一轮复习指导资料第章第节函数模型及其应用

第二章函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用考纲要求考情分析1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.函数常与数列、导数、解析几何、立体几何、不等式联系在一起，此类试题难度较大，每年的高考对本部分也都重点考查，主要体现为：(1)函数应用题，主要考查审题能力、数学建模能力，以及求最值等．根据题目特点，恰当选取变量，建立函数关系是解决问题的关键．(2)对含参数不等式恒成立的考查，分离参数后化归为函数的最值问题．总之，对函数应用的考查，选题多从实际出发，设问新颖灵活.一、常见的几种函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a、b、c为常数，a＞0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a、b、c为常数，a＞0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a、b为常数，a≠0)二、三种函数模型性质比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性增长速度相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与

平行随x增大逐渐表现为与

平行随n值变化而不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴三、解函数应用题的步骤1．审题：弄清题意，分清条件和结论，确定数量关系，初步选择数学模型；2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；3．求模：求解数学模型，得出数学结论；4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：解函数应用题常见的错误：(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．1．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为()A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：∵20＝y＋2x，∴y＝20－2x，又y＝20－2x＞0且2x＞y＝20－2x，∴5＜x＜10.答案：D2．我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶，若每销售100元国家要征附加税为x元(税率x%)，则每年销售量减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税不少于112万元，则x的最小值为()A．2 B．6C．8 D．103．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为()A．8℃ B．78℃

C．112℃ D．18℃解析：由题意，下午3时，即t＝3时，T(3)＝78(℃)．答案：B4．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m∈________________.解析：∵10.6＝1.06(0.50×[m]＋1)∴0.5[m]＝9，∴[m]＝18，∴m∈(17,18]．答案：(17,18]5.有一些材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)答案：2500m2

【考向毛探寻】利用信一次猛函数裳、二鹿次函矿数解死决实倾际问荐题．【典例背剖析】某企究业为恭打入购国际舍市场控，决允定从A，B两种炸产品店中只斤选择催一种殊进行塞投资前生产追，已拥知投丘资生业产这鼻两种联产品艇的有高关数皂据如罪下表禁：(单位恋：万折美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中也年固翁定成脑本与窑年生纲产的球件数址无关侧，m为待斜定常含数，微其值材由生鬼产A产品厦的原阁材料畏价格斜决定拖，预持计m∈[6隙,8屋]，另悲外，舟年销墙售x件B产品奥时需蜻上交0.担05x2万美目元的若特别蕉关税君，假根设生互产出遍来的躁产品属都能罚在当勺年销奔售出蹦去．(1循)写出商该厂室分别展投资拾生产A，B两种提产品涂的年糟利润y1，y2与生族产相画应产内品的猜件数x之间冻的函顷数关周系式红并指呼明其缝定义冒域；(2滴)如何芦投资锡可获活得最铸大年搏利润港？请松你做染出规辨划．解：(1出)由题嘴意知秒年销映售量坡为x件，卫按利攀润的池计算限公式毁，生雹产A，B两产殿品的笋年利址润y1，y2分别化为：y1＝10x－(2厨0＋mx)＝(1男0－m)x－20语,0≤x≤20顽0且x∈N.y2＝18x－(4屈0＋8x)－0.蒙05x2＝－0.拨05x2＋10x－40，∴y2＝－0.鞠05锐(x－10弓0)2＋46缺0,财0≤x≤12铃0，x∈N.(2么)∵6≤m≤8，∴10－m>0，∴y1＝(1恩0－m)x－20为增尸函数唐，又0≤x≤20愧0，x∈N，∴x＝20翻0时，亮生产A产品婚有最遭大年名利润销为(1糖0－m)×20睁0－20＝1击98拿0－20捏0m(万美店元)．又y2＝－0.总05吐(x－10撕0)2＋46该0,钞0≤x≤12或0，x∈N，∴x＝10吓0时，面生产B产品胜有最哲大年升利润胀为46薪0万美借元．柳现在问我们宁研究萍生产鹅哪种监产品诞年利榜润最跟大，滋为此炉，我洲们作宫差比跑较：(y1)ma弹x－(y2)ma猫x＝(1千9葬80－20射0m)－46奶0＝1华52睛0－20遭0m.令1恨52泡0－20糖0m>0得6≤m<7阿.6，令1麻52陷0－20剑0m<0得7.联6<m≤8，令1编52主0－20乱0m＝0得m＝7.享6.∴当6≤m<7体.6时，辟投资湿生产A产品20身0件可字获得葱最大秧年利背润，感当m＝7.皮6时，陷生产A产品马与生赌产B产品袋均可寄获得稳最大众年利陆润，德当7.植6<m≤8时，齐投资申生产B产品10除0件可锅获得最最大方年利屑润．(1符)在实燥际问虾题中劲，有府很多弹问题磁的两想变量庸之间袜的关暖系是滤一次命函数树关系烂，其瞎增长携特点现是直瞒线上前升(自变颈量的拢系数忙大于0)或直锦线下弱降(自变撒量的火系数煌小于0)；(2对)有些锻问题圾中的蜡两变杆量之潜间是狐二次躬函数亏关系去，如过面积俭问题裤、利文润问斑题、叮产量倘问题披等．遵一般颈利用磨二次欢函数苏图象育的开臣口方弦向和响对称烛轴与舰单调导性解阶决，袄但一产定要堪注意计函数乓的定挡义域婚，否臭则极白易出叠错．【活学兆活用】1．某胡人要沿做一口批地具砖，冷每块版地砖(如图1所示)是边贿长为0.列4米的址正方剪形AB境CD，点E、F分别或在边BC和CD上，△CF却E、△AB傲E和四沫边形AE之FD均由般单一子材料挑制成当，制般成△CF位E、△AB浸E和四蕉边形AE昼FD的三踪蝶种材悦料的蔬每平似方米将价格芽之比闪依次厉为3∶2∶1.若将文此种咸地砖败按图2所示致的形驾式铺叨设，父能使诊中间价的深王色阴疼影部歉分成晓四边叔形EF摄GH.(1抹)求证灵：四育边形EF某GH是正险方形万；(2字)E、F在什绞么位缓置时商，做除这批斯地砖爷所需陈的材所料费抬用最止省？(1坐)证明洗：图2是由气四块产图1所示蜘地砖革组成胖，由岭图1依次泛逆时穴针旋批转90氧°，18刑0°，27惑0°后得超到，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴△CF咐E为等膛腰直剩角三摸角形理，∴四边偷形EF愤GH是正遣方形他．【考向宿探寻】利用愚分段山函数碗知识被解决泻实际屈问题肠．【典例碑剖析】(1禾2分)某市洽居民最自来锹水收光费标突准如傅下：凡每户森每月券用水掉不超汇过4吨时居，每谣吨为1.妻80元，乡丰当用日水超纽奉过4吨时卷，超术过部明分每阅吨3.放00元．破某月维甲、宗乙两例户共合交水醉费y元，敲已知挑甲、筋乙两攻户该逐月用写水量烫分别弯为5x,3x(吨)．(1客)求y关于x的函谅数；(2创)若甲绝、乙砖两户蠢该月嚼共交报水费26律.4元，垃分别徐求出级甲、议乙两川户该等月的碑用水瓶量和侄水费涝．用水律量的果不同第，收削费标畜准不邪同，佩甲、敞乙两矛户的轨用水元量分碎别为5x、3x，需拌分段肢列函煮数式忘，根卸据所谎列的伶分段蚂函数碗分析珠判断壶共交虑水费26签.4元，叛甲、素乙应弓分别吹为多化少．(1开)当甲堆的用澡水量翠不超奖过4吨时礼，即5x≤4，乙蓄的用大水量轨也不彩超过4吨，y＝1.纠8(阅5x＋3x)＝14愿.4x；……害……著……盯…罢……舞……2分当甲倒的用违水量矩超过4吨，友乙的释用水夸量不养超过4吨，鄙即3x≤4，且5x＞4时，y＝4×1.默8＋3x×1.幸8＋3(行5x－4)＝20限.4x－4.棍8.……革……减…4分当乙狮的用削水量兄超过4吨，蓬即3x＞4时，y＝2×4×1.月8＋3×[(俊3x－4)＋(5x－4)援]＝24x－9.萄6.……顺…6分很多粗实际尿问题吉中变应量间脏的关效系，疾不能环用同东一个箱关系稻式给危出，两而是庸由几熟个不织同的勾关系脸式构唱成分唯段函群数．义如出锅租车痒票价鼓与路适程之念间的伯关系焦，就坟是分抢段函宴数．分段庙函数阿主要董是每可一段愈自变炒量变皇化所彻遵循过的规辉律不咸同，开可以翅先将像其当坐作几数个问历题，碧将各悦段的半变化独规律队分别尤找出留来，禾再将负其合止到一菠起．毯要注饮意各滔段变薄量的陵范围退，特质别是寨端点光值．【活学辨活用】2．电馒信局沫为了道迎合说客户猎的不聋同需液要，盆设有A、B两种渴优惠革方案翠，这米两种碎方案氧应付秀电话清费(元)与通惯话时时间(分钟)之间杯的关借系如霉图所鸡示(实线根部分)．试问甲：(1泥)若通城话时芒间为2小时挪，按氧方案A、B各付熄话费谢多少禾元？(2篇)方案B从50树0分钟眨以后球，每膀分钟桶收费杯多少闭元？(3盗)通话缺时间各在什传么范帖围，膨方案B才会状比方盾案A优惠须？【考向患探寻】利用疲指数居函数雅或幂宅函数佳知识唤解决谅实际惧问题项．【典例脂剖析】(2额01厉3·怀化变模拟)某城且市现则有人萄口总弟数为10益0万人晃，如慰果年配自然胳增长某率为1.愿2%，试砌解答柿以下绝问题切．(1脉)写出州该城乔市人祸口总挤数y(万人)与年猪份x(年)的函脂数关兆系式桑；(2科)计算10年以宝后该腔城市昏人口笔总数(精确渣到0.腐1万人)；(3蒸)计算守大约祝多少降年以胞后，粗该城阔市人碌口将考达到12按0万人(精确镇到1年)．(参考洁数据乎：1.狂01但29≈1.拐11披3,计1.锅01淘210≈1.萍12原7，lg1.宗2≈0.继07醉9，lg2≈0.康30肌1祥0，lg1.唯01惠2≈0.惹00趁5，lg1.线00木9≈0.喜00基3传9)题号分析(1)由归纳法得解析式．(2)根据(1)中解析式求函数值．(3)设出未知数，解指数方程即可.【互动姜探究】在本套例的辰条件冤