初等数论第二章课件

不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有第二章不定方程一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。

是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就

开始研究不定方程，

因此常称不定方程为丢番图方程。中国是研究不定方程最早的国家，

公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，

公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。

这是一个三元不定方程组问题。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

近年来，这个领域更有重要进展。

但从整体上来说，

对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。

另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、

代数几何、组合数学等有着紧密的联系，

在有限群论在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，

这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。第一节二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：②有解时决定解的个数。①判断何时有解。③求出所有的解。本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程———二元一次不定方程。注：定理的证明过程实际给出求解方程（1）的方法：注：利用辗转相除法求（a,b)时，前提为a,b为正整数，且a大于b，因此求解此方程时可以考虑用变量替换。3、下面通过具体例子介绍一种判定方程是否有解，及其求出其解的直接算法——整数分离法或先塔求出圣原方扩程的矿一个调特解吴，再缓给出顾一切排整数粘解。注：返这种餐解不炼定方晒程的禽算法摊实际疮上是嘉对整址个不坝定方本程用辗贸转相弱除法垒，依次隐化为端等价畜的不盆定方馒程，直至柔得到一个拿变量猾的系工数为窄正负1的方灭程为族止。这样林的不顽定方怨程可以虫直接脑解出壳。再依宗次反巨推上吉去，宾就得突到原照方程谢的通重解。为了写减少资运算悟次数循，在记用带膛余除壤法时倍，总薯取绝蜓对值兴最小余数呈。下面辱我们偷来讨练论当猎二元田一次清不定灭方程稀（1）可常解时刊，它的稍非负谊解和凤正解借问题庆。由通运解公旷式知什这可丸归结票为去参确定参们数t的值抱，使x,厨y均为隐非负林或正趣。显见需，当a,丙b异号训时，不定乒方程变（1）可泛解时摄总有身无穷坡多组岂非负登解或远正解睁，理由雨是：所以壮下面胀只讨摄论a,躺b均为峡正整隙数的沿情形性，先来番讨论修非负贷解：下面垦讨论菜正整孤数解绢：例7、求恳方程5x+3y=5唯2的全旧部正兴整数炊解解：x=8品,y=4是一急组特姐解，搞方程胜的全族部解棚为：x=8授+3t,y=4程-5t正整理数解晕满足8+继3t>0,料4-乐5t>0注：塌若只拣求方刷程正笑整数席解的穿个数猜，可纤考虑呢以下矛不等纤式的整会数解蛾个数技：第二肾节虚多贵元一顽次不置定方孤程注：识定理1的证终明给肌出了n元一行次不拘定方坊程的括解法款过程贼：即求嫩解方毒程组村（由n-1个方孕程组瞒成）解：志原方筹程化赢为：进一匪步可闷求非成负整崭数解商：由通务解公迎式给司出非古负整埋数解热中m,辞k应满滨足第三棒节柱勾股抄数②再协证满骨足条沫件（2）的璃解都辰可以文表成怖（3）的液形式促。例1、求高一个议边长肿为整截数的转直角证三角犁形，深它的指面积喉在数值唇上等听于它拾的周冶长。例2、求篮不定辈方程物（*仗）的喉满足铸条件0<z<2暴6的全腹部互素呢的解绘。baxyz12345235121314158173472425例3、求z=6格5的满骂足方碎程（狐*）腔的全袋部正御整数功解。例5、假惨定(x,轿y,援z)是(*辛)的解锯，并摘且(x,肾y)=风1，那柄么在x,虾y中有一袭个是3的倍绸数，汁有一毁个是4的倍仪数，射在x,樱y,戒z中有随一个是5的倍捆数。注意疾：定抬理中提所说栽的在x,雷y中有掉一个县是3的倍毯数，咱有一个葡是4的倍秆数，旋并不荷是说夜在x,故y中一秘个是3的倍醉数，敞另一个直是4的倍胜数，由很可损能3的倍变数与4的倍俯数是距同一额个数泊。如（5,街12柏,1茎3），畅又如扎（11档,6靠0,紧61）3、无多穷递文降法16茫59年，智法国粪数学忽家费曲马写管信给亿他的般一位城朋友财卡尔卡箱维，称自姥己创罚造了爹一种竿新的烧数学所方法.由于耍费马涌的信并五没有狱发表职，人们绩一直亡无从物了解辉他的帐这一绩方法.直到18域79年，稀人们纷在荷翼兰莱桂顿大歌学图欧书馆惠更头斯的秤手稿补中发现了添一篇必论文胸，才刻知道霜这种佣方法样就是逆无穷朽递降吸法.无穷递降援法是亮证明叼某些合不定顶方程车无解统时常毒用的补一种鸽方法.其证明非模式竭大致策是:先假碍设方男程存贱在一刷个最膝小正骑整数若解，然后贿在这怪个最允小正任整数字解的他基础欣上找翁到一元个更坊小的构造匪某种舰无穷肌递降柜的过假程，再结陡合最汁小数蚂原理克得到矛盾缩慧，从母而证楼明命锦题.无穷弓递降刘法在疲解决找问题毒过程念中主要杠有两勒种表知现形好式:其一述，由芬一组嚷解出叨发通陆过构恭造得到握另一号组解坟，并仁且将添这一港过程养递降呈下去，袜从而左得出