北师大高中数学必修第三章《三角恒等变形》三角函数的简单应用

三角函数的简单应用北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》1例一：根据图象建立解析式

(研究温度随时间呈周期性变化的问题);例二：根据解析式作出图象

(研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期)；例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型

(研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题)；例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型

(研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题)。

第一课时第二课时目的：加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。2三角函数模型的简单应用（1）备注：①三角函数模型——三角函数关系②简单应用——学以致用，解决生活中的实际问题3教学目标:1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。教学重点：根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．4函数模型的应用示例2、心理、生理现象——

①情绪的波动②智力变化状况③血压变化状况

3、地理情景——

①气温变化规律

②月圆与月缺

4、日常生活现象——

①涨潮与退潮②车轮转动③峰谷电…………正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx1、物理情景——①简单和谐运动②星体的环绕运动5如果在宁波地区（纬度数约是北纬30o）的一幢高为ho的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？例题2分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由画图易知ABCh06解：图中Ａ、Ｂ、Ｃ分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于ＰＣ。根据太阳高度角的定义有

ABCh0P78太阳高度角的定义如图，设地球表面某地纬度值为，正午太阳高度角为，此时太阳直射纬度为那么这三个量之间的关系是当地夏半年取正值，冬半年取负值。太阳光地心北半球南半球9太阳光直射南半球太阳光地心10解：图中Ａ、Ｂ、Ｃ分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于ＰＣ。根据太阳高度角的定义有所以即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高1.35倍的间距。

ABCh0P15米11将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:理解题意建立三角函数模型求解还原解答12一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时开始计算时间。（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？例题3xy13解(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。设角。由OP在t(s)内所转过的角为，可知以Ox为始边，OP为终边的角为，故点P的纵坐标为，则当t=0,z=0,可得.因为,所以.故所求函数关系式为.(2)令,得.取,解得.即点P第一次到达最高点大约要5.5S.xy14小结:1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.2.建立三角函数模型的一般步聚:现实问题

现实模型

改造三角函数模型

抽象概括解析式图形三角函数模型的解数学方法还原说明现实模型的解是否符合实际修改15？体验探究三角增函数亡离我眠们有蕉多近皮？1、你能一刀圾削出郑一条笔正弦盆曲线碌吗？提示夫：把爬一张吧纸卷劣到圆美柱形芳的纸烫筒面蹈上，摘卷上疫几圈防，用滴刀斜鼻着将辩纸筒危削断谜，再让把卷橡着的粗纸展等开，痛你就零会看坦到：笔纸的棵边缘滚线是垫一条演波浪在形的冤曲线卫。你知道忧吗？这条限曲线忽就是正弦戴曲线！2、你蒙能试贴着针撞对周娘围一穿些呈系周期扣性变补化的粉现象播编拟饱一道艘能用议三角与函数醋模型夕解决狡它的剧题吗灭？16三角逼函数瓣模型榆的简以单应塔用(脆二)17教学框目标耳：1、知姓识目彻标：壤能正链确分且析收驾集到跌的数地据，哥选择埋恰当糠的三红角函吧数模溪型刻治画数成据所乏蕴涵嫁的规装律，抹能根这据问灰题的野实际罩意义什，利饥用模酸型解屑释有苏关实闲际问橡题，润为决有策提妹供依济据。2、能肥力目里标：腊体会疮由现勺实问古题选物择数询学模破型、备研究弱数学难模型硬、解锦决现较实问尤题的煌数学布建模径学习梳过程制，使围学生填逐步虫养成吨运用样信息样技术既工具贸解决功实际牧问题辟的意择识和卡习惯型；使学六生进导一步帅提升州对函锹数概划念的泉完整哲认识女，培挤养用评函数痒观点类综合崖运用滋知识驳解决款问题指的能桑力.3、情尸感目穷标：仰体验场探索挥和创童造过储程，善从中迅获得网成功吹的快怎乐，铅体会滩学习有数学厚知识宏的重俭要性椒，激急发对沸数学静的兴传趣和轻树立智自信甲心，背渗透缘瑞数学从与现痕实统喊一和絮谐之亡美。教学融重点槽：用三害角函怨数模驰型刻担画潮贿汐变沃化的巡寿规律扬，用趟函数蛇思想干解决客具有消周期俭变化村规律料的实丽际问览题。教学柳难点拍：对问眨题实秘际意烛义的缴数学徐解释哑，从而实际离问题隔中抽够象出心三角凑函数扯模型黑，并聋综合狐运用茶相关北知识衣解决饿实际惰问题趣。18一、怕设置厕情境侄，呈烦现问桶题二、捎探索矿实践玻，寻剪找模缎型1、初步具认识2、深堆入探醋索三、衣回归幼现实,提出他问题四、练习阴反馈,提高冈能力五、胆总结挡提炼,延时提探究教学蹦过程棋：19法国登圣米坏切尔攀山涨潮落潮海水男受日普月的颈引力顽，在苍一定聋的时斧候发凶生涨来落的采现象逗叫潮范。一拘般地台，早免潮叫胖潮，淋晚潮眉叫汐尸。（一茅）设疑置情却境，假呈现怕问题20依据亡规定,当海维浪高巩度高传于1m时才灿对冲积浪爱扇好者懒开放尖。21宁波赠港地浪处我保国大电陆海剃岸线弦中部思，南狭北和怎长江倍“T从”型结忌构的辛交汇细点上免，地锯理位柏置适夜中，两是中邻国大贩陆著稻名的狡深水你良港滔，分陕成宁财波老附港区忧、镇疯海港兆区、荒北仑书港区剪，宁候波港桐水深证流顺圣风浪贱小。巴进港忠航道易水深跳在18夫.2米帖以上乱，20万吨概以下锐船舶溪自由梳进港凑，25万吨30万吨际船舶曲可候秃潮进杏出港乓。221.依据膛规定,当海忍浪高勉度高谁于1m时才屿对冲锈浪爱嫌好者缘瑞开放,请设恭计一展天内永从上俭午到兄晚上渡之间,开放醉冲浪镇场所提的具铺体时糕间段氧，有珠多少赖时间俊可供化冲浪羞者进猾行活菜动?2.按安嗓全条邀例规缎定，呀船何脉时安镜全进基出港上述赤的变依化过港程中膊，哪烈些量猛在发爸生变选化？冠哪个义是自浓变量岭？哪庙个是训因变愉量？(潮汐抱对轮般船进弦出港啄口产激生什急么影唤响？)23某港铜口在雨某季业节每舞天的浩时间壶与水胶深关巨系表仅：时刻0：003：006：00水深/米5.07.55.0时刻9：0012：0015：00水深/米2.55.07.5时刻18：0021：0024：00水深/米5.02.55.0(1养)试着嗓用图鉴形描梯述这漂个港辩口从0时到24时水妇深的盈变化馋情况娃。（作作出价这些份数据疑的散差点图,并用符平滑谁曲线朱连接）问题瞧一：二、堂探索礼实践秋，寻贡找模鼓型1、初步凉认识（2）选呀用一泰个函粮数来废近似净描述线这个品港口岗的水窗深与典时间汽的函稀数关层系，址给出侨整点救时的隙水深蓬的近动似数舱值（败精确事到0.鱼00康1）.24（4）解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间的关系。从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，由得25时刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.75426问题毙二：刚一条稿货船斜的吃股水深彼度（英船底材与水按面的脑距离柳）为4米，非安全盘条例摧规定蒸至少弊要有1.纹5米的漠安全聚间隙吓（船齿底与放洋底序的距皮离）宴，该除船何拘时能车进入心港口筛？在拍港口帝能呆渴多久炼？2、深殖入探羽索时刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754xx3691215182124Oy246ABCD27在问杠题二善的条堤件下绒，若作货船物在港骨口停阿留8小时帮以上稼，则混货船余的吃央水深钩度至五多是景多少叠？xx3691215182124Oy246ABCD试试焰看28xx3691215182124Oy246ABCD时刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.75429xx3691215182124Oy246问题晕三：凭若某凤船的午吃水取深度赞为4米，斩安全饥间隙氏为1.调5米，对该船萌在2：00开始麦卸货赢，吃跳水深煎度以维每小迟时0.崖3米的座速度设减少柜，那湾么该障船在冬什么醒时候杂必须津停止柏卸货堂，将羊船驶者向较歉深的酱水域域。P在货短船的天安全喷水深康正好渐与港剃口水咸深相傅等时庄，停涛止卸宴货吗妥？(三)回归册现实,提出迅问题30现在修该港允口提帅高卸殃货效蒸率，雷使得拖货轮溉的吃早水深矛度以怕每小栋时1米的篇速度仁减小适，问病该港嚷口能太否一饲次性史接卸悼吃水询深度惜为6米的我大货盾轮？钞（注塘：该惰货轮课空载联时的损吃水翼深度缝为1米）练一站练Oyx嘿，托有挑用战性!(四)练习技反馈,提高才能力31练习环：某封海滨和浴场谅的海并浪高鹊度y（米）片是时诸间t（0≤t≤24，单位马：小烛时）絮的函忽数，都下表主是测丈得的旗某日寒各时誉的浪爷高数棉据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5依据贝规定,当海治浪高惠度高闷于1m时才吸对冲耻浪爱励好者毕开放,请设帖计一疑天内使从上店午到警晚上(8直:0近0—运20分:0饥0）之带间,开放算冲浪兰场所颜的具疯体时趁间段扰，有龙多少很时间炕可供烈冲浪够者进趟行活聋动?32小结银反思:1.三角践函数纽奉作为熊描述妈现实坡世界盒中周荐期现蜻象的醉一种烟数学称模型,可以稠用来献研究摔很多粥问题,我们夏可以邀通过韵建立呆三角割函数谁模型凡来解掩决实些际问潜题,如天黑气预成报,地震牧预测,等等.2.建立阴三角啊函数棋模型女的一事般步掘聚:搜集督数据利用重计算歇机作闪出相洗应的否散点骄图进行蔑函数填拟合傅得出脖函数迎模型利用阴函数史模型冲解决唉实际年问题(五)总结读提炼,延时炼探究33作业渡巩固（一伍）阅匀读作虽业：触通读持教材链，复谈习巩格固，瓜思考父对具崇有周盾期性欧实际傻问题喉函数壶处理水的方夸法和幼手段（二退）书日面作异业：（三童）实赖践探心究性愉作业瓶：①宁波近港与宝潮汐②天安鹅门广闷场国躺旗升黑降时果间34宁波歌港地肉处我悠国大嫩陆海咽岸线但中部惭，南呢北和贷长江栏“T孤”型结蹈构的安交汇朽点上状，地蹄理位规置适浊中，徒是中疮国大蓄陆著包名的纠深水创良港吹，分确成宁闻波老塘港区弦、镇恐海港枯区、饼北仑事港区抬，宁剩波港们水深碧流顺忧风浪计小。湾进港顷航道瓜水深醒在18费.2米统以上按，20万吨质以下猎船舶失自由姥进港闻，25万吨30万吨务船舶宏可候已潮进汤出港各。（1）斧请半查阅田宁波求港的20怖06