2023年湖南省长沙市九年级上学期数学第三次月考试卷

九年级上学期数学第三次月考试卷一、单项选择题1.在实数，-3.14，0，，中，无理数有〔

〕A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个?八佰?取材自“八百壮士〞奉命坚守上海四行仓库的真实历史，呈现出平凡的中国军民共同奋勇抗战的热血情怀．截止10月17日，累计票房到达了30.81亿，登顶2021〔

〕A.

B.

C.

D.

〔3，〕与Q〔a，b〕关于y轴对称，那么a+b的值为〔

〕A.

1

B.

C.

5

D.

4.以下说法：①假设一个数的倒数等于它本身，那么这个数是1或－1；②假设2a2与3ax＋1的和是单项式，那么x＝1；③假设|x|＝|－7|，那么x＝－7；④假设a，b互为相反数，那么〔

〕A.

1

B.

2

C.

3

D.

45.一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，那么可列方程组〔

〕A.

B.

C.

D.

6.抛物线，以下说法正确的选项是〔

〕A.

开口向下，顶点坐标〔2，3〕

B.

开口向上，顶点坐标〔2，〕

C.

开口向下，顶点坐标〔，3〕

D.

开口向上，顶点坐标〔2，3〕7.如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为〔

〕A.

B.

C.

D.

8.抛物线与x轴没有交点，那么函数的大致图象是〔

〕A.

B.

C.

D.

9.如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，假设，那么的周长为〔

〕A.

21

B.

28

C.

34

D.

4210.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为〔2，4〕．点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，那么P1的坐标为〔

〕A.

〔3，3〕

B.

〔3，2〕或〔，〕

C.

〔3，3〕或〔，〕

D.

〔2，3〕或〔，〕11.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，AC=2，那么树高BC为〔用含的代数式表示〕〔

〕A.

B.

C.

D.

12.如图，直线y＝x＋1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D〔3，0〕向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，那么四边形PEDF面积的最小值为〔

〕A.

B.

C.

D.

二、填空题13.小明用计算一组数据的方差，那么________．14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，那么AE=________cm．15.如图，第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，，BC、AD垂直于x轴于C、D，那么k的值为________．16.如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，那么BE＝________．三、解答题17.计算：．18.先化简，再求值：，其中满足方程．19.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．局部学生开展庆“五·四〞演讲比赛，赛后对全体参赛学生成绩按A、B、C、D四个等级进行整理，得到以下不完整的统计图表．等级频数频率A4B20aCbD11请根据所给信息，解答以下问题：〔1〕参加此次演讲比赛的学生共有________人，a=________，b=________．〔2〕请计算扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数；〔3〕A等级四名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加县级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．21.为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图，A、B两地之间有一座山。汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶。BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°。

〔1〕开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？〔2〕开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1千米)(参考数据：≈1.41，≈1.73)22.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线〔〕相交于点A、B，点B〔a，〕，点C在轴正半轴上，点D〔2，〕，连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形．〔1〕求k和m的值；〔2〕请直接写出：当取何值时，反比例函数值大于一次函数值？〔3〕设P是轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标．23.如图，以的边为直径作的外接圆的平分线交于D，交于，过E作交的延长线于F.〔1〕求证：是切线；〔2〕假设求的长.24.定义：假设一次函数与反比例函数同时经过点P〔，〕那么称二次函数为一次函数与反比例函数的“关联函数〞，称点P为关联点．例如：一次函数与反比例函数，都经过〔2，4〕，那么就是两个函数的“关联函数〞．〔1〕判断与是否存在“关联函数〞，如果存在，请求出“关联点〞和相应“关联函数〞．如果不存在，请说明理由；〔2〕：整数a，b，c满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“关联函数〞，求a的值．〔3〕假设一次函数和反比例函数在自变量的值满足的情况下．其“关联函数〞的最小值为6，求其“关联函数〞的解析式．25.在平面直角坐标系中，抛物线〔〕与轴的两个交点分别为A、B，与轴相交于点C，点A〔，0〕，，连接BC，tan∠OCB=2．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕设点P是抛物线上在第一象限内的动点〔不与C、B重合〕，过点P做PD⊥BC，垂足为点D．①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？假设存在，请求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由；②以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求出点P的坐标．

答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】解：=4，所给数据中无理数有：，π，共2个.故答案为：B.【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可.2.【解析】【解答】解：30.81亿=3081000000=3.081×109．故答案为：C．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数.当原数的绝对值大于10时，n为原数的整数位数减去1.3.【解析】【解答】∵点M〔3，-2〕与Q〔a，b〕关于y轴对称，∴a=-3，b=-2，∴a+b=-5．故答案为：D．【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.4.【解析】【解答】①假设一个数的倒数等于它本身，那么这个数只有1和-1，说法符合题意；②假设两个单项式2a2与3ax+1的和是单项式，那么2=x+1，解得x=1，说法符合题意；③假设|x|=|-7|，那么x=7或-7，说法不符合题意；④假设a、b互为相反数，那么a、b的商为-1，不符合题意，例如0和0互为相反数，但0不能为分母，故此说法不符合题意，综上可得共2个符合题意，故答案为：B．【分析】①根据倒数的定义判断；②根据单项式的定义可得2=x+1，求解可得x的值；③根据绝对值为正数的数有两个进行判断；④根据互为相反数的和为1进行判断.5.【解析】【解答】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为：，故答案为：A．【分析】根据“大盒的数量×x+小盒的数量×y=总瓶数〞分别列方程，联立可得方程组.6.【解析】【解答】二次函数的顶点坐标为，因为二次项的系数为，小于0，所以抛物线的开口向下，故答案为：A．【分析】根据二次项系数的符号可判断出开口方向，直接根据解析式可写出顶点坐标.7.【解析】【解答】∵共4个数，数字为偶数的有2个，∴指针指向的数字为偶数的概率为．故答案为：D．【分析】找出转盘中所有数字的数量，再找出其中偶数的个数，用偶数的个数除以总数量即可求得指向偶数的概率.8.【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点，

∴方程没有实数根，

∴△=4﹣4×1×〔﹣m﹣2〕=4m+12＜0，

∴m＜﹣3，

∴函数的图象在二、四象限.故答案为：C.

【分析】抛物线与x轴没有交点，那么对应的一元二次方程没有实数根，根据根的判别式即可得到m的范围，进而判断出反比例函数的图象.9.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB=CD，∴△ABE∽△DFE，∴，∵，∴AE=6，AB=8，∴AD=AE+DE=6+3=9，∴的周长为：〔8+9〕×2=34．故答案为：C．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．10.【解析】【解答】∵矩形OABC的顶点B的坐标为〔2，4〕，点P是BC的中点，∴点P的坐标为〔2，2〕，以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，那么P1的坐标为〔〕或〔〕，即〔3，3〕或〔−3，−3〕，故答案为：C．【分析】根据点B的坐标即可写出点P的坐标，由于以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，那么分别给P点的横、纵坐标乘1.5，即可得到对应点P1的坐标.11.【解析】【解答】由题意得：是直角三角形，且，那么，即，解得，故答案为：B．【分析】根据三角函数概念可得，代入条件计算即可.12.【解析】【解答】解：如图，连接DP，

∵直线y＝x＋1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，

当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝−2，

∴A〔−2，0〕，B〔0，1〕，

∴AB＝

∵过点D〔3，0〕向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，

∴DE＝DF，PE⊥DE，

∵PE＝PF，PD＝PD，

∴△PED≌△PFD〔SSS〕，

∵⊙P的半径为=,

∴DE=

当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×=

∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝ED,

∴四边形PEDF面积的最小值为.

故答案为：A。【分析】连接DP，根据直线与坐标轴交点的坐标特点，求出点A、B的坐标，进而求得AB的长，即可得出⊙P的半径，利用SSS判断出△PED≌△PFD，根据全等三角形的面积相等，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF面积的最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值。二、填空题13.【解析】【解答】由题意得：这组数据的平均数为6，那么，解得，故答案为：60．【分析】根据方差的计算公式可得这组数据的平均数为6，进而求得这组数的和.14.【解析】【解答】∵AB⊥CD，AB是直径，∴CE=ED=4cm，在Rt△OEC中，OE==3〔cm〕，∴AE=OA+OE=5+3=8〔cm〕，故答案为：8．【分析】根据垂径定理可得CE=ED=4cm，在Rt△OEC中利用勾股定理进行求解.15.【解析】【解答】解：如图，∵第一象限内的点A在反比例函数y＝上，BC、AD垂直于x轴于C、D，∴S△AOD＝×4＝2，∵OA⊥OB，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，∵∠BCO＝∠ODA＝90°，∴Rt△AOD∽Rt△OBC，∵，∴∴S△OBC＝S△AOD＝×2＝，∴•|k|＝，而k＜0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．【分析】首先可证明△AOD∽△OBC，即可得到两个三角形的相似比，进而得到两个三角形的面积比，根据反比例函数的几何意义可得△BCO的面积，进而可计算出△AOD的面积，再次利用反比例函数的几何意义求得k的值.16.【解析】【解答】如以下列图，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，那么∠G＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，设EC＝x，那么DG＝x，FG＝x，∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴〔x〕2+x2＝〔〕2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3．【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，易证△BCE∽△EGF，那么有＝＝，即可求得GE=2，从而推出CE=DG，设EC＝x，在Rt△FDG中，根据勾股定理可得FG2+DG2＝DF2，求出x的值，再在直角△BCE中利用勾股定理求解.三、解答题17.【解析】【分析】根据a-n=〔a≠0，n为正整数〕，sin45°=，开立方的方法和绝对值的定义求解.18.【解析】【分析】先对括号里的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，并把分子、分母中能因式分解的局部进行因式分解，再通过约分进行化简，利用因式分解法解方程，求得x的值，注意x的值要满足使原式有意义，即各分母都不为零，且除数不为零，最后将满足题意的x的值代入化简后的式子计算.19.【解析】【分析】先分别求解两个不等式，然后找出两个不等式解集的公共局部，即为不等式组的解集，最后将不等式组的解集在数轴上表示即可.

20.【解析】【解答】解：〔1〕参加演讲比赛的学生人数为4÷0.08＝50人，a＝20÷50＝0.4，b＝50×0.3＝15，故答案为：50、0.4、15；【分析】〔1〕用A等级的频数除以对应的频率，即可求得总人数，用B等级的频数除以总人数可得a的值，用总人数乘C等级的频率可得c的值；

〔2〕用360°乘B等级对应的频率，即可求得B等级对应扇形的圆心角的度数；

〔3〕将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，

画出树状图表示出所有的可能性，再找出甲、乙两名同学都被选中的情况

数，最后利用概率公式计算.21.【解析】【分析】(1)、开通隧道前，汽车从A地到B地的距离=AC+BC，过点C作AB的垂线CD，分别在Rt△ACD中利用正弦值求得AC；在Rt△BCD中利用正弦值求得BC值即可；

(2)、开通隧道后，汽车从A地到B地的少走距离=AC+BC-〔AD+BD〕，首先在Rt△BCD中利用余弦值求得BD；在Rt△ACD中利用正切值求得AD值即可.22.【解析】【分析】〔1〕连接AD，与x轴交于点E，根据菱形的性质和点D的坐标，即可求得点A的坐标，分别将点A的坐标代入两个函数解析式，即可求得m、k的值；

〔2〕联立两个解析式，求解可得点B的坐标，要使反比例函数大于一次函数，那么反比例函数图象在一次函数图象的上方，通过观察图象，即可得到x的范围；

〔3〕先计算出菱形的面积，进而推出△OAP的面积，设P〔0，p〕，S△OAP=

×|p|×2＝12，求出p的值，即可得到点P的坐标.23.【解析】【分析】〔1〕要证EF是的切线，只要连接OE，再证∠FEO=90°即可；

〔