2.2.1基本不等式(第一课时)导学案

§2．2．1基本不等式（第一课时）导学目标：掌握基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．（预习教材P44~P46，回答下列问题）思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿2、四个直角三角形的面积和S’=＿＿3、S与S’有什么样的不等关系？【知识点一】重要不等式对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．自我检测1：你能给出不等式a2＋b2≥2ab的证明吗？【知识点二】基本不等式对于任意实数，都有eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq\f(a＋b,2)和eq\r(ab)分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．自我检测2：你能给出不等式（）的证明吗？【知识点三】利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．自我检测3：利用基本不等式求最值时应注意什么呢？题型一对基本不等式的理解【例1】正确辨别不等式的使用条件(1)下列不等式中，不正确的是()A．a2＋b2≥2|a||b|B．eq\f(a2,b)≥2a－b(b≠0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2≥eq\f(2a,b)－1(b≠0)D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2(2)给出下列命题：①若x∈R，则x＋eq\f(1,x)≥2；②若a<0，b<0，则ab＋eq\f(1,ab)≥2；③不等式eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2成立的条件是x>0且y>0．其中正确命题的序号是________．题型二利用基本不等式求最值【例2-1】已知，求的最小值和此时x的取值．（或）【例2-2】求下列代数式的最值（1）已知，求的最小值；（2）若，求的最大值；（3）已知，且满足，求的最小值；（4）求的最小值；（5）若且，求的最小值；（6）若且，求的最小值．题型三恒成立问题与存在问题【例3】若对任意，恒成立，则a的取值范围为________________．1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥22．若a>1，则a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2B．aC．eq\f(2\r(a),a－1)D．33．下列不等式中，正确的是()A．a＋eq\f(4,a)≥4B．a2＋b2≥4abC．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2)D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)4．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5)B．eq\f(28,5)C．5D．65．已知x，y都是正数．(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．【参考答案】学后反思巩固提高学后反思巩固提高思考：1、；2、；3、【自我检测1】证明：当时，；当时，．分析法自我检测2：你能给出不等式（）的证明吗？分析法【自我检测2】证明：要证只需证只需证（）只需证显然成立．当且仅当时，上式“”成立．【自我检测3】【例1】【解析】（1）B；（2）正确命题的序号是②．【例2-1】【解析】当时，（当且仅当时，“”成立）；当时，“一正”不满足，所以不能求该函数的最小值；当时，“三相等”不满足，所以不能求该函数的最小值．【例2-2】求下列代数式的最值（1）【解析】因为，则，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为5．（2）【解析】因为，，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为．（3）【解析】因为x＞0，y＞0，eq\f(8,x)＋eq\f(1,y)＝1，所以x＋2y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq\f(x,y)＋eq\f(16y,x)≥10＋2eq\r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝3))时，等号成立，所以当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18．（4）【解析】因为，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为．（5）【解析】因为（）所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为．（6）【解析】因为，所以令（），即或（舍），当且仅当时，“”成立，所以的最小值为．【例3】【解析】因为，，当且仅当时，“”成立．所以只需即可．1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：D2．若a>1，则a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2B．aC．eq\f(2\r(a),a－1)D．3解析：D3．下列不等式中，正确的是()A．a＋eq\f(4,a)≥4B．a2＋b2≥4abC．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2)D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)解析：D4．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5)B．eq\f(28,5)C．5D．6解析：C5．已知x，y都是正数．(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．解析：(1)x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(15)，即x＋y的最小值是2eq\r(15)；当且仅当x＝y＝eq