教案第八章习题

2 222(3)其逆为2

22

2 2

1

（2） (1)(

31023 （3）

((

（4）(1)(1)3

432（5）

2(1)22(1)2证必要性由A()可逆，则|A(|dcA(cdA(c充分性|A()|取0

xnaxn111

x由对所有的复数c，均有|A(c|

，于是an0．假设|A(|为i(i

,x0|A(x0)|与已知条 ,所以|A()|为零次多项式且就为an，从而则A()可逆21

2

2 A()0

,B() 把二者看作复数域上的矩阵是等价的，但是看作是1.（1）（2）

第二节 d()d()1,d()( d()d()d()1,d()423324 0d(d(1d()2d()2．0d()d()d()1d()) (4）0时，不变因子0

d1()dn()a d() ()1,d()( di(|di1(Di(|Di1(A(A()T它们对应的k B不相似（2）其不变因子分别为1,1362212和12,(2)2，因此二者不相似EA与EAT3ABRR上的矩阵EA与EB有相同各阶行列式因子，显然它们作为C上的AB在C上相似． (1)其不变因子,

2,1,(2)其不变因子,

1)2

1)2

,(2),

1)2 d()d()1,d()1,d()(1)(1),d()(1)2

11

(1)(

(1)2(1)2 d()d()1,d()1,d()(1)2,d()(1)2(1)

11 11 (

(

(1)3(2)(1)2 1 1(2(21)(24) AAd(),d()d),d'(),n P(Q(n2P(Q(nn1

A1)Q()diag(d1(),,dn1P'1

A)Q'()diag(d'(),,d

P

En2A2

QP()(En 2 2

P'n2n

A)Q'diag(d(),,d(),d'(),,d'()) 即EAdiag(d(),,d(),d'(),,d' Ad(),d(d),d'(的标准分解式中所有的一次因式的乘幂 成立．因为|EA|Dn()d1()d2()dn() 1

(1)

(2)

(3)

1 2 2

2 2

diag(1,2,,n,其中i|EA|(2)3

xn1在C上的根,且i

j)（a）d1()

()1，

()(2)3，对应的若当矩阵为00

02 2

d1()1,

()2，

()(2)2，对应的若当矩阵为 0 0

022

d1()d2()d3()(2)，对应的若当矩阵为 0 0

022当abc0时，A

diag(1,(1)),(1),2(1)2 ４.

A 1,但A2 0000000 000000

(

(26

(

(不一定．因为最小多项式相同，只能说明二者的第nnA可以对角化A的最小多项式是复数域上互素一次因式的乘积A的g()dn(，f()|EA|d1()d2()dn()f(|gn(

di()|di1(故di()|dn5.（1）标准形为00

0000220000001000020000102100000100002000120

02 02A1 0000 00000000

0 0 0 01 1g()2)(12

01

0000 00000000

0 0 00 00 00 00 00

0 0 0 01 17.(1)g()(nf()n1(n(2)g()(nA

C00

1

0 0 0 1 1 C1AC ． n n 证

D()1,

()

，

D1()1D2() 两矩阵有完全相同的行列式因子D1()1,D2()f()g()，故二者等价 (EBA)A1(EAB)8.3.1ABBA相似，从而EBA与EAB A与B合同，即存在可逆矩阵P，BB'PAPBB'PAP'PAP'P(AAP，故AA'与BB等价． 因为dn()a，所以d1()dn1()(a)，因此标准形

．．a 由f()的次数为7，可判断对应的数字矩阵为7阶的矩阵。不变因子的情况可能 （1）d()(2)4(1)(3),d()1,d()d( （2）d()(2)4(1)2(3),d()d( d()(2)3(1)(3),d()(2)(1),d()d d()(2)3(1)2(3),d()2,d()d( d()(2)2(1)(3),d()(2)2(1),d()d d()(2)2(1)(3),d()(

(1),d5()(2),d4()d1()d7()(2)2(1)2(3),d6()(2)2,d5()d1() d()(2)2(1)2(3),d()(2)d()2,d()d d7()(2)(1)(3),d6()(2)(1),d5()(2),d4()2,d3()d1() d()(2)(1)2(3),d()(2),d()(2),d()(2),d() 33

3 3 （1）

（2）

， 2 2 3 3

2 2 3 3 （3） （4） 33

22

33

22 （5） （6） 2 2 3 3

2 2 3 3 （7） （8） 122 122 221 221 33

3 3 （9） （10）

22 22 1r2f()|EA|()n1()n2()nr1r2其中12,,rn1n2nrn．g()1)(2)(r．A与一个对角矩阵相似，则EA(1),(2),,(r它们的乘积就是EAdn(dn()(1)(2)(r)g(．dn()就是EA的最小多项式，所以g(A)dn(A)0gA)0Adn(g(dn(（1）AJ

JsAm0J Jm

J2 J2 Jm

i0，Jmi

2 2 mi因此由m0iA

s si0,i1,2,,sAAJ J． J． mJJm0 Jm0Am0J

JsAm01）A的特征根全为零，于是每个若当块的对角线上元素全为零。JJE1的下三角矩阵，故|AE||P1JPE||P1(JE)P||JE|即９.证A

|AE|1．

J

i iJs

iP1APJJm(P1AP)mP1AmP mmiJm i

kEkisJisnJA 证AJ

i i Js

i即有可逆矩阵QQAQ1JA2AJ2(QAQ1)2QA2Q1QAQ1JiJ2J,i1,2,,si i ii i

i

i J为一阶时上式成立，且2 ii21或0iiJ10J中主对角线上元素的次 11 A 设A的若当标准形

00 J

i iJs

iP

p1APJA2EJ2(P1AP)2P1A2PP1EPEiJ2E,i1,2,,si

11

i

iJJ为对角矩阵，且21．故得

，即 的对角线上元素只能为1．适当调换次序，可得方阵C由于EAdiag(d1(d2(),dn(,0EAdiag(d1(0d2(0),dn(0,于是秩相同,di(|di1(,di(0)0di1(0)dn(0)0,diag(d1(0d2(0),dn(0rdr(0)0而dr1(0)0,及(0|dr(0|dr1(

Dn()Dn1()dn(dn(为一次的,xa,EAdiag(aa,a,AaE显然J不是对角阵,Ji1,J11,令1J的k征根,则r(1EJ)nk ,(J1的阶kA:对角阵,JAJ有相同的特征根,r(0EA)r(0EJ)n若0J的k重特征根,r(