一阶线性电路暂态分析的三要素法

第三章电路的暂态分析2021/5/91第3章电路的暂态分析

第一章讨论电路的基本概念和基本定律。

如：电路模型、电压和电流的参考方向、基尔霍夫定律、电源的工作状态及电路中电位的计算等。这些内容是分析与计算电路的基础。

第二章介绍几种常用的电路分析方法。

有：支路电流法、节点电位法、实际电源模型的等效变换、叠加原理、和戴维宁定理。第三章讨论直流一阶电路的暂态分析。

介绍：用“三要素法”分析暂态过程。2021/5/92直流一阶电路暂态过程的求解方法：1.经典法:根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。2.三要素法初始值稳态值时间常数求：（三要素）描述电路的方程是一阶微分方程，仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路。一阶电路：求解方法：2021/5/933.1储能元件和换路定则3.2一阶线性电路暂态分析的三要素法第3章

电路的暂态分析2021/5/94稳态：是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流恒定

或周期性变化。换路：指电路接通、断开或结构和参数发生变化。

先讨论暂态过程产生的原因---动态元件、换路定律。后讨论暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。暂态：电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态所经过的过渡

状态。3.1储能元件和换路定则动态元件:是指在电容元件和电感元件的电压和电流约束关系是通过导数或积分来表达的。换路发生很长时间后重新达到稳态。2021/5/95iL(0+)=iL(0–)uC(0+)=uC(0–)

含有储能元件的电路，在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即：换路瞬间：设为t=0。换路前终了瞬间：以t=0–表示。换路后初始瞬间：以t=0+表示。换路定则：3.1储能元件和换路定则电感元件的储能不能跃变电容元件的储能不能跃变状态变量iL、uC在直流电路换路瞬间，电容电压保持不变，电感电流保持不变。独立初始值iL(0+)、uC(0+)2021/5/96【例3.1】设：开关S闭合前L元件和C元件均未储能。

试：确定S闭合后电路中各电流与电压的初始值。解：由t=0-的电路得：4R3+—U6Vt=02SR1R24uCC+－+—iCiL

t=0-iLuLuC(0+)=0iL(0+)=0uC(0-)=0iL(0-)=0电容元件短路。电感元件开路由换路定则得：则：画出t=0+时的等效电路独立初始值2021/5/97由t=0+的等效电阻电路+—UR1i+—uLiLR2

R3uC+—iC(0+)

t=0+求出各独立初始值246V(0+)(0+)(0+)(0+)2021/5/983.2电路的暂态分析1.零状态响应2.零输入响应3.全响应

换路前动态元件未储存能量，即uc（0-）=0或iL(0-)=0，换路时，由电源激励所产生的电路响应。换路前动态元件已储存能量，换路时，无电源激励，输入信号为零

。由初始储能引起的的电路响应。

指电源激励和动态元件的初始储能引起的均不为零时的电路响应。

即：是零状态响应与零输入响应两者的叠加。充电储能过程。放电释能过程。2021/5/99Rt=0–

+U12–

+uR–

+uLiL

电感初始储能为零，电路响应仅由外加电源引起，为RL电路的零状态响应。S若S在2位置时，在t=0时将开关S合到1的位置。

电路中外加激励为零，电路的响应是由电感的初始储能引起的，故为RL电路的零输入响应。电路的暂态分析若S在1位置时，在t=0时将开关S合到2的位置。2021/5/910USCRt=0–

+12–

+uR–

+uCit≥

0时电路的微分方程为：

设:S在2位置时C已放电完毕，在t=0时将开关S合到1的位置。⒈RC电路零状态响应充电储能过程根据KVL通解=特解+补函数特解取换路后的稳态值，即补函数是齐次微分方程形式为：的通解一、零状态响应2021/5/911SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCiuC零状态响应表达式：τ时间常数--S推导整理得：tuCU0u0.632U零状态响应曲线τ物理意义:决定电路暂态过程变化的快慢。当t=τ时是电压uc增长到稳态值U的63.2％所需的时间。稳态+暂态2021/5/912

2.RL电路的零状态响应Rt=0–

+U12–

+uR–

+uLiL根据KVLt0时电路微分方程为:

S推导整理得：通解=特解+补函数uC零状态响应表达式：τ时间常数--S2021/5/913

此时，通过电感的电流iL由初始值I0向稳态值零衰减，其随时间变化表达式为：Rt=0–

+U2–

+uR–

+uLiLS1iL零状态响应表达式：ti0i零状态响应曲线UR稳态+暂态2021/5/914[小结]2）达稳态值的快慢取决于时间常数。（=RC或=GL）3）当直流动态电路达到稳定状态时，电容相当于开路,电感相当于短路。其等效电路为电阻性电路。

4）零状态线性：当输入增大倍，其零状态响应也增大倍。

1）直流一阶电路的零状态响应中，所有支路电压、电流均从初始值开始按相同的指数规律变化，最后达稳态值。2021/5/915代入上式得换路前电路已处于稳态

t=0时开关,电容C经电阻R放电一阶线性常系数齐次微分方程列

KVL方程：放电过程1.

RC电路零输入响应+-SRU21+–+–二、零输入响应

2021/5/916

uC零输入响应表达式：推导整理得：uC零输入响应曲线0uUt时间常数

=RC当t=

时，uC=

36.8%

U

uC从初始值按指数规律衰减快慢由=

R

C

决定。0.368U2021/5/917i零输入响应曲线0iI0t0.368I0时间常数

=L/R当t=

时，iL=36.8%I0

。

电路中

uR和uL可根据电阻和电感元件两端的电压电流关系确定。

iL零输入响应表达式：同理可推导：2021/5/918tii0i时间常数

=L/R当t=时，uC=63.2%U。0.632U/R零状态响应曲线零输入响应曲线0iI0t0.368I0时间常数

=L/R当t=

时，uC=36.8%U0

。UR

电路中

uR和uL可根据电阻和电感元件两端的电压电流伏安特性关系确定。2021/5/919当

t=5

时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。暂态时间：理论上认为、电路达稳态。工程上认为~电容放电基本结束。

t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而衰减2021/5/920小结：4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,RL电路

=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。2021/5/9213.全响应1.uC

的变化规律全响应:

电源激励和储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。根据叠加定理：

全响应=零输入响应+零状态响应R1–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0S2021/5/922稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量【结论2】

全响应=稳态分量+暂态分量全响应

【结论1】

全响应=零输入响应+零状态响应稳态值初始值2021/5/923状态变量的三要素uC(0+)uC()=RCiL(0+)iL()=GL设：动态电路中任一支路电压(或电流)为f(t)则：f(0+)——待求响应的初始值f()——待求响应的稳态值

——待求响应的时间常数任意变量f(t)的三要素可以证明：f(t)完全由此三要素决定。即：含源电阻网络动态元件R0CR0L三要素法2021/5/924

在求得

的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)

对于任何形式的直流一阶电路，求解暂态过程中任一电压、电流的响应，可用通用表达式：【三要素法】稳态值初始值时间常数稳态值

f(0+)、f()和

2021/5/925三要素法求解暂态过程的要点终点起点1)求初始值、稳态值、时间常数；3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；tf(t)O【例】2021/5/926

求换路后稳态电路中的电压和电流。即求解直流电阻性电路中的电压和电流。【ic()=0、uL()=0】(1)稳态值的计算响应中“三要素”的确定例：uC+-t=0C10V5k1

FS5k+-t=03666mAS1H画换路后t=的等效电路（电容C视为开路,电感L视为短路）。

在t=的等效电路中，利用两类约束求各稳态值。2021/5/927

1)

由t=0-等效电路求2)根据换路定则求出独立初始值3)画t=0+时等效电阻电路，求所需非独立初始值量或在换路瞬间t=(0+)的等效电路中：电容元件视为短路。其值等于(1)

若电容元件用恒压源代替，其值等于I0,,电感元件视为开路。(2)

若

,电感元件用恒流源代替，注意：(2)初始值的计算

先画换路前t=0-稳态等效电路再画换路后t=0+时刻等效电路2021/5/928

1)

简单的一阶电路，R0=R;

2)复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。3)时间常数

的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路注意：类似于应用戴维宁定理解题时，等效电阻的方法2021/5/929R0U0+-CR0R0的计算：从储能元件两端看进去的等效电阻。R1R2R3R1U+-t=0CR2R3S除去电源和除储能元件2021/5/930[例]在下图中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k

，R2=2k，C=3F，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t),并画出变化曲线。

uC(0+)、uC()和

R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+则：电容相当于开路。2t=0S[解]先确定三要素因：t<0时电路已处于稳态，当t＞0电路处于稳态时，2021/5/931R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1[例]在下图中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k

，R2=2k