论2(*例33)已知函数f(x)在点x=a可导，函数g(x)在点x=a连续而不可导，试证明

函数F(x)=f(x)g(x)在点x=a可导的充分必要条件是f(a)=0.

证明先证充分性，设f(a)=0贝F(a)=0

令h—>0,Fz(a)=lim(F(a+h)—F(a))/h=limf(a+h)g(a+h)/h

=(lim(f(a+h)—f(a))/h)limg(a+h)

=「(a)g(a)

再用反证法证必要性。设函数F(x)在点x=a可导而f(a),0.,则由连续函数的性质可知函数f(x)在点x=a的

某邻域内恒