高中数学-数形结合思想

数形结合思想由于新教材新大纲把常见的数学思想纳入基础学问的范畴，通过对数学学问的考查反映考生对数学思想和方法的理解和驾驭的程度。数形结合的思想重点考查以形释数，同时考查以数解形，题型会渗透到解答题，题量会加大．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，充分发挥形的形象性、直观性、数的深刻性、精确性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到优化解题途径的作用。例题1．关于x的方程2x2－3x－2k＝0在(－1,1)内有一个实根，则k的取值范围是什么？分析：原方程变形为2x2－32k后可转化为函数2x2－3x。和函数2k的交点个数问题．解：作出函数2x2－3x的图像后，用2k去截抛物线，随着k的改变，易知2k＝－或－1≤2k＜5时只有一个公共点．∴－或－≤k<.点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决数（实根）的问题．例题2．求函数u＝的最值．分析：视察得24+2(6－t)＝16，若设，，则有x2+2y2=16，再令则转化为直线与椭圆的关系问题来解决．解：令＝x,,则x2+2y2=16,x≥0,y≥0,再设,由于直线与椭圆的交点随着u的改变而改变，易知，当直线与椭圆相切时截距u取得最大值，过点(0，2)时，u取得最小值2，解方程组，得3x2－42u2－16=0,令△=0,解得±2.∴u的最大值为2，最小值为2．点拨解疑：数学视察实力要求透过现象，发觉本质，挖掘题中的隐含条件．例题3．已知，则s的最小值为。分析：等式右边形似点到直线距离公式．解：＝,则可看成点（0,0）到直线2t－3=0的距离，又直线2t－3=0变形为：(2)－3=0后易知过定点P(－2，3)，从而原点到直线2t－3＝0的最短距离为,∴－≤s≤.点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问题．类似地如联想到斜率，联想到定比分点公式，(x－a)2+(y－b)2联想到距离，1－z2|联想到两点间距离等．例题4．解不等式>x－1.分析：令＝y，则y2＝－(x－3)(y≥0),它表示抛物线的上半支．令y＝x－1表示一条直线．作出图象求解．解：作出抛物线y2＝－(x－3)(y≥0),以与直线y＝x－1．解方程组得2或－1（舍去）,由右图可知：当x＜2时不等式>x－1成立，所以原不等式的解集为{x<2}.点拨解疑：一般地，形如(亦可＜)等不等式皆可用数形结合求解，更一般地可作出图象的函数或方程都可试用此法．如－3＜＜2等．例题5．求2的值域．分析：设，即4x2+9y2＝36（y≥0）,则求值域问题转化为求直线2＝m的纵截距的范围问题．解：设，即4x2+9y2＝36（y≥0）又令2,则由得40x2－369m2－36=0,令△=(36m)2－160(9m2－36)=0,得±2,①直线－2过A点时，－3,0,－6取得最小值；②当直线与椭圆上半部分相切时，m取得最大值2由①②，m的取值范围为[－6,2],值域为[－6，2］．例题6．A．B为平面上的两定点，C为平面上位于直线同侧的一个动点，分别以、为边，在△外侧作正方形、，求证：无论C点取在直线同侧的任何位置，的中点M的位置不变．分析：由于D、E随着C的改变而改变，但M为定点，故用几何方法不易说清变换思维角度，如以C点坐标为参量，证得M点坐标不随其改变而改变即可获证．证明：以中点为坐标原点,直线为实轴，建立复平面.设A、B、C对应的复数分别为－a，a，其中a、x、y∈R．则－(),=×－(),∴=－()+()i,∴D点的坐标是(－(),),同理E点的坐标为(,a－x),据中点公式,中点M的坐标为（0，a），它是与长度有关，而与C点位置无关的点，即为定点．点拨解疑：这是用数解形的一例，可见它形象而直观，但不够深刻、精确，而数却精确细致，但它不够直观，故常以数量形，以形辅数，数形结合．例题7．设A、B、C、D是一条有向线段上的四点，且=0，求证：=.分析：由于A、B、C．D依次不定，若用几何方法分类不便，故用解析法，又A、B、C、D共线，所以只需数轴即可．证明：以四点所在直线为数轴，设A、B、C、D四点的坐标依次为0,b、c、d,∵=0,∴=0,∴b()=2,∴=,又，等式成立.例题8．函数(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f(x)＞f(－x)十x．分析一：由图像可得出函数关系式，由形看数．解法一：由题意与图像，有，当0<x≤1时,f(x)>f(－x)得>－,解得0<x<;当－1≤x<0时,得－>,解得－1≤x<－,∴原不等式的解集为[－1,－)∪(0,).分析二：由图象知f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，然后再以形解数．解法二：由图象知f(x)为奇函数，∴原不等式为f(x)>，而方程f(x)=的解为±，据图像可知原不等式解集为[－1,－)∪(0,).点拨解疑：本题以形看数（解析式，奇偶性），以数解形（曲线交点A、B）最终以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短．

基础学问练习一．选择题：1．向高为H的水瓶中注水，注满为止，假如注水量v与水深h的函数关系如图所示，则水瓶的形态是2．已知定义在R上的偶函数f(x)在（0，+∞）上是增函数且f()＝0则满意＞0的x的取值范围是（A）{}∪(2,+∞)（B）(0,)（C）(0,)∪(2,+∞)（D）(2,+∞)3．已知(3)＝，则6－3的最小值为（A）3（B）3（C）5（D）54．方程的根的个数是（A）1个（B）2个（C）3个（D）多数个5．函数y＝和的图像恰好有两个公共点，则实数a的取值范围为（A）(1,+∞)（B）(－1,1)（C）(－∞,－1)（D）(－∞,－1)∪(1,+∞)二．填空题：6．已知有向线段的起点P和终点Q分别为（－1，1）和（2,2），若直线l：0与的延长线相交，则m的取值范围是.7．若直线l：y＝1与曲线c：x＝只有一个公共点，则实数k的取值范围是.8．函数的值域是.三．解答题：9．已知49b＝10（a，b∈6）,求2十3的最大值.10．假如关于x的方程恒有解，求实数a的取值范围．

高考常考题强化训练一．选择题：1．已知0<a<1，方程的实数根的个数是（A）1个（B）2个（C）3个（D）以上都有可能2．若不等式x2－＜0在(0,)内恒成立,则a的取值范围是（A）[,1)（B）(0,)（C）(,1)（D）(0,1)3．代数式的最小值为（A）2（B）2（C）4（D）44．函数y＝22x图像的一条对称轴为x＝－，则a等于（A）（B）－（C）1（D）－15．直线（a∈R）与曲线y＝(ωt)，（ω＞0）的相邻两交点之间的距离是（A）（B）（C）（D）以上都不对6．若非零复数z1，z2分别对应于复平面内的点A、B且z12－z1z222=0,则△是（A）等腰三角形（B）等腰直角三角形（C）等边三角形（D）直角三角形二．填空题：7．若z1，z2为复数，且13,25,1－z27，则=8．若a∈(0,)，则T1＝(1)，T2(1－a),T3(1)的大小关系为．9．方程－|211的不同实根的个数为.10．函数u＝的最大值是.三．解答题：11．已知函数f(x)2－c满意一4≤f(