基本关联矩阵及其性质

3.2基本关联矩阵及其性质一、树：连通、无回路、每边是割边、n-1条边二、至少有两个度数为1的结点(叶子)三、矩阵线性无关最大行数=矩阵线性无关最大列数=矩阵中非零的方阵的最大阶数=列对应图中边，最大线性无关的边数四、回路中的边线性k相关，对应的列线性相关，这些列中任意K阶子式为0本节讨论对象为有向连通图G定义3.2.1基本关联矩阵:在有向连通图G的关联矩阵B中划去任意结点Vk所对应的行,得到一个(n-1)×m的矩阵Bk,称为G的一个基本关联矩阵.V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10Th3.2.1有向图G的关联矩阵B的秩<n证明由于矩阵B的每列表示每边的起点与终点,起点处为1,终点为-1.行1+行2+…+行n=0,故行n=-行1-行2-…-行n-1，即行n为前n-1的线性组合，即行n与前n-1行不独立,故独立行数即B的秩<n.

Th3.2.2设S是有向图的关联矩阵B任一k阶方阵,则Det(S)=0,1或-1.证明

当k=1时det(S1)=1、0、-1.当k=2时det(S2)=1、0、-1.det(S2)=a11*a22-a21*a12v1是边e1的起终无若a11=1,a21=0det(S2)=a22=1、0、-1若a11=1,a21=-1det(S2)=a22+a12，第2列中两元可能:1与-1、1或-1、全0。

若a11=-1,a21=1det(S2)=-a22-a12=-(a22+a12)同上。若a11=-1,a21=0det(S2)=-a22=1、0、-1若a11=0,a21=1det(S2)=-a12=1、0、-1若a11=0,a21=-1det(S2)=a12=1、0、-1Th3.2.2设S是有向图的关联矩阵B任一k阶方阵,则Det(S)=0,1或-1.证明：假设n=k时，det(Sk)=1、0、-1.对于(k+1)阶方阵S，由于关联矩阵的每列只有2个非0元即+1,-1,故S的每列最多只有2个非0元+1,-1。S的情况如下：(1)S有一列全为0则det(S)=0。(2)每列都不全为0，即每列都有非0元。(2.1)每列都有两个非零元即每列都有+1、-1，则将前k行加到第k+1行，则使得第k+1行为0，故det(S)=0。(2.2)某一列只有一个非零元aij，则按其展开为det(S)=aij*(-1)i+jdet(Sk)=(-1)i+jdet(Sk)=1,0,-1各阶子式的值是0,-1,+1.定理3.2.3连通图G有n个结点，点与边的完全关联矩阵的秩为n-1。

证明：线性无关的最大行数为n-1，再多1行即n行就相关，即线性相关的最少行数为n，用反证法证明。即假设线性相关的最少行数为L<n，寻找错误的结论。定理3.2.3连通图G有n个结点，点与边的完全关联矩阵的秩为n-1。

证:假设线性相关的最少行数为L<n.k1b(i1)+k2b(i2)+…+kLb(iL)=0ki0,i=1…L因关联矩阵每列只有二个非0元，则这L行所形成的矩阵中每列至多有2个非0元，有些列可能全是0，但不可能只有1个非0元。

假设某列j只有1个非0元在ki行，则该列各数的线性组合=ki*bij=ki=0，与ki0矛盾.对关联矩阵的列进行调整，将这L行中列中含有2个非0元的列调整最前面，全0的调整到后面.最后将这L行调整到最前面。定理3.2.3连通图G有n个结点，点与边的完全关联矩阵的秩为n-1。证:假设线性相关的最少行数为L<n.对关联矩阵的列进行调整，将这L行中列中含有2个非0元的列调整最前面，全0的调整到后面.最后将这L行调整到最前面。记L行中含2个非0元的列数为t，即这L行只与这t条边相关，则有如下分块矩阵：

2个非0元的列全0元的列定理3.2.3连通图G有n个结点，关联矩阵的秩为n-1。

证:假设线性相关的最少行数为L<n.L行对应的L点只与这t条边相关，n-L个点与t条没关系，那么n-L个点不可能与L点有边相连！故不连通！

因L<n故n-L>0，则B'至少分为两个连通分枝，而B'仅是B进行“行-行”与“列-列”互换得到,是改变点与边在关联矩阵中出现的顺序，故保持连接性不变，故B也有2个连通分枝，故原图G不连接.与原图是连通矛盾！故线性相关至少需要n行，小于n无关，线性无关最大行数为n-12个非0元的列全0元的列定理3.2.4

连通图基本关联矩阵Bk的秩n-1.

证明:由定理3.2.3的证明可知,线性相关的行数至少为n，故小于n则线性无关。即任意n-1行肯定线性无关，而Bk是关联矩阵的某n-1行，故线性无关，故Bk的秩为n-1。说明：若G的结点为n，连通分支数为w，则完全关联矩阵的秩为n-w。

分支数w=点数n-关联矩阵的秩rank(B)

特别是w=1即G连通时,秩为n-1点数是确定的，关联矩阵随网络连接情况而变化，故根据其秩数可判断网络的连通性。推论3.2.1

n个结点树T的基本关联矩阵的秩是n-1.

证明:T是连通无回路的图，是一个特殊的连通图。给每条边加上方向，父结点为边的起点，子结点为边的终点，则树T是有向连通图。根据定理3.2.3可知，故它的基本关联矩阵的秩是n-1.

有向图的连通性,是在忽略每边的方向后确定的,这与其它教材上关于有向图的定义不一样,请注意.结点掩数为n的连仁通图G的基本钱关联外矩阵的秩是n-祖1,其中喊边数派最少礼的连朗通图免是“碌树”,它恰逆好有n-就1边,这n-秒1边是券线性环无关的.其它践连通津图中的得边数>n凯-1垒,而这壤些边段中又只有n-使1列是线性鄙无关的,那么画哪些芽列是线性革无关的呢?如何远寻找呢？定理3.券2.鹅5C是连头通图G的一膝个回路,Bk是G的一久个基本悄关联盐矩阵,那么瘦回路C中各户点与各边个对应Bk的列线性帅相关.一个妇回路逃中的杂边是哗线性呜相关兔的。回路颜矩阵洗能找螺出所猪有相露关、梳无关梳边设初浅级回路C包含抹了G的L个结较点，由拌点与赚边均崇不重肢复，C肯定有L条边,这L条边茅对应虫关联唯矩阵B的L列,这L列构皇成B的子击阵B(殊Gc)，环C本身捐的关绘联矩迎阵B(捞C)混(L点L边)。V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10子阵B(Gc)B(C)(L点L边)证明:只需蜂针对初级冠回路进行卫讨论.设回这路C包含景了G的L个结芝点L条边.不妨志假设L<堵n,这L条边宽对应繁关联搅矩阵B的L列,这L列构忽成B的子外阵B(党Gc).回路C的关副联矩字阵B(滤C)是L阶方芹阵,又由个于C是连压通图,故B(雾C)的秩测为L-榆1.由秩责的定肢义可集知，荒矩阵B(对C)的L个列辞向量线性脂相关桌。而基轰本关释联矩肉阵Bk中与杨这L条边夫对应离的L列向援量的胀下方(即n-剖L-粮1行)全是0(因这L条边谦只与卫回路C中的L个结神点相习关,与其拖他点兽无关驻故为0)，故Bk中这L个列畏也线处性相捏关。子阵B(Gc)的L列相关B(C)(L点L边)秩为L-1,则其L列相关推论3.症2.友2设H是连债通图G的子图,若H含有垒回路,则H的诸风边对吉应的G的基足本关句联矩辱阵各列算线性榴相关.减少施找回种路范戒围定理3.鹿2.路2令Bk是有吼向连敞通图G的基本猜关联浩矩阵,Bk的某n-袋1阶子桑阵行泰列式非0其各匆列对蹲应的计边构宽成一棵饭支撑舍树。不在字某回苍路上!定理3.红2.辫2令Bk是有挤向连通盗图G的基弱本关皱联矩普阵,那么Bk的某n-堂1阶子疯阵行俩列式非0的是其各行列所对困应的民边构沃成G的支撑伐树.证明:.如果棉某个N-忽1阶子诸阵Bk棕(GT)的行气列式绝非0,则这n-勾1列线猛性无得关,即这n-叉1边线暖性无革关。由推书理3.刻2.遗2可知,则这n-蚕1条边绒中不含递回路(若有愧回路催则线淘性相勤关)。由树摩的定支义含词有n-紧1条不铁构成礼回路的边骑，即构成炕一棵爸树，即它为支止撑树将。定理3.区2.像2令Bk是有检向连通凶图G的基迟本关惕联矩茶阵,那么Bk的某n-吼1阶子杨阵行狼列式非0的是其口各列桃所对趟应的素边构般成G的支撑戴树.证明:.设对应护边的构馆成一棵员树,则由迹树的灭定义五可知,它有n-毒1条边交无回浪路,则这揭些边线法性无劳关,对应膝的列向忌量线患性无夜关。基本取关联柏矩阵Bk(T)只有n-嗽1行，因孔此这n-嚼1行与送树中效的n-腿1边所选对应颂的列倦向量翁构成n-睡1阶方阵。由线畏性代战数知纯识可细知，线炸性无揉关的n-番1列所对书应的n-顶1阶行支列式值不等唇于0。定理3.纳2.袍2令Bk是有退向连通做图G的基饱本关勉联矩册阵,那么Bk的某n-轧1阶子是阵行毁列式非0的是其阴各列幸所