点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题【定理1】在椭圆(>>0)中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又【定理2】在双曲线(>0,>0)中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，贝，、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又【定理3】在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，贝叭证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又、、注意：能用这个公式的条件：(1)直线与抛物线有两个不同的交点；(2)直线的斜率存在、一、椭圆1、过椭圆+=1内一点P(2,l)作一条直线交椭圆于A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程.【解】法一：如图，设所求直线的方程为y—l=k(x—2),代入椭圆方程并整理，得(4k2+l)x2—8(2k2—k)x+4(2k—1)2—16=0,(*)又设直线与椭圆的交点为A(xl,yl),B(x2,y2),则x1、 x2是(*)方程的两个根，..・xl+x2=、..叩为弦AB的中点，「.2==、解得k=—,・••所求直线的方程为x+2y—4=0、法二：设直线与椭圆交点为A(xl,yl),B(x2,y2),VP^7弦AB的中点，..・xl+x2=4,yl+y2=2、又•:A、B在椭圆上，.\x+4y=16,x+4y=16、两式相减,得(x—x)+4(y—y)=0,即(xl+x2)(xl—x2)+4(yl+y2)(yl—y2)=0>/.==—,即kAB=—、.L所求直线方程为y—1=—(x—2),即x+2y—4=0、2、 已知椭圆+=1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.【解答】解：设P(x,y),A(xl,yl),B(x2,y2).VP弦AB的中点，..・xl+x2二2x,yl+y2二2y.则+=1,①+二1,②②-①得，=-二3,整理得：x+y二0.由，解得x二所求轨迹方程为：x+y二0.(-<x<)..•点P的轨迹方程为：x+y二0(-<x<)；3、 (xx秋・启东市校级月考)中心在原点，焦点坐标为(0,5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为二1・【解答】解：设椭圆二1(a>b>0),则a2-b2-50①又设直线3x-y-2=0与椭圆交点为A(xl,yl),B(x2,y2),弦AB中点(xO,yO)..・x0二，..・代入直线方程得y0=-2=-,由，得,AAB的斜率k=-•二-•二3L.二-1,32二3b2②联解①②，可得&2二75,b2二25,...椭圆的方程为:二1故答案为：=1.4、例1（09年四川）已知椭圆（>>0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为、（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程、解：（I）根据题意，得、所求的椭圆方程为、（II）椭圆的焦点为、、设直线被椭圆所截的弦MN的中点为、由平行四边形法则知：、由得：、①若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在、由得：②②代入①，得整理，得：、解之得：，或、由②可知，不合题意、，从而、所求的直线方程为，或、6、愆乂秋・工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为.【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（xl,yl）,（x2,y2）,则，两式相减，得二0,（yl-y2）（yl+y2）二-3（xl-x2）（xl+x2）,二-3,因为直线斜率为3,...二3,・.•两交点中点在直

线x二，xl+x2=l,.\3=-31（yl+y2）,.所以中点M坐标为（,一）・故答案为：（，一）・7、 如图，在中，，椭圆C：,以E、F为焦点且过点D,点0为坐标原点。（I）求椭圆C的标准方程；（1［）若点K满足，问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N且，若存在，求出直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。xyDEFO解：（I）略：，（II）分析：I•，设MN的中点为H,则，此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差法''设，直线的斜率为（,则①②由①一②得： 又・..，则，...，从而解得，点在椭圆内，则且8、 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心、求证：直线和直线的斜率之积是定值、证明设且，则，（1）,（2）得：，，、又，，（定值）、二、双曲线1、 过点P（4,l）的直线1与双曲线一y2=l相交于A、B两点，且P为AB的中点，求1的方程.［解析］设A（xl,yl）,B（x2,y2）,则一y=l,—y=l,两式相减得：（xl+x2）（xl-x2）-（yl+y2）（yl-y2）=0,VPAB中点，/.xl+x2=8,yl+y2=2、即所求直线1的斜率为1,「.l方程为y—l=x—4,即x—y—3=0、2、 设A、B是双曲线x2-=l上的两点，点N（l,2）是线段AB的中点，（1）求直线AB的方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、 D四点是否共圆？为什么？［分析］要证明A、B、C、 D四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A、B、C、 D四点共圆，则・.・CD垂直平分AB,据圆的性质知，圆心在直线CD上，「.CD中点M为圆心，只要证|AM|=|MB|=|CM|=|MD|即可.［解析］(1)依题意，可设直线AB方程为y=k(x—1)+2,由得(2—k2)x2—2k(2—k)x—(2—k2)—2=0①设A(xl,yl),B(x2,y2),1、x2是方程①的两个不同的实根，所以2—k2U0、由韦达定理得，xl+x2=、由N(l,2)是AB的中点得，=1、即k(2—k)=2—k2、解得k=1,「・直线AB的方程为y=x+l、(2)由得x2—2x-3=0,解得xl=3,x2=—1、.・・A(3,4),B(—1,0)....CD是线段AB的垂直平分线，所以CD所在直线方程为y=—x+3、得x2+6x—ll=0、设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为M(x0,yO).由韦达定理，得x3+x4=—6,x3x4=—11、从而xO=(x3+x4)=—3,yO=—x0+3=6、|CD|====4,|cm|=|md|=2、|ma|=|mb|==2、A、B、C、 D四点到M的距离相等，所以A、B、C、 D四点共圆.3、已知双曲线的方程为x2—=1、试问：是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由.［分析］易判断出点B(l,l)在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90、［解析］解法一：设被B(l,l)所平分的弦所在的直线方程为y=k(x—1)+1,代入双曲线方程x2—=1,得(k2—2)x2—2k(k—1)x+k2—2k+3=0、A=［—2k(k—1)］2—4(k2—2)(k2-2k+3)>0、解得k〈，且xl+x2=、VB(1,1)是弦的中点,1,..・k=2>、故不存在被点所平分的弦.解法二：设存在被点B平分的弦MN,设M(xl,yl)、N(x2,y2).则xl+x2=2,yl+y2=2,且①一②得(xl+x2)(xl—x2)—(yl+y2)(yl—y2)=0、..・kMN==2,故直线MN：y-l=2(x-l).由消去y得，2x2—4x+3=0,△=—8<0、这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在.［点评］由本题可以看到：如果点B在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在.如果点B在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在.因此，点B在内部无需检验，点B在外部必须检验.关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分为双曲线外部.4、 设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线.（I）试求双曲线C的方程；（II）设直线与双曲线交于两点，求；（III）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线（为常数）对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由.解：（I）由得，，抛物线的顶点是，准线是、在双曲线C中，、双曲线C的方程为、（II）由得：、设，则、、（III）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线、因而，从而、设线段AB的中点为、由得：，、①由得：、②，由①、②得：、由得：，、又由得：直线与双曲线C相交于A、B两点，＞0,即V6,且、符合题意的的值存在，、5、三、抛物线1.在抛物线y2=8x中，以（1,一1）为中点的弦所在直线的方程是（)A.X—4y—3=0B.x+4y+3=0C.4x+y—3=0D.4x+y+3=0［答案］C,［解析］设弦两端点为A(xl,yl),B(x2,y2),则yl+y2=一2、・.・A、B在抛物线上，..・y=8xl,y=8x2,两式相减得，(yl+y2)(yl-y2)=8(xl-x2),?.=-4,二直线AB方程为y+l=—4(x-l),即4x+y—3=0、2.若点(3,1)是抛物线y2=2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2,则？=、［答案］2［解析］设弦两端点Pl(xl,yl),P2(x2,y2),Vyl+y2=2,..・p=2、3.过点Q(4,l)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q所平分，求弦AB所在的直线方程.［答案］4x-y-15=0［解析］解法一：设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(xl,yl)、B(x2,y2),则有y=8xl,①y=8x2,②xl+x2=8,yl+y2=2、③①—②，得(yl+y2)(yl—y2)=8(x1—x2).④将③代入④得yl—y2=4(xl-x2),即4=,..・k=4、..・所求弦AB所在直线方程为y—l=4(x—4),即4x—y—15=0、4、(2004*福建)如图，P是抛物线C：y二x2上一点，直线1过点P且与抛物线C交于另一点Q.(I)若直线1与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；(II)若直线1不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围.【分析】(1)设M(x0,y0),欲求点M的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P,Q与中点M的关系结合中点坐标公式求解，(2)欲的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决.【解答】解：(I)设P(xl,yl),Q(x2,y2),M(xO,yO),依题意xl尹0,yl>0,y2>0.由y=x2,①得y二x.二过点P的切线的斜率k=xl,..・直线1的斜率kl二-二直线1的方程为y-xl2二-(x-xl),②联立①②消去y,得x2+x-xl2-2=0.VM是PQ的中点.・・x0二二-，y0=xl2-(xO-xl)消去xl,得y0=x02++l(x0=0),「.PQ中点M的轨迹方程为y二x2++l(x/0)・方法二：设P(xl,yl)、Q(x2,y2)、M(xO,yO),依题意知xlNO,yl>0,y2>0.由y=x2,①得y‘=x./.过点P的切线的斜率k切二xl,..・直线1的斜率kl二-二-，直线1的方程为y-xl2二-(x-xl)・②方法一：联立①②消去y,得x2+x-xl2-2=0.・.・M为PQ的中点，?.x0==-,y0=xl2-(x0-xl).消去xl,得y0=x02++l(x0=0),「.PQ中点M的轨迹方程为y二x2++l(x尹0)・(II)设直线1：y二kx+b,依题意k尹0,b尹0,则T(0,b)・分别过P