函数专题函数的性质奇偶性单调性

第2讲函数的性质1——奇偶性、单调性【知识要点】1．函数的奇偶性定义：一般地，如果

：(1)都有

，那么函数f(x)就叫做奇函数；(2)都有

，那么函数f(x)就叫做偶函数．对于函数f(x)的定义域内任意一个xf(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)2．奇函数的图象是关于

成

对称图形，若奇函数的定义域含有数0，则必有

；偶函数的图象是关于

成

对称图形，对定义域内的任意x的值，则必有

．原点中心f(0)＝0y轴轴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)3．一般地，如果一个函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝对称；若函数f(x)满足

，则函数f(x)的图象关于

对称．f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)x＝a4．函数的周期性的定义：设函数y＝f(x)，x∈D.如存在非零常数T，使得对任意的x∈D都有

，则函数f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期．若函数f(x)对定义域中任意x满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝(a≠0)等，则函数f(x)是

，它的一个周期为

.f(x＋T)＝f(x)周期函数2a题型一判断函数的奇偶性典例剖析题型二奇偶性的应用典例剖析典例剖析题型三周期性、对称性的应用典例剖析5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝

.典例失剖析6.对函蕉数f(x)，当x∈(－∞，＋∞)时，f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，在劈燕闭区提间[0独,7腰]上，泻只有f(1司)＝f(3不)＝0.(1菜)试判考断函成数y＝f(x)的奇灰偶性套；(2价)试求京方程f(x)＝0在闭覆区间[－20乞13胀,2毛01雀3]上的卸根的全个数娱，并明证明衫你的埋结论蚊．典例坊剖析【分析】由已嗽知f(2＋x)＝f(2－x)，f(7－x)＝f(7＋x)知f(x)的图箭象有斯两条况对称泻轴x＝2和x＝7，从四而知f(x)是周将期为10的周挂期函安数，塞又在涉区间[0幻玉,7咬]上，寒只有f(1姻)＝f(3虹)＝0，画胜图易禁知，眨它是筛非奇凤非偶诞函数贤，且冰在一脑个周盾期[0上,1浙0)上只深有2个根虎，故阅易求氏得方颜程f(x)＝0在[－20呆13久,2保01挖3]的根伐的个疑数．【解析】(1捆)由已笛知得f(0格)≠0，∴f(x)不是爽奇函之数，辰又由f(2－x)＝f(2＋x)，得函未数y＝f(x)的对椅称轴军为x＝2，∴f(－1)＝f(5驾)≠0，∴f(－1)≠f(1季)，∴f(x)不是帖偶函抢数．故函谦数y＝f(x)是非唯奇非览偶函子数．又f(3增)＝f(1继)＝0，f(1鸣1)＝f(1施3)＝f(－7)＝f(－9)＝0，故f(x)在[0雅,1启0]和[－10断,0医]上均印有两茫个解恰，从陡而可城知函街数y＝f(x)在[0俗,2亦01背3]上有40赢4个解法，在[－20烘13专,0笋]上有40坝2个解跃，所你以函亦数y＝f(x)在[－20吵13判,2论01彻3]上有80邮6个解绵．【点评】1.本题太主要漠考查里函数拢的对匪称性俗、周幸期性补、奇汁偶性嘱、方驻程的倡根等采基础桥知识写，以蛋及函士数与抹方程胃，化穴归与纪转化横等数户学思汉想方也法和窜逻辑王推理音能力被，运伏算能凯力等煤．2．函倾数的微奇偶谣性与可周期幕性是取函数付的两可个重痒要性炸质，早它们蜻又存驻在着特一定计的联脊系，雪特别迁是存飘在两何个与y轴平轿行的鞭对称恳轴的怎函数冬，一袍定是箩一个地周期野函数友，且霸最小读正周猎期就概是相婆邻两赔条对柴称轴物之间仗距离拳的2倍，扑本题匹第(2谱)问的港关键啦是发夏现f(x)是以10为周业期的朝周期绒函数崭．1．函冶数的董奇偶腿性、颠周期芒性是魂在整删个定睬义域贸内讨布论的茂整体惹性质突，要让正确塞理解佣奇函帝数与穗偶函碗数、赵周期仇函数盘的定增义，其必须夸注意葛以下治几点谦：(1毛)奇、荒偶函窜数的厌定义债域关业于原惜点对忧称，盒周期雾函数捉的定胞义域垂是无既界的纤．(2医)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)和f(x＋T)＝f(x)(T≠0扑)是定境义域遵上的过恒等出式．(3急)若T是f(x)的一叼个周孤期，舒则kT(k≠0，k∈Z)也是f(x)的周密期．方法颗总结2．f(x)为奇港函数⇔f(x)的图徒象关创于原云点对悦称；f(x)为偶搏函数⇔f(x)的图自象关负于y轴对壶称；f(x)是周浅期函熊数，手则f(x)的图稍象周乡丰期性沸重复侦出现辽．3．判揭断函本数的踏奇偶化性的编方法否：定鞭义法谋、图打象法忘、性因质法求．4．函拼数的问奇偶娇性与械