【建模教程】-数学建模-数理统计方法

----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----数理统计方法§1数理统计的基本概念X中随机抽----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----取n个个体XX1

, ,X2 n

XX1

, ,X2 n

)来推断总体的----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----性质或规律性，这在实际中是常用的方法。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----X中一个样本XX1

, ,X是2 n----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----一组相互且与总体X同分布的随机变量。n称为样本容量，样本----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----(X,X1

, ,X2 n

)的观测值记为(x,x1 2

, ,xn

，样本XX1

, ,X2 n

)的不含任何未知----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----fXX1

, ,X2 n

)称为统计量。下述统计量----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----X1nni1

X ，S2i

1n1

(Xii1

X)2，S

1n1

(Xii1

X)2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----分别称为样本均值、样本方差、样本标准差。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----(xx,1 2

x，可以绘出样本的频率直方图和累积频率直n----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----方图，方法如下：,xn①适当选取a,xn1 2

max{x,x1 2

, ,xn

[ab等分为m个----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----小区间，称d(ba)/m为组距；,m；②计算x,x, ,x在各个小区间出现的频率pm/n,i,m；1 2 n i ip(xF(x：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0, xa,p,axad,12p,adxa2d,p(x)2p,a(m1)dxamd, m0, xbamd,0, xa,p,axad,1pp,adxa2d,F(x) 1 2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----pp p 1 2 m

,a(m1)dxamd,----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1, xbamd.p(xF(x的图形可以得到样本的频率直方图和累积频率直方图。根据样本的频率直方图和累积频率直方图可以近似描绘出总体的分布密度函数和分布函数曲线。§2参数估计。如果利用这些信息结合关键量的表达式来估计未知参数，那么实际问题能够得到解决。参数估计的方法（1）最小二乘法yf(;)，其中x是自变量（或自变量向量yx的xy都是可观测的。由于是未知的，因此要对进行估计。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----设(xy1

),(x,y),,(x,(x,yn n

是n----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----的一个估计量，使函数取最小值，即

Q()n[yii1

f(x;)]2i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Q(ˆ)minQ()minni1

[yf(x;)]2，i i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----称这样求得的为参数的最小二乘估计值。例1 某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它从高浓度的溶液向低浓度溶液扩散的功能在试制时需测定薄膜被这种分子穿透的能力测定方法如下：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----用面积为s的薄膜将容器分成A，B两部分，体积分别为va

和v，在两部分中分b----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----k表征了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时测量容器中某一侧的溶液浓度值以确定k的数值。试建立该问题的数学模型。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----解 如果va

v 100cm3s10cm2Btb i

的溶液浓度----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----c进行测试，结果如下：it(s)： 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000ic(103mg/cm3)： 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59i试确定k的值。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----是相同的，设时刻t时膜两侧溶液的浓度分别为ca

(t和cb

(t)，初始时刻膜两侧溶----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----液的浓度分别为和a b

，单位均为103mg/cm3Bti

时刻测得的浓度----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----为c。i考察时段[t,tt]膜两侧容器中该物质质量的变化。在容器的A侧，该时段----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----内物质质量的增加为vcaa

(tt)vcaa

(t)；另一方面从B侧渗透至A侧的该物质----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----质量为sk(cb

c)t。由质量守恒定律，有a----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----vc(tt)vcaa aa

sk(cb

c)t，a----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----两边除以t，令t0，得----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----adc sk(ca

c)， （2-1）----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----同理有

dt v b aa----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----bdc sk(cb

c)。 （2-2）----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----由（2-2）-（2-1）得

dt v a bb----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----d(c -c) 1 1ab sk( )(cc。adt v v b aa b----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----由于ca

(0),ca b

(0)b

，所以----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----c -cb

(b

-)exp{sk(1a va

1)t}。 （2-3）vb----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----由质量守恒定律，有

vc(t)+vcaa bb

(t)=va a

+vb b

。 （2-4）----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----联立2-3（2-4）式可得：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----vvc aav

vbb

a

a)exp{sk(11)t}。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----b v va

v v v va b a b----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----至此，问题归结为利用cb

在时刻ti

的测量数据c(i1,2,i

n来估计k,,，a b----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----根据使c(tb i

与ci

的误差平方和最小的原则来求k,,a b

的估计值。对应的数学模----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----型为求函数----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----的最小值。令

Q(k,,a b

)i1

[c(tb i

)c]2i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----v vx aa bb

,y

v)a b a ，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----v va b

v va b----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1则参数估计问题可转化为求函数1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Q(k,x,y)

[xyexp{sk(1 )t}c]2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1

v v i ia b----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----的最小值点(k,x,y)。将已知测试数据代入，得极小化的函数Q(k,x,y)[xyekt/5c]2。iii1利用 MATLAB 软件中的 fmins 函数求得k0.01012(cm/s) ，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x7(103mg/cm3ymg/cm3a

10(103mg/cm3)，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- 4(103mg/cm3。b（2）极大似然法设总体p(x（当p(x为的分布密度；当p(;)为的概率分布，即，}p(;)，其中是未知参数，它在一定范围内取值。x,x, ,x是总体的样本观测值。1 2 n令----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----L()i1

p(x;)，i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----L(的取值范围内，挑选使似L(取得最大值的作为参数L(与lnL(同时达到最大值，故只需求lnL(的最大值点即可：lnmax{lnL()}。用这种方法求得的称为参数的极大似然估计值。评价估计量的优劣标准在对参数进行估计时，人们总希望估计量能代表真实参数。根据不同的----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（1）无偏估计根据样本推得的估计值可能与未知参数的真值不同，然而，如果有一序列抽样构成各个估计，很合理地会要求这些估计的期望值与未知参数的真值相等。它的直观意义是样本估计量的数值在参数的真值附近摆动，而无系统误差。定义1 如果成立，则称估计为参数的无偏估计。（2）有效估计对总体的某一参数的无偏估计量往往不只一个，而且无偏性仅仅表明所有可能取的值按概率平均等于的取值能集中于附近，自然要求的方差越小越好。定义2 设和都是的无偏估计，如的方差小于的方差，则称1 2 1 2 1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----是比2

为----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----的有效估计。实际上，样本均值是总体期望值的有效估计量。一个无偏有效估计量取的值是在可能范围内最密集于真值附近的，也就是说，它以最大的概率保证这估计的观测值在未知参数的真值附近摆动。§3假设检验----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----我们常常会假设总体期望值为0

2，总体服从某种分布，0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----上述种种假设是否成立呢？还有某种品种是否比其他品种更优？某种药品是否假设检验的基本方法----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（1）提出待检验的假设H0

。它可能有以下几个来源：①依据以往的经验----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（2）选择检验假设H0

的统计量，并确定其分布，再根据样本观测值计算出----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----该统计量的值。（3（或显著性水平(01)（一般数理统计书后都附有该表----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----然后确定检验假设H0理做出判断。

的拒绝域并根据小概率事件在一次观测中不可能发生的原----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----一个正态总体的假设检验本段假定(X,X, ,X)是来自正态总体N(,2)中的一个样本。以下给出1 2 n实际问题中常用的两种检验假设方法。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（1）未知方差2，检验假设H0

:（0 0

为已知）----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----①提出待检假设H0

:。0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----②选取样本(X,X, ,X)的统计量：1 2 nX0S/ T ~t(n0S/ 其中S是样本标准差，再根据样本观测值计算出统计量T的值。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----③查表得临界值：t/2

t/2

(n1)T|t/2

下结论：若----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----|T|t/2

，则否定H0

；否则，一般情况下接受H。0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----凡涉及到t分布的假设检验通常称之为t检验。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（2）未知期望H0

:22（0

2为已知）0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----①提出待检假设H0

:22。0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----②选取样本(X,X, ,X)的统计量：1 2 n(n1)S2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----220

~2(n1)。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----再根据样本观测值计算出统计量2的值。③查表得临界值：22(n1)22下结论：若 ----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----22H 0

；否则，一般情况下接受H。0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----22检验。1机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量500g，标准差不能超过10g。某天开工后，为检查机器工作是否正常，从装好9（单位：g）为497，507，510，475，484，488，524，491，515问这天包装机工作是否正常？----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----解 先检验假设H0

500。选取统计量S/ 9TX500S/ 9----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----49950016.03/ 9根据样本观测值计算得：|T49950016.03/ 9取检验水平0.05，查表得临界值：t (91)2.306。0.025由于|T0.1872.306H500g，0亦即机器包装没有产生系统误差。再检验假设H:2102。选取统计量1(91)S22 ，102----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----2

(91)16.032102

20.56。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----查表得临界值：2 (91)15.5。由于220.5615.5，故拒绝H0.05 0

，可认----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----为其方差超过102。即包装机虽然没有系统误差，但是不够稳定。因此认为该天包装机工作不正常。两个正态总体的假设检验----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----样本(X,X, ,X )来自正态总体N(,2)，样本,Y, ,Y

)来自正态总----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1 2 m 1 1 1 2 n1n 1 n 1n----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----体N(2

,2)。且设X2 m

Xii1

，S21

m1

(Xii1

X)2

，Yn

Y ，ii1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1 S2 Y)2。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----2 n1

ii1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----以下给出实际问题中常用的三种检验假设方法。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（1）未知期望,

，检验假设H :22----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1 2 0 1 2①建立待检假设H :22。0 1 2② S2S2，则选取统计量：FS2/S2~F(m1,n1)，临界值：1 2 1 2F F (m1,n1)FS2/S2~F(n1,m1)，临界值：/2 /2 2 1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----F/2

F/2

(n1,m1)F的值。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----③根据P{FF/2

}/2下结论：若FF/2

，则否定H0

；否则，一般情况----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----下接受H。0凡涉及到F分布的假设检验通常称之为F检验。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（2）未知期望1

，检验假设H0

:21

22----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----H

:22。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0 1 2FS2/S2~F(m1,n1)，再根据样本观测值计算出统计1 2F的值。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----③临界值F F(m1,n1)。根据F}下结论：若FF

，则否----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- HH。0 0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（3）未知方差2,2，但2

2H

:----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1 2①建立待检假设H :0

1 2。2

0 1 2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----TXY~t(mn2)，其中W----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----WmnW

，(m1)(m1)S2(n1)S21 1mn22m n(S2S2)/n1 2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----值。③临界值t/2

t/2

(mn2)。根据T|t/2

}下结论：若|T|t ，则/2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----否定H0

；否则，一般情况下接受H。0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----注意：作此t检验时，实际问题中的方差一般未知，因此要先检验假设H 22。0 1 2例2 从两处煤矿各抽样数次，分析其含灰率（%）如下：甲矿：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4乙矿：18.2，16.9，20.2，16.7假定各煤矿含灰率都服从正态分布，问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异？解 检验两个正态总体的期望值是否相等需要假定它们的方差相等因此先建立待检假设H :22。0 1 2由于s27.05s22.593FS2/S2。1 2 1 2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----根据样本观测值计算，得F7.05/2.5932.894F0.025所以可认为两煤矿的含灰率的方差相等。

(51,41)15.1=2.894，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----H1

。选取统计量：2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----(51)S2(4(51)S2(41)S254212115 4----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----根据样本观测值计算，得|T|2.245t

0.025

(542)2.365。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----2.2452.365比较接近，为稳妥计，最好再抽一次样，进行一次计算。分布律的假设检验----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----首先做假设H0

:F(x)F0

(x。其中F(x为总体的分布函数，未知；F0

(x)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----为某已知分布函数。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其次设(x,x1

, ,xn

)是总体的一个样本观测值，用分点tt1

t

k

将实数----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----域分成k个区间，用mi

表示样本观测值落入第i个区间的频数。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----记pt}F(t)，1 1 0 1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----p 2 1

t2

}F0

(t)F2 0

(t)，1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- ----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----pk1

k2

t

k

}F0

(tk

)F0

(t )，k2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----p tk

k

}1F0

(t 。k1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----选取统计量：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----2

ki1

(mnp)2i inpi

~2(k1r),(n)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其中rF0

(x)中需要估计的参数个数。根据样本观测值计算出统计量2的值。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----22(k1r2222， 则否定H；否则，一般情况下接受H。0 0例3 遗传学家孟德尔根据对豌豆的观察，发现豌豆的两对特征——圆与皱、黄与绿所出现的四种组合有下述的频数：组合： 圆黄 皱黄 圆绿 皱绿 nm： 315 101 108 32 556i根据他的遗传学理论，孟德尔认为豌豆的上述四种组合应有理论上的概率如下：组合： 圆黄 皱黄 圆绿 皱绿 和p： 9/16 3/16 3/16 1/16 1i试用皮尔逊平方和准则来检验实际观测数据是否与孟德尔的理论相符。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----解 首先建立待检假设H :p0

9/16,p2

3/16,p3

3/16,p4

1/16。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其次选取统计量：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----2

i1

(m556p)2i i556pi

~2(410)，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----再根据样本观测值计算得20.47。然后取检验水平0.05，查表得临界值：2 (410)7.81。0.0520.477.81H0.05下，认为实际数0据与孟德尔的遗传理论相符。§4方差分析20单因素方差分析----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----将试验的变异因素A分成r个水平A,A,1 验，列出试验结果记录表（2-：

A，对每一个水平进行重复试r----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----因素A X1 A X2

表2-1试验结果X X112 1n1X X122 2n1

行平均值X1X2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----A Xr r1

X X Xrr2 rn rrr----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----X

表示第i个因素水平进行第j次试验的结果。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（1）方差分析的假设前提①对变异因素的某一个水平，比如第i个水平，进行试验，得到观察结果----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----X ,Xi1

, ,Xi2

，看作是从正态总体N(,2中取出的一个容量为ni i

的样本。而----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----且2未知。i②对于表示r个水平的r个正态总体的方差认为都是相等的。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Xij（2）统计假设

相互。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----如果要检验因素的各个水平对试验结果没有显著影响，则试验的全部结果----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----X Xij ij

都取自同一正态----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----N(,2。 r待检假设为H : r0 1 2（3）检验方法----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----n，r记nnn，r1 2

1rn----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----总体均值：Xn

i X ，iji1j1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----行均值：Xi

i X ，1 nn ij1 nij1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----X

1rn

ni X ，ij----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----S

i1j1r

ni(Xn

X)2，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----T iji1j1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----组内平方和：SE

r

i(X X)2，n)2，n----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1j1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----组间平方和：SA

ri1

n(Xi i

X)2。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----S /(r1)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----F

SA/(n1)~F(r1,n1)，再根据样本观测值计算出E----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----统计量F的值。在计算组内平方和S 时，可根据关系S S S 得到。E T A E然后查表得临界值 F F(r1,n1)，再根据F}下结论：若 ----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----FF

，则否定H0

；否则，一般情况下接受H。0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----如果检验的结果是拒绝H0

，自然希望进一步找出因素A取何种水平时效果----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----最佳。通过比较行平均值的大小，选出行平均值最大的两种水平做检验。例1 为了考察6种不同的农药的杀虫率有无显著差异，做了18次试验，得数据如表2-2：农药杀表2-2虫 率行平均值1 87.485.080.284.202 90.588.587.394.7 90.263 56.262.459.304 55.048.251.605 92.099.295.391.5 94.506 76.2n18,r6,X72.380.12,S81.3 76.274006.85,S 3825.81,S 181.04。统计量T A EF60.7。对于假设检验问题 6H : 60 1 2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----取显著性水平0.01，查表得临界值F0.01

(5,12)5.06，易见50.75.06，因此----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----拒绝H0

，即认为这6种不同的农药的杀虫率有显著差异。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----25号的农药较优，因此我们来检验假设----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----选取统计量（n2

n 4：5

H:1 2

。5----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----T X2X5

~t(442)。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----25 (S2S2)/4----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----统计量T25

2 5的观测值为----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----90.2594.5(10.54(10.5412.66)/425

1.765。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----取显著性水平0.05，查表得临界值t (6)2.447，易见|1.7652.447，因0.05此不能拒绝，即认为这两种农药的杀虫率无显著差异。双因素方差分析进行双因素方差分析的目的是要检验两个因素对试验结果有无影响。在试验----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----n

的样本。双因素方差分析的假----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----nij

）----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----和n 1（不能重复试验，考虑两因素间的交互作用）分为两种情形。ij（1）无重复试验的双因素方差分析ArBsAB----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----组合(A,Bi j

)只进行一次试验，列出试验结果记录表（2-：BBAB1BB2XsiA1X11X12X1sX1A2X21X22X2sX2AXXr r1 r2X Xrs rXjX1X2XsX----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----X

AiBj个水平的一对组合(ABi

)进行----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----一次试验的结果。记nrs。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----X

1rsn

X,Xij i

1ss

X,Xij j

1r X ；r ij----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1j1

j1

i1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----ST

rs

(X X)2,Sij E

rs

(X Xij i

X X)2，j----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1ji1jX)2,S rsX)2,S rs(X X)2。B jA ii1 j----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----ST

S SE A

S 。B----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----判断因素A的影响是否显著，就是要检验假设----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----H :0A 1j

,j1,2,js。rj----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----选取统计量： FA

(s1)S /SA E

~F(r1,(r1)(s1)) ，再根据----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----P{FA

F(r1,(r1)(s1))}F A

FH 0A

否则接受H 。0A----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----判断因素B的影响是否显著，就是要检验假设 ,i ,i1,2, ,r。ir i0B i1 i2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----选取统计量： FB

(r1)S /SB E

~F(s1,(r1)(s1)) ，再根据----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----P{FB

F(s1,(r1)(s1))}F B

FH 0B

否则接受H 。0B----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----例2 设4个工人操作3台机器各一天，日产量数据如表2-4：工人机器B工人机器B1BBB234行平均值25A25354575855.5A35242414845.75列平均值51.6747.6748.335350.17问是否真正存在机器质量或工人技能之间的差别？----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----ST

317.65,SA

194.97,SB

59.67,SE

63.01。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----因为FA

(41)S /SE

9.283F0.05

(2,6)5.14，所以机器质量之间的差别比----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----较显著，由行平均值可看出，机器A2

的日产量较高。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----FB

(31)S /SE

1.894F0.05

(3,6)4.76，所以工人技能之间的差别不----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----显著。（2）重复试验的双因素方差分析如果要考察两个因素A、B之间是否存在交互作用的影响，需要对两个因素----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----(ABi j

m(m1)次----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（若是不等重复试验，残缺数据可按均值补齐以便于计算，列出试验结果记录表（2-：B因素AB因素AB1BB2sA1X ,X , ,X111 112 11mX ,X , ,X121 122 12mX ,X , ,X1s1 1s2 1smA2X ,X , ,X211 212 21mX ,X , ,X221 222 22mX ,X , ,X2s1 2s2 2smAX ,X , ,Xr11 r12X ,X , ,Xr21 r22rr1mr2mX ,X , ,Xrs1 rs2 rsm----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----X

ijk

AiBj个水平的一对组合(ABi

)进行----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----的第k次试验的结果。记nmrs。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----X

1rn

sm

X ,Xijk ij

1mm

X ，ijk----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----j1mri1jkkj1mr----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1X sm1ms

X ,Xijk

rm

X 。ijk----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----jki1k----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----平方和：ST

r

sm

(Xijk

X)2，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1j1k1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----SAB

mrs

(X Xij i

X X)2，j----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1j1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----S rE

sm

(X X)2)2，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1j1k1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----S msr (XA i

X)2,SB

mrs

X X)2。j----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1 j平方和关系：S S S S S 。T AB E A B判断因素A的影响是否显著，就是要检验假设----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----H :0A 1j

,j1,2,js。rjS

/(r1)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----A选 取 统 计 量 ： F AA

S /(nrs)E

~F(r1,nrs)

， 再 根 据----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----P{FA

F(r1,nrsF A

F，拒绝H 0A

；否则，接受H 。0A----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----判断因素B的影响是否显著，就是要检验假设----宋停云与您分享--------宋停云与您分享---- ,i ,i1,2, ,r。ir i0B i1 i2S

/(s1)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----选 取 统 计 量 ： FB

S /(nrs)E

~F(s1,nrs)

， 再 根 据----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----BP{FBB

F(s1,nrsF B

F，拒绝H 0B

；否则，接受H 。0B----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----判断两个因素A、B之间的交互作用是否显著，就是要检验假设,r;j1,2, ,s。H :,r;j1,2, ,s。0AB ij----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----FAB

SABS

/(r1)(s1)/(nrs)E

~F((r1)(s1),nrs)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----P{FAB

F((r1)(s1),nrs下结论：若F AB

F，拒绝H

0AB

；否则，接----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----受H 。0AB§5回归分析回归概念----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Y与变x（它可能是多维向量）x确定之后，因变量Y的值并不跟着确定，而是按一定的统计规律（Y的分布）取值。这时我们将它们之间的关系表示为Yf(x)，其中f(x为随机项，且~N(0,2。f(xf(x是一元线性函数时，称f(xf(x是非线性函数时，称之为非线性回归。如何确定回归函数f(x呢？一是根据经验公式，二是根据散点图。不管是哪种类型的回归，f(x总含有未知参数，需要用到参数估计方法。一般情况下，还需要检验f(x是否合理。回归分析的目的f(x来做预测和决策。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----一元线性回归一元线性回归模型为

Y0

x，1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----将数据点(x,y)(i1,2, ,n)代入，有----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i iyi

x1i

,i1,2,,,n，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----并且假定残差i

~N(0,2)。以下用最小二乘法确定回归直线方程----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----y0

x1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----中的未知参数0

和，即使残差平方和（也称之为剩余平方和）1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Q(0

,)n1

2ni

[y(i 0

x)]21i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----达到最小值，令Q0

0,

i1 i1Q0得1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Sxy,1 S 0xx

yx，1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x

1nn

x,yi

1nn

y,Si xx

n

(xx)2,Si xy

n

(xx)(yi i

y。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1 i1 i1 i1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----再记Syy

n

(yy)2,Uni

( x0 1i

y)2S2/Sxy xx

（----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1 i1UQS yx之间是否存在线性关系，需要检验假设yy----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----选取统计量

H :0 1

0 。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----F U ~F2)，Q/(n2)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----根据P{FF

2)}下结论：若FF

，拒绝H0

yx之间----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Hyx之间不存在线性关系，考虑用其0他回归模型。利用线性回归方程进行预测和控制----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----如何根据样本提供的信息来预测当变量 xx0

Y0

的值？一个自----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----然的想法是用预测量y0

x0 10

Y0

的差值是多少呢？预----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----测量y0

的优劣取决于|y Y0

|的大小。记----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----1 (xx)2 Qd21 0 2 。n S n2xx----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----可以证明当Y与Y,Y

, ,Y相互时，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0 1 2

ny Y----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0dˆ

0~t(n2)。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----这样在显著性水平下可得到Y0

的预测区间：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----[y t0

(n,y0

t(n2)dˆ]。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----当ny01.9ˆ（95）或----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----y 2.5ˆ（99。0Y落在指定的区间yyL U

)内，变量x----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----应控制在什么区间内？从方程yL

x1L

1.96ˆ，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----y U

xU

1.9ˆ----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----xxL U

1

0(xxL U

1

0时，控制区间为----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----(x,x)。U L例1 下面给出了悬挂不同重量单位的物体时弹簧的长度y（单位：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----c：

x： 5iy： 7.25i

108.12

158.95

209.90

2510.90

3011.80----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----yx16g重物时弹簧的长度大约是多少？10cm~11cm之间，问悬挂物体的重量应控制在什么范围内？解 从所给的数据可得：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----n6,x17.5,y9.487,Sxx

437.5,Sxy

80.065,Syy

14.678。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----于是，0

的最小二乘估计值分别为1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----S /S1 xy xx

0.183,0

y1

x6.284。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----经验回归函数为y6.2840.183x。F检验法检验变量yx之间的线性关系的显著性。回归平方和----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----US2/Sxy xx

14.652，残差平方和QS

U0.026。因为统计量Fyy

UQ/(n2)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----的观测值F2254F0.01

21.2yx之间存在特别显著的线性关----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----系。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----当x 16时，y6.2840.183169.212。取显著性水平0.05时，0t (4)2.776，111(1617.5)26437.5----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----t(n2)d

2.776

0.242，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0.02662得到预测区间为[8.970,9.454]16g0.02662----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0.026/(62)~9.454cm95%。由106.2840.183x0.026/(62)

解得x21.17。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0.026/(62)由116.2840.183x1.96 解得x0.026/(62)度控制在10cm~11cm 之间，悬挂物体的重量大致应控制在21.17g~24.91g之间。可线性化回归2-6列出了常用的可线性化回归曲线方程（a0，他2-5~2-9所示。表2-6曲线方程变换公式变换后的线性方程1/yab/xu1/x,v1/yvabuyaxbulnx,vlnyvcbu(clna)yablnxux,vlnyvabuyaebxux,vlnyvcbu(clna)y1/(abex)uex,v1/yvabu----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----例2 电容器充电后电压达到100V，然后开始充电，测得时tiu如下：i

时的电压----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----ti(s)： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----u(V)： 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5i试求电压u关于时间t的回归方程。解 画出散点图（图2-1，可设回归方程为uBeat(a0)。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----取对数，得ylnuxtblnB，得

lnuatlnB，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----yaxb。相应的数据变换如下：x： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10iy： 4.605 4.317 4.007 3.689 3.401 2.996 2.708 2.303 2.303 1.609 1.609i----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----根据上述数据计算得：x5,y3.050,Sxx

110,Sxy

34.389,Syy

10.860。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----F检验法检验变量yx之间的线性关系的显著性。回归平方和----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----US2/Sxy xx

10.751，残差平方和QS

U0.109。因为统计量Fyy

UQ/(n2)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----的观测值F887.697F0.01

(1,9)10.56yx之间存在特别显著的线----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----性关系。按最小二乘法：aS /Sxy

0.3126,byax4.613。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----所以变量y关于x的回归直线方程为y0.3126x4.613。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----再换回原变量得

u100.786e0.3126t。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----这就是所求的回归直线方程。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----多元线性回归和预测（1）多元线性回归的数学模型----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----设随机变量Y与mxx1

, ,xxxmm

有关系----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Yx11

x22

，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其中为随机项，且~N(0,2。记yy1y2,X11 x11x21x x1my2mn, ,11 22，1 xn1xnm n(m1) n m----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其中yi

为随机变量Y的观测值，Xxx,1

x 的一组观m----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----xxi1 i2

, ,xim

,i1,2, n，且残差i

~N(0,2)，则有----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----yX，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----残差平方和

QTyX)TyX。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----yX求，使残差平方和Q达到最小值。（2）参数估计----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----令Q0

0,

Q0,1

0，得,,Q----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----(XTX)1XTy，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----即得到所求的回归方程为（3）相关性检验

yx11

x 。xmm----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----与一元回归情况相似，首先建立待检假设 mH : m0 1 2----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----若能通过检验拒绝H0记

，则Y与mxx,1

x 之间存在线性相关关系。m----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----y1nn

y,Si yy

n

(yy)2,QSi yy

U。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----选取统计量

i1 i1F U/m ，Q/(nm1)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----在 H 成 立 的 条 件 下 ， F~F(m1,nm1) 。 然 后 根 据0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----P{FF

(m1,nm1)}FF

，拒绝H0

，即Ym个变量----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x,x1 2

, ,xm

之间存在线性关系；否则，接受H0

，即Y与mxx,x x 之m----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----间不存在线性关系。在多元线性回归模型中 ，拒绝假设 H ，即回归方程显著。然而变量0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x,x1 2

, ,xm

对Y的影响并不都是十分重要的，人们还关心Yxx1

, ,xm

的回归----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----,m。,m。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----通常选取统计量

H :k k

0,k1,2,----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----2/aF k kk ，k Q/(nm1)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其中akk

是矩阵XTX)1的主对角线上第k1个元素。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----在H 立的条件下k k

~Fm1)F

m1)}----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----下结论：如果FF

，拒绝Hk

，即xk

对Y的影响显著；否则，接受Hk

，即x对k----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Y的影响不显著。（4）预测问题,x(x ,x(x x , x 时随m 10 20 m0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----机变量Y0

1 2的值？一个自然的想法是用预测量----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----y 0

x110

x220

xmm0----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----来代替。预测量y0

的优劣取决于|y Y0

|的大小。记----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----x 1n x,l

n(x x)(x x),i,j1,2,----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----,m。j n ij ij,m。

ki i kj j----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----i1 i1l11l11l1ml,11l 1mm1lmmlm1lmm。Lll----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----d211ml(x

x)(x x2 Q 。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----n ij i0i1j1

i j0 j

nm1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----可以证明当Y与Y,Y

, ,Y相互时，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0 1 2

nyY----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0dˆ

0~t(nm1)。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----这样在显著性水平下可得到Y0

的预测区间：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----[y0非线性回归

t(nm1)dˆ,y 0

t(nm1dˆ]。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----xmm这里介绍的一种情形是最常见的、最具有代表性的一元多项式回归分析方yfxmm----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----y0

x1 2

x2 ，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----xmm其中m2。随机变量Yxmm----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Y0

x1 2

x2

，----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其中为随机项，且~N(0,2x作变换：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----xmm

x xj,j,m,m。----宋停云与您分享-------