湖南省岳阳市华容县2021-2022学年高一下学期期末数学试题（解析版）

华容县2021－2022学年度第二学期期末监测试卷高一数学注意事项：1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷和草稿纸上无效.3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上.写在本试卷和草稿纸上无效.4、考试结束时，将答题卡交回.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.)1.复数的实部和虚部之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由复数乘法化简，再求实部与虚部之和即可.【详解】，复数的实部与虚部之和为.故选：B.2.“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党100周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为（）A.720 B.960 C.1020 D.1680【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样中样本容量比与总体容量比相等可得．【详解】由题意高一抽取的学生为．设高一学生数，则，解得．故选：B．3.在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为()A. B. C.3π D.4π【答案】A【解析】【分析】由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积．【详解】圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为.【点睛】本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算．4.如图，在中，是的中点，若，则实数的值是A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】以作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵分别是的中点，∴.又，∴.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．5.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：则这组数据的分位数、分位数分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将数据从小到大依次排列，而且15×60%=9，15×90%=13.5，故这组数据的60%分位数是第9、10个数的平均数，90%分位数是第14个数．【详解】将数据从小到大依次排列如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，而15×60%=9，15×90%=13.5，故这组数据的60%分位数是，这组数据的90%分位数是96，故选：D．6.已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测法知，所以求出四边形的面积，即可求出结果.【详解】根据直观图知，又因为，所以，故选：B.7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知结合余弦定理可得，又即可求，，再由余弦定理求c.【详解】，∴，又，则，∴，，又，故，∴.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据余弦定理的边角关系，结合已知等式条件求，.8.如图，在正方体中，在线段上运动，则下列结论中正确的个数有（）（1）三棱锥的体积为定值；（2）；（3）与所成的角的范围为；（4）存在点，使与平面成的角为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】（1）由平行于面，而在线段上运动，即三棱锥的高、底面积恒定，体积为定值；（2）利用三垂线定理，结合线面垂直的性质即可知；（3）由正方体的性质知，在线段上运动时当其与、重合，两线夹角为，由两端向中点移动时角度变大，最大为；（4）结合（3）在中点时，有与平面成的角的最大值为，小于.【详解】（1）如下图：在线段上运动知：到面的距离恒等于正方体棱长，且底面积不变，所以三棱锥的体积为定值，正确.（2）如下图：连接，且为在面上的射影，为在面上的射影，而，，即有，又，所以面，由面，则有，正确.（3）如下图：即与所成的角为与所成的角，由题意知所成角的范围为，错误.（4）由（3）知：当在中点时与平面成的角最大为，显然不可能存在使与平面成的角为，错误.故选：B【点睛】关键点点睛：应用三垂线定理及线面垂直性质证明线线垂直，通过平移异面直线到同一平面内判断线线角的范围，理解辨析线面角并确定其范围.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】AB【解析】【分析】根据互斥事件定义逐一对四个选项进行分析即可.【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.故选：AB.【点睛】本题考查互斥事件，解题关键是要理解互斥事件的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.10.对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是（）A.若m⊥α，m⊥n，则n∥α B.若m∥α，α⊥β，则m⊥βC.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n【答案】ABC【解析】【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断ABC，由线面垂直的性质定理、直二面角定义判断D．【详解】若m⊥α，m⊥n，或，A错；若m∥α，α⊥β，则m⊥β或，，B错；若m∥α，n∥β，α⊥β，则可能相交，可能平行也可以异面，不一定垂直，C错；若m⊥α，n⊥β，α⊥β，如图，设过空间一点作交平面于，则，作，则，设平面，则由得，，同理得，而是平面内两相交直线，因此平面，从而与平面的内的直线垂直，所以是二面角的平面角，又，所以，所以四边形中，，即，所以，D正确．故选：ABC．11.下列结论正确的是（）A.在中，若，则B.在锐角三角形中，不等式恒成立C.若，则为等腰三角形D.在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D．【详解】中，，由得，A正确；锐角三角形中，，∴，B正确；中，若，则或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C错；中，若，，三角形面积，，，∴，，∴，，D错．故选：AB．【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（）A.B.平面ABCDC.三棱锥的体积为定值D.的面积与的面积相等【答案】AD【解析】【分析】对于A，由特殊位置判断，对于B，由面面平行的性质判断，对于C，由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断，对于D，由B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等进行判断【详解】对于A，由题意知，当点与点重合时，与的夹角为，所以是错误的，对于B，因为正方体的两个底面平行，即平面∥平面，而平面，所以∥平面，所以B正确，对于C，设点到平面的距离为，则由正体的性质可得，因为都为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以C正确，对于D，设的中点为，连接，则，所以点A到EF的距离为长，而B到线段EF的距离为长，显然与不相等，因为，所以的面积与的面积不相等，所以D错误，故选：AD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则两人中有人患感冒的概率是________.【答案】0.8##【解析】【分析】由两人中有人患感冒的对立事件为两人中没有人患感冒，故利用对立事件求解即可.【详解】解：记事件：两人中有人患感冒，则：两人中没有人患感冒.所以，所以，故答案为:0.8或.14.已知向量，，则_______.【答案】【解析】【分析】根据数量积坐标表示，直接求解.【详解】.故答案为：15.若正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，高为，则这个三棱锥外接球的表面积为___________.【答案】【解析】【分析】根据已知，求出的外接圆半径，再结合勾股定理即可求出球的半径，进而得到球的表面积.【详解】设三棱锥的高为PH，其外接球的球心为O，则，，，所以.中，，，即，解得，从而三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.在平面四边形中，，，，，交于点，若，则的值为______，的长为______．【答案】①.②.【解析】【分析】设，把用和表示，由，，三点共线，系数和为1可求出，进而求出，在中，由余弦定理可求出．【详解】解：设，则，因为，，三点共线，所以，所以，故．所以，因为，所以，在中，由余弦定理可得，即，解得．故答案为：；．四、解答题(本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知，与的夹角是.（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【小问1详解】∵，与的夹角是，∴，；【小问2详解】由题意，，即，解得，即时，.18.如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点，若直线PQ与SO所成的角为，求此圆锥的表面积和体积．【答案】表面积100，体积．【解析】【分析】取OA的中点M,连结PM,QM,则PM∥SQ,且PM=,∠MPQ为PQ与SO所成的角,由此能求出此圆锥的表面积和体积【详解】解：取OA的中点M,连结PM,QM,则PM∥SO,且PM=,故∠MPQ为PQ与SO所成的角,在RtMPQ中,∠MPQ=,则PM=QM,由点Q为半圆弧的中点知OQ⊥AB,在RtMOQ中,OQ=10,OM=5,得MQ=,故PM=所以SO=10,Rt△SOA中,SA==10,∴此圆锥的表面积：,此圆锥的体积：【点睛】本题考查圆锥的表面积和体积的求法,考查空间中线线关系等基础知识,考查空间想象能力19.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数；（3）估计居民月均用水量的中位数．【答案】（1）0.30（2）36000（3）2.04【解析】【分析】（1）利用频率之和为1可求a的值；（2）先求解月均用水量不低于3吨的频率，然后可得人数；（3）设出中位数，根据频率为0.5建立方程，可求中位数．【小问1详解】由频率直方图可知，月均用水量在[0，0.5）的频率为．同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02．由，解得．【小问2详解】由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为．由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为．【小问3详解】设中位数为x，因为前5组的频率之和为．而前4组的频率之和为，所以，由，解得，故可估计居民月均用水量的中位数为2.04．20.全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】分析：（1）根据表格数据求出根据均值、方差的实际意义作出判断；（2）利用古典概型公式即可求出抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率详解：（1），，，，显然，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好.（2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为，，，，，，，，，，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件，则事件包含的基本事件为，，，，，共5个.由古典概型计算公式可知.点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但