初中数学人教八年级上册轴对称-课题学习最短路径问题

教学目标知识与技能目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

过程与方法目标：建立数学模型，利用转化思想，解决具体问题情感与态度目标：通过交流探索，培养学生的探索精神和合作意识；通过生教生的方式，充分发挥学生的作用，提高课堂达成率，增强学生自信心。教学重点教学难点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？知识回顾选第②条两点之间，线段最短三角形两边之和大于第三边垂线段最短前面我们研究过一些关于“两点之间，线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”“垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题。现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题。复习导入探究相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？lAB将军饮马问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？lAB探究将A，B两地抽象为两个定点点，将河l抽象为一条直线．你能要自己的数学语言重新描述一下将军要走的最短路径问题吗？探究将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．你能要自己的语言重新描述一下问题吗？CC是直线l上一个动点，当点C在直线l的什么位置时，AC+BC最小？已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小．两点在一条直线异侧这是为什么呢？两点之间，线段最短连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求．探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在直线l的什么位置时，AC与CB的和最小？能不能把点在同侧的问题转化为点在异侧的问题呢？提示：将点B“移”到l的另一侧B′处，得满足

直线l上的任意一点C，都保持

CB与CB′的长度相等．

你想到怎么做了吗？探究如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．你能证明此时AC+BC最短吗？B’C证明

证明此时AC+CB最短【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任取一点C'（与C点不重合），只要证明AC'+BC'>AC+BC即可。证明证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′∵AC′+B′C′＞AB′∴AC′+B'C′＞AC+BC∴AC′+BC′＞AC+BC

证明此时AC+CB最短即AC+BC最短．例题某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为M，同时向A，B两个居民小区送电.如果居民小区A，B在主干线l的同旁，如图所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，并说明理由.B’练习如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PMQ的周长最短．提示：这本质上是“两定一动”

求“最短路径问题”．p'M总结这节课我们学到了什么？条件特点简称为：两定一动

最短路径问题直线同侧的两个定点和直线上一个动点问题特点求线段和最小求解思路利用轴对称，化折为直求解原理两点之间，线段最短作业1、如图，在ABC中，AB=3，AC=4，AB垂直于AC，E