高中数学人教A版高中必修第三章 不等式基本不等式课件

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

问题引入:2002年国际数学家大会会标三国时期吴国的数学家赵爽

思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1

问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S`=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则AB=

则正方形的面积为S=

。问3：观察图形S与S`有什么样的大小关系？易得，s>s`,即ADCBHGFE问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？变化的弦图问题4：s,

S`有相等的情况吗？何时相等？

图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

形的角度数的角度

当a=b时

a2+b2－2ab

=(a－b)2=0结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立探究2问5：当a,b为任意实数时，还成立吗？此不等式称为重要不等式替换后得到：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？一.基本不等式的推导:

证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法证明不等式：特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0二.基本不等式:你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半。ADBEOCab适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式

重要变形：（由小到大）

2.典例分析：题型一利用基本不等式求最值题型二基本不等式的实际应用结论1：两个正数积为定值，则和有最小值。题型一：利用基本不等式求最值配凑系数分析:

x+(1-2x)

不是

常数.2=1为

解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤

∙[]22x+(1-2x)21218=.

当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即

x=

14∴当

x=时,

函数

y=x(1-2x)

的最大值是.1418例2.若

0<x<,求函数

y=x(1-2x)

的最大值.12（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么a+b有最____值______(当且仅当_____时取“=”）.（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S

（定值），那么ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.利用基本不等式求最值问题：小大利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。a=ba=b

例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ABDC题型二：基本不等式的实际应用

例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x

，CD=y

，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.例3.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x

，CD=y

，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2得

xy≤81当且仅当x=y时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).14例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即

当x=y,即x=y=40时,等号成立所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.１．已知函数，求函数的最小值和此时x的取值．运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．“美女”找茬２．已知函数，求函数的最小值．用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．用均值不等式求最值,必须注意“相等”的条件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式1.设>0，>0，若是与的等比中项，则得最小值为（）A.8B.4C.1D.

（2009年天津理6）B变式训练1-1：因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2四、当堂训练，针对点评＞2.（2009山东理12T)设满足约束条件若目标函数

（0，>0）的最大值为12，则的最小值为（）A.B.C.D.4略解：xy02-22(4,6)A2.如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？变式训练2-1：四、当堂训练，针对点评2.如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x

，BC=24－2x

，矩形花园的面积为x(24－2x)

m2因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2当x=6时，函数y取得最小值为72五、课堂总结，布置作业1．课堂总结：（1）涉及知识点：基本不等式及其应用。（2）涉及数学思想方法：转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合思想。求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y