向量在物理中的应用

2.5.2向量在物理中的应用一、向量与物理学的联系

向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！1.向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、加速度、位移等都是向量！2.力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减法，运动的叠加也用到向量的合成！3.功的定义即是F与所产生位移S的数量积例1：同一平面内，互成

的三个大小相等的共点力的合力为零。BO120ºabcDCA证：如图，用a，b，c表示这3个共点力，且a，b，c互成120°，模相等按照向量的加法运算法则，有：

a+b+c=a+（b+c）=a+OD又由三角形的知识知：三角形OBD为等边三角形，故a与OD共线且模相等例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：

F2θF1FG用向量F1，F2，表示两个提力，它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！θF1FGF2cos2θ探究：（1）θ为何值时，最小，最小值是？F1（2）能等于吗？为什么？F1GF1解：不妨设=，由向量的

平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：

=（*）

通过上面的式子，有：当θ由0º到180º逐渐变大时，由0º到90º逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此：由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力！

F2F1Gcos2θ2θcos2θ2F1答：在（*）式中，当θ=0º时，最大，最小且等于cos2θF1G2答：在（*）中，当=

即θ=120º时，=

cos2θ12F1GF2例3：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度

=10km/h，水流的速度=2km/h。问:（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？

（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？v1v2分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。

（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。500mA把物理问题转化为数学模型为：解（1）=

=

所以

t==60

答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。v-v12v2296dv0.596~~3.1（min）

（2）t==60=3

（min）答：行驶的时间最短时，所用的时间是3mindv10.510（1）ABv1v2v（2）v2v1vkm/h练习；（1）如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是————。120º10N(2)如图，今有一艘小船位于d=60m宽的河边P处，从这里起，在下游=80m处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？PQ瀑布θQ，60mPQ瀑布θV船V水V合的方向θPQ从图上看，哪个速度（向量的模）最小？分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速和它们的合速度为、和，由题意，船的实际速度为向量其方向为临界方向，船只要朝着这个方向行驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：PQV船V水V合=+V船V水V合解：由题意知：其方向为临界方向，设和夹角为θ，则最小划速为：sinθ==所以：最小的船速应为：V船V水V合=+PQV水V合v船=v水sinθv船=5×sinθ=5

×=3（m/s）提问: