河南省安阳市2021届高三第四次模拟考试数学文科试题（解析版）

2021届高三年级第四次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求出集合、的值，由补集和并集的概念可得的值，可得答案.【详解】解：依题意，,，故，故，故选：D.【点睛】本题主要考查集合交并补运算，属于基础题型，注意运算准确.2.已知为虚数单位，若复数，在复平面内对应的点的坐标分别为，，则复数A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，然后利用复数除法化简．【详解】由题可得，所以，故选B．【点睛】本题考查复数形式的乘法除法运算，以及复数的代数表示及其几何意义．3.甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【详解】分析：根据茎叶图得到甲乙两组数的中位数和平均数，根据题意求出的值，然后可得所求．详解：由题意得，甲组数据为：；乙组数据为：．∴甲、乙两组数据的中位数分别为，且甲、乙两组数的平均数分别为．由题意得，解得，∴．故选A．点睛：茎叶图的优点是保留了原始数据的所有特征，且便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图和平均数、方差、众数、中位数等数字特征常结合在一起，考查学生的数据分析能力和运算能力．4.在等差数列中，，表示数列的前项和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差中项的性质求得的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得的值.【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.故选：B.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.5.函数的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用二倍角公式与诱导公式化简，之后再借助辅助角得出最小值．【详解】由题可得，所以函数的最小值为，故选A．【点睛】本题考查三角二倍角公式的化简，以及三角函数的值域问题．6.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】还原几何体得到几何体为一个长方体挖去一个直三棱柱后剩余的部分，利用柱体体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体为一个长方体挖去一个直三棱柱后剩余的部分，其中长方体的长、宽、高分别为，，，直三棱柱的底面是等腰直角三角形（腰长为），高为，故该几何体的体积为．故选C．【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7.已知，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、的大小关系.【详解】指数函数是上的增函数，则；指数函数是上的减函数，则，即；对数函数是上的增函数，则.因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数与对数函数结合中间值法来比较，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.8.已知定义在上的函数满足，且当时，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得的周期为，，带入解析式即可求解【详解】由可得，，所以，故函数的周期为，所以，又当时，，所以，故．故选D．【点睛】本题主要考查抽象函数的基本性质，周期性，注意区分函数的轴对称、点对称、周期性三者的区分．9.已知函数，当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移个单位后所得函数图象关于轴对称，则的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】逆用两角和的正弦公式将化为，利用周期求出，可得，根据三角函数图象的平移变换法则，可得到函数的图象，利用可得结果.【详解】由题可得，因为当时，的最小值为，所以函数最小正周期，则，解得，所以，将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，因为函数的图象关于轴对称，所以，解得，因为，所以的最小值为．故选C．【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式、正弦函数的周期公式、三角函数图象的变换法则，属于中档题.能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.10.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定函数奇偶性，舍去A，再根据函数值以及趋势舍去BC,即得结果.【详解】为奇函数，舍去A;时舍去B;舍去C故选：D【点睛】本题考查函数图象识别、函数奇偶性判断，考查基本分析判断能力，属基础题.11.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得是以为顶点的等腰三角形，故，即可求出，，再由直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，斜率相等，可得，结合即得解【详解】因为，取为中点，是以为顶点的等腰三角形所以，因为，所以是线段的中点．又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，由于，代入双曲线方程可得，，，右顶点坐标为化简可得，所以，所以，结合解得．故选：C12.已知函数的定义域为，且恒成立，其中是的导函数，若，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，根据得出在上单调递增，，利用单调性求解即可【详解】令，则，所以函数在上单调递增．可化为，即，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选D．【点睛】本题主要涉及抽象函数问题，通过导函数乘法运算法则逆运算，构造新函数，推出新函数的单调性，利用单调性解不等式；这是抽象函数中解不等式惯用的方法，后期大家在遇到相关的试题时常常联想单调性、奇偶性、周期性、对称性等解决问题的方法．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知曲线在处的切线方程为，则________________．【答案】.【解析】【分析】由求得，可得，代入切线方程求得，从而可得结果.【详解】因为，所以，由，解得，则，所以，代入切线方程，可得，即，所以，故答案为．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求切点即解方程；(3)已知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.14.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为________________．【答案】.【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】初始值：，，第次循环：，，；第次循环：，，；…；第次循环：，，；第次循环：，，，此时不成立，结束循环，输出的的值为，故答案为．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.15.已知关于，的不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一点，则的概率为______．【答案】##0.6【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，而满足不等式的点所在区域，然后利用几何概型概率公式即得．【详解】作出不等式组表示的平面区域(及其内部)，而满足不等式的点在内，由题意可得，，，，则，，所以所求概率.故答案为：．16.在中，角，，对边分别为，，，若，且，则的取值范围为________________．【答案】.【解析】【分析】先由三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式以及正弦定理证明，再利用正弦定理、余弦定理化简原等式可得，利用基本不等式求得，从而可得结果.【详解】因为所以由正弦定理可得，又因为，所以由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，即，所以，故的取值范围为．【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在中，角，，的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及三角形内角和将C换为A,B求出，即得A值．（Ⅱ）若，利用余弦定理和重要不等式，求得面积最大值．【详解】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得，又，所以，即，因为，所以，所以，所以，又，所以．（Ⅱ）由余弦定理可得，当且仅当时取等号，所以，即，所以的面积，故的面积的最大值为．【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．18.如图，在四棱锥中，已知四边形是菱形，且，点在底面内的射影在线段上，点在线段上．（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；（Ⅱ）若，是边长为的等边三角形，三棱锥的体积为，求的值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）连接交于点，连接，证明即可证出；（Ⅱ）由题可知平面平面，是边长为的等边三角形，到平面的距离，再利用，解得，求出的值【详解】（Ⅰ）如图，连接交于点，连接，因为四边形是菱形，所以，因为是的中点，所以，所以．又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因为点在底面内的射影在线段上，所以平面平面，因为四边形是菱形，，，所以，所以是边长为的等边三角形，所以点到平面的距离，又三棱锥的体积为，点到的距离为，所以，解得，所以，所以．【点睛】（Ⅰ）在判定线面平行的时候，我们须严格按照判定定理写出相应的步骤，其中核心关键步骤找出线线平行，在此我们常用的方法为中位线模型和平行四边形模型；（Ⅱ）大家注意求椎体和柱体体积的区分，另外唯独在求三棱锥的体积的过程中我们可采取换底的方式进行解决问题．19.某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了名学生，已知这名学生的历史成绩均不低于60分（满分为100分）．现将这名学生的历史成绩分为四组：，，，，得到的频率分布直方图如图所示，其中历史成绩在内的有28名学生，将历史成绩在内定义为“优秀”，在内定义为“良好”．（Ⅰ）求实数的值及样本容量；（Ⅱ）根据历史成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生的历史成绩均优秀的概率；（Ⅲ）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为历史成绩是否优秀与性别有关？男生女生合计优秀良好20合计60参考公式及数据：（其中）.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率之和为1即可求出a的值，由历史成绩在内的有名学生即可求出的值；（Ⅱ）根据分层抽样具有按比例的性质得出良好的有2人，优秀有3人，通过列举法求解概率；（Ⅲ）补充列联表，算出，对比表格得出结论【详解】（Ⅰ）由题可得，解得，又历史成绩在内的有名学生，所以，解得．（Ⅱ）由题可得，这名学生中历史成绩良好的有名，所以抽取的名学生中历史成绩良好的有名，历史成绩优秀的有名，记历史成绩优秀的名学生为，，，历史成绩良好的名学生为，，从这名学生中随机抽取名，有，，，，，，，，，，共10种情况，其中这名学生的历史成绩均优秀的有，，，共种情况，所以这名学生的历史成绩均优秀的概率为．（Ⅲ）补充完整的列联表如下表所示：男生女生合计优秀204060良好202040合计4060100则的观测值，所以没有的把握认为历史成绩是否优秀与性别有关．【点睛】本题属于常规概率统计问题，属于每年必考题型，主要涉及知识点有：频率分布直方图：频率分布直方图中每个小矩形的面积为相应区间的频率，所以小正方形的面积之和为1；分层抽样：按比例；系统抽样：等距离；列联表：会列列联表，即判断两者是否有关联．20.已知椭圆的短轴长为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，，为坐标原点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的短轴长可得，结合离心率求得a的值即可确定椭圆方程；（Ⅱ）设直线的方程为，，，与椭圆方程联立可得，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算公式可得，，结合k的范围确定的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的短轴长为，所以，所以，又椭圆的离心率为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）由题可设直线的方程为，，，将代入，消去可得，所以，即，且，，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）试判断函数的单调性；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)【解析】【分析】（Ⅰ）求出原函数导函数，然后对a分类，当a≤0时，＜0，f（x）为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）分离参数t，可得恒成立．令，则问题等价于求解函数g（x）的最小值，然后利用导数分析求解函数g（x）的最小值得答案．【详解】（Ⅰ）由题可得函数的定义域为，，当时，因为，所以，所以函数在上单调递减；当时，令，解得；令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）当时，，则不等式可化为，因为不等式恒成立，所以原问题可转化为．设，显然函数的定义域为，，令，则恒成立，所以函数在上单调递增，又，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故实数的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，考查了利用分离变量法求解恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ