函数方程问题的分析

高考数学复习优质专题学案(经典解析)f(x)=-f(-x),f(1-x)=f(1+x)都可称为函数方程。在高中阶段，涉及(1)表示函数f(x)的某种性质：例如f(x)=f(-x)体现f(x)是偶函数；f(x+1)=f(x)体现f(x)是周期为1的周期函数(可详见“函数对称性(2)可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：x(3)函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到(1)对x,y均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会的函数代表函数方程(1)f(x+y)=f(x)+f(y)：f(x)=kx高考数学复习优质专题学案(经典解析)aaaa(1)求证：f(x)为奇函数(2)求证：f(x)为R上的增函数()思路：要证明奇函数，则需要f(x),f(一x)出现在同一等式中，所f(x)为奇函数12121与f(x)的大小，结合等式，则需要让f(x)与f(x)分居等号的两侧，12221121211212211121212121高考数学复习优质专题学案(经典解析)：f(x)为增函数小炼有话说：第()问将x拆分为(x-x)+x是本题证明的亮点，达2211到了让f(x)与f(x)分居等号的两侧的目的2(1)求f(0)的值(2)求证：f(x)在(-w,+w)上是增函数(3)求不等式：f(x2+x)<1f(2x-4)的解集()思路：考虑证明f(x)单调递增，则需构造出f(x)-f(x)，即可设12x>x且令a=x-,xb=，x则有f(x)=f(x-x)f(x)，从而1212211f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1f(x1)，211结合题目条件和f(0)=1，令a=x,b=-x，则有1ffxfxfx=1f1(-x)1>0，从而单调性可证1212211f(x)=f(x-x)f(x)2211：f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1f(x1)x-x>0：f(x-x)>0，下证f(x)>021211高考数学复习优质专题学案(经典解析) 11111：f(0)=f(x)-1111：f(x1)=1f(-x)1：f(x)-f(x)=1：f(x)在R上单调递增()思路：本题并没有f(x)的解析式，所以考虑利用函数的单调性求于x的不等式，解出不等式即可：f(x2+3x-4)<f(0)由(2)可得f(x)单调递增()高考数学复习优质专题学案(经典解析)思路：由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性，先化简P，由(1x<x，则f(x)-f(x)=f(|x-x12)|，1212(1-x1x2)x21212224122所以较容易。但也可将x,x在(-1,1)中任取，但是在判断x-x12的范围会比1-xx12且x-x12>-1一x-x>xx-11-xx121212212由x,x=(-1,1)可得(x+1)(1-x)>0成立，从而x-x12>-112121-xx区间(0,+w)上单调递增，若m满足f(logm)+f(|logm)|试2f(1)，则实数m33(1)3高考数学复习优质专题学案(经典解析)的取值范围是()思路：从所求中发现logm,logm互为相反数，所以联想到判定f(x)是13所以f(logm)+f(|logm)|=2f(logm)，所解不等式为f(logm)试f(1)，因3()33333例：设角a的终边在第一象限，函数f(x)的定义域为[0,1]，且高考数学复习优质专题学案(经典解析)42f(x)>2012，设f(x)的最大值和最小值分别为M,N，则M+N的值为()思路：由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明f(x)单调，令1122211212121：f(x-x)>2012：f(x)-f(x)>021高考数学复习优质专题学案(经典解析)22思路：由所求出发可考虑判断f(x)是否具备周期性，令y=1，可得的周期为，由f(x+1)+f(x–1)=f(x)可得：f(2)+f(0)=f(1)=1，即2fffxf(x–1)可得f(4)=–f(1)=–1，则222且f(2014)=f(4)=–12高考数学复习优质专题学案(经典解析)"2思路：观察到右边的结构并非f(x),f(y)的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为，则x=1时，n2nnn高考数学复习优质专题学案(经典解析)nn4②使等式中出现f(x),f(x)，令a=x,b=1，则f(x)=xf(1)f(x)，需要计算出f