专题14情景探究类-备战2022年中考数学压轴题分类（全国通用）（解析版）

专题14情景探究类

一、解答题

1.（2021.吉林省第二实验学校九年级阶段练习）（1）【教材回顾】如图①，点。、E分别是

△ABC的边AB、边AC的中点，连结。E,则。E是AA8C的一条中位线.则OE和的

数量关系是,位置关系是.

（2）【提出问题】如图④，4B是以MN为直径的的一条弦，连结。4、OB,点M在

A8的上方，点N在A8的下方，于尸，NQ于Q,点P、。均在弦A8上.已

知"N=5,ZOAB=30°,求MP-N。的值.为了解决上面的问题，进行了如下的探究，先

看两种特殊情况：

①如图②，当点N与点B重合时，点Q也与点5重合，点尸与点A重合，此时MP=MA,

N0=O（点看成是长度为0的线段），则MP-NQ=.（写出具体的数值）

②如图③，当时，P、。重合，止匕时与0尸的数量关系是—,先根据条

件易求OP的长度，则MP-NQ=—.（写出具体的数值）

（3）【解决问题】结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求MP-N。

的值.

(2)①2.5；@MP-QN=2OP,2.5；

(3)MP-N&25.

【分析】

（1）根据中点定义证明即可;

(2)①MN为直径，得出NMAN=90。，OB=OA,得出NO8A=NOAB=30。，在Rt△例AN中，

MN=5,NMNA=3Q°,MP=MA=；MN=；?52.5,NQ=Q,得出MP-NQ=2.5-0=2.5；

②MN为。。直径，得出OA=OB=OM=ON=-MN=-?52.5,在RtxOAP中N。4P=30。，

22

OA=2.5,得出OP」OA」？2.51.25,QN=ON-OP=2.5-1.25=1.25,

22

MP=OP+OM=1.25+2.5=3.75即可；

(3)连结,延长BO交。。于O,延长A。交G)O于E,过。作OGLAB与G,延长GO

交。。于C,连结。E交MP与〃，交CG于3先证△AOBg^EOO(SAS),再证四边形

HPGL为矩形,PH=LG,根据三角函数OL=OEsinE=2.5x'=6>G=OAsinA=2.5x-=-,

2424

LG=OL+OG=^+:=g=2.5,得出“P=2.5,证明△例0。好△NOB(SAS),和△MDH/^NBQ

(SAS)即可.

【解析】

(1)解：；点。、E分别是A4BC的边48、边AC的中点，

AAD=-AB,AE=-AC

22

•AD-1AE-1

AC"2

.ADAE\

"AB-AC-2'

,/NDAE=NBAC,

：./\DAE^/\BAC,

.DEADAE1/…/c

--NADE=NB,

BCABAC2

：.DE//BC,

DE=-BC,DE//BC,

故答案为。E=gBC；DE//BC-,

(2)①为直径，

，ZMAN=90°,

"：OB=OA,

：.ZOBA=ZOAB=30°,即NMNA=ZOBA=30°,

在R/AMAN中，MN=5,NMNA=30。,

：.MP=MA=；MN=；?52.5,NQ=0,

二例尸-NQ=2.5-0=2.5；

故答案为：2.5；

②为。O直径，

?.OA=OB=OM=ON=^MN=-?52.5,

22

；MNLAB,P、。重合，

：.ZOPA=90°,

在放△OAP中，ZOAP=30°,0A=2.5,

：.OP=-OA--?2.51.25,

22

QN=ON-OP=2.5-1.25=1.25,MP=OP+OM=1.25+2.5=3.75,

MP-QN=3J5-1.25=2.5,MP-QN=2OP,

故答案为：MP-QN=2OP,2.5；

(3)连结,延长80交。。于。，延长AO交。。于E,过O作OG1_AB与G,延长GO

交。O于C,连结OE交MP与H,交CG于L,设点M为上任意一点

在△408和4£0。中,

OA=OE

<ZAOB=ZEOD,

OB=OD

•:△AO跆△£0。(5AS),

/.ZE=ZA=30°,ZODL=ZOBG,

：.DE//AB,

•・・MP_LA8,

：.MP.LDEf

：.ZHPG=ZPHL=90°f

9

：CG.LABt

・・・/OGA=90。，

・・・四边形"PGL为矩形，

:・PH=LG,

1515

<?L=O£sinE=2.5x—=—,OG=OAsinA=2.5x—=—,

2424

:•LG=OL+OG=——=-=2.5,

442

：.HP=2.5,

在△M。。和△NOB中，

OM=ON

</MOD=4NOB,

OD=OB

•••△M。。也△NOB(SAS),

:.DM=BN,NMD0=/NB0,

/ODL=/OBG,

NMDH=NMDO-ZODL=ZNBO-ZOBG=ZQBN,

■:NQ1AB,

：./NQB=90o=NMHD,

在^MDH和^NBQ中,

Z.MDH=/NBQ

:.\/MHD=/NQB,

MD=NB

(SAS),

；・MH=NQ,

：.MP-NQ=MP-MH=HP=25.

【点睛】

本题考查三角形相似判定与性质，直径所对圆周角性质，30。直角三角形性质，锐角三角函

数，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，利用辅助线画出准确图形是解

题关键.

2.(2020•福建省泉州第一中学九年级阶段练习)定义:如图1,△45C是等腰三角形，AB=AC,

点尸为△ABC内一点，若ZABP=NPCB(或NP3C=NACP),则称点P为等腰△ABC的底

角准卡点.

A

⑴如图2,AABC中，若NBAC=90。，AB=AC,连接”，/5P4=90°.

(I)若尸是底角准卡点.求证：ABPCsACPA；

(II)若”:BP=1:2,求证：点尸是底角准卡点.

⑵如图3,点P是等腰AMC底角准卡点，AB=AC.过点A作4)〃8c交BP延长线于点

D,连接8,M是8C的中点，连接PM.求证：NBPM=ZADC.

【答案】(1)(I)证明见解析；(H)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】

(1)(1)由NA3P+N8AP=90。，/。4/>+443=90。得//3尸=/。4^,再由P是底角

准卡点得NC4P=NPCB,从而得出结论；(II)将绕着点A顺时针旋转90。得到

/\ADB,连接P£>,由条件得△APDSAOPB,再得出ZP3C=ZAC/从而得到结论；

(2)延长PM到点N,使得MZV=,得出4BPM迫CNM,再分别找△AB£>APCB,

△ADCs4P,从而得出结论.

(1)

证明：(I)VAB=AC,

：.AABC^ZACB,

；ZABP+ZBAP=90°,ZCAP+ZBAP=90°,

ZABP=ZCAP,

；P是底角准卡点,

:・ZABP=/PCB,/PBC=ZACP

:./CAP=/PCB,

：.ABPCs&CPA.

(II)如图4,ZkAPC绕着点A顺时针旋转90。得到△小«,连接PO,

△”(7绕着点A顺时针旋转90。得到△AQ3,

AAP=AD,NDBA=ZACP.

设AP=a,贝ijAD=a,PD—y/2a»BP—2a,

.APPD

••=,

PDBP

又•:ZAPD=ZDPB=45°,

・・・LAPDsmPB,

：.ZBDP=NDAP=90。,

：.ZDBP=ZABC=45°,

：./DBA=ZPBC,

,:NDBA=ZACP,

:./PBC=ZACP,

・••点P是底角准卡点.

(2)

如下图，延长刊0到点N,使得MN=PM,

・.,M是BC的中点，

•・,在和.CNM中,

MB=MC

/PMB=/NMC

MN=PM

/\BPMg&CNM,

:・PB=CN,ZBPM=ZPNC,APBM=4NCM,

■:AD//BC,

：.ZADB=ZDBC,ZDAC=ZACB,

■:ZABD=ZBCP

：.△ARDs△尸Qj,

.ABAD

••—f

PCBP

.ACAD

•.-=---,

PCCN

■:ADAC=ZACB=ZPCN,

：.AADCs&CNP,

：.NADC=4PNC,

：.ZBPM=ZADC.

【点睛】

本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质和判定以及全等三角形的性质和

判定，熟练运用旋转构造全等三角形是解题的关键.

3.(2022.吉林省第二实验学校九年级开学考试)【操作与发现】

如图①,在正方形ABCD中，点MM分别在边BC、CDL.连接AM、AN、MN.NM4N=45。,

将AAMO绕点A顺时针旋转90。，点。与点B重合，得至UAABE.易证：XANM这XANE,

从而可得：DM+BN=MN.

图①图②图③

(1)【实践探究】在图①条件下，若CN=6,C7W=8,则正方形A8CD的边长是

(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边。C、8c上,连接AM,AN,MN,ZMAN=45°,

若tan/BAN=；,求证：M是CO的中点.

(3)【拓展】如图③，在矩形A8CD中，A8=6,AD=8,点M、N分别在边£>C、8c上，连

接AM、AN,已知/M4N=45。，BN=2,则0M的长是.

【答案】(1)12

(2)见解析

(3)4

【分析】

(1)证明△也△£>!'(S4S),得出MN=EN.证出MN=BN+DM.在RtACMN中,由

勾股定理得出求得BN+DM,设正方形ABC。的边长为X,得出方程，解方程即可求

解；

(2)设BN=x,OM=y,由⑴MN=BN+DM=x+y,由三角函数得出A8=38N=3x,得出

CN=BC-BN=2x,CM=CD-DM=3x-y,在放ACMN中，由勾股定理得出方程：(2x)?+(3x-y)

2=(x+y)2,整理得：3x=2y,得出CM=2y-y=y,得出DM=CM,即可得出结论；

(3)延长A5至P,使BP=BN=2,过户作5C的平行线交。。的延长线于Q,延长4V交

PQ于E,连接EM,则四边形AP。。是正方形，同样的方法在m△QEM中，由勾股定理得

出方程，解方程即可.

(1)

解：:四边形A8CQ是正方形，

：.AB=CD=ADfZBAD=ZC=ZD=90°,

由旋转得：△ABEgAAOM,

：.BE=DMfZABE=ZD=90°fAE=AM,NBAE=NDAM,

/.NBAE+NBAM=NDAM+NBAM=NBAD=90°,

EPZEAM=90°,

ZMAN=45°f

・•・ZEAN=90°-45°=45°f

:・/MAN=/EAN,

AM=AE

在△AMN和中，|/M4N=NEAN,

AN=AN

:•△AMN9/\AEN(SAS),

：.MN=EN,

'/EN=BE+BN=DM+BN,

:・MN=BN+DM.

在RdCMN中，MN=JCN?+CM2=7?7F=IO,

则BN+DM=10,

设正方形ABC。的边长为x,则BN=BC-CN=*6,DM=CD-CM=x-8f

；.x-6+x-8=10,

解得：x=12,

即正方形ABC。的边长是12：

故答案为：12；

(2)

证明：设BN=x,DM=y,

由(1)得：MN=BN+DM=x+y,

VZB=90°,tanZBAN=-,

3

tanZBAN=,

AB3

：.AB=3BN=3xt

・・・CN=BC-BN=2x,CM=CD-DM=3x-y,

在RfACMN中,由勾股定理得：(2x)2+(3x-y)2=(x+y)2,

整理得：3m2y,

/.CM=2y-y=y,

：.DM=CM,

即M是CO的中点；

(3)

解：延长AB至P,使BP=BN=2,过P作的平行线交。。的延长线于Q,延长AN交尸。

于E,连接EM,如图③所示：

图③

则四边形AP。。是正方形，

/.PQ=DQ=AP=AB+BP=S,

设则MQ=8・x,

,:PQ〃BC,

：.△ABNsAAPE,

,BNAB_6_3

"PE-AP_8-4?

・48

:・PE=-BN=-,

33

，EQ=PQ-PE=8-|若，

Q

由（1）得：EM=PE+DM^-+x,

在R/AQEM中，由勾股定理得：（g）2+（8-x）2=（|+x）2

解得：x=4,

即。M的长是4；

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义、相似三角

形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和由勾股定理得出方

程是解题的关键.

4.(2021•甘肃兰州•中考真题)已知正方形438,E,F为平面内两点.

【探究建模】

(1)如图1,当点E在边A8上时，DELDF，且8,C,尸三点共线.求证：AE=CF；

【类比应用】

(2)如图2,当点E在正方形ABC。外部时，DELDF，AEVEF,且E,C,尸三点共

线.猜想并证明线段AE,CE,OE之间的数量关系；

【拓展迁移】

(3)如图3,当点E在正方形ABC。外部时，AE±EC,AE±AF,DEYBE,且。，F,

E三点共线，£>E与AB交于G点.若DF=3,AE=y/2,求CE的长.

【答案】(1)见解析；(2)AE+CE=s/2DE;理由见解析(3)40

【分析】

(1)根据正方形性质以及题意证明VADEWCD尸即可得出结论；

(2)根据已知条件证明AA£>E"ACDF(A4S),然后证明△£»/为等腰直角三角形即可得出

结论；

(3)先证明ABAE当AD4F(A4S),得出为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直

角三角形的性质求出的长度，即可得出结论.

【解析】

解：(1)•・•四边形A3CQ是正方形，B,C,尸三点共线,

DC=DA/DAE=/DCF=90。,

■:DE工DF,

：.ZADC=ZEDF=90°,

・•・ZADE=4CDF,

在△ADE和中，

ZDAE=ZDCF

<DA=DC,

ZADE=ZCDF

：.AADE^CDF(ASA),

:.AE=CF\

(2)•；DELDF,四边形ABC。是正方形，

・・・ZADC=AEDF=90\AD=CD,

：.ZADE=4CDF,

VAE±EFfDE工DF,

：.ZDEF+NF=9QO,ZAED+NDEF=90。,

:.ZAED=NF,

在△的)£和△(?"中，

NADE=/CDF

、AAED=NF,

AD=CD

：.^ADE^CDF(AAS),

:.DE=DF,AE=CF,

・・・△£»尸为等腰直角三角形，

EF=>12DE,

BpAE+CE=42DE;

(3)过点。作于点H,连接瓦),

ZDFA=ZFAE+ZFEA=90°+ZFEA1

*.•ZAEB=ZFEA+ZDEB=90°+ZFEAf

：.ZAEB=ZDFA,

*.•ZBAE=90°-ZE4B,ZZMF=90°-Z/;TW,

:.ZBAE=ZDAF,

在zyBAE和△»声中,

ZBAE=ZDAF

<ZBEA=ZDFA,

BA=DA

.・.ABAE^DAF(AAS),

***DF=BE=3,FA=EA=>/2

*.*AE=FA=y/2&FA±AE,

为等腰直角三角形，

EF=>f2xyf2=2,

在中，DE=3+2=5,BE=3,

•*-Q8=后+32=后,

•・♦80是正方ABC。对角线,

4)=8=需=后,

:/FE4=45°

，Z£>£C=45°,

为等腰直角三角形，

DH=EH

2

...在Rt^DHC中,CH=y/DC2-DH2=1,

CE=CH+EH=~>/2+->/2=4>f2.

22

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性

质，熟知性质定理是解本题的关键.

5.（2021•江苏淮安・中考真题）【知识再现】

学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.

【简单应用】

如图（1）,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点£）、E分别在边AC、4B上.若CE=

BD,则线段AE和线段4。的数量关系是.

【拓展延伸】

在AABC中，ZBAC=a（90°<«<180°）,A8=AC=〃?，点。在边AC上.

（1）若点E在边AB上，且CE=B£>,如图（2）所示，则线段AE与线段AO相等吗？如

果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.

(2)若点E在84的延长线上，且CE=BO.试探究线段AE与线段的数量关系(用含

有。、，*的式子表示)，并说明理由.

【答案H简单应用】AE=AD；【拓展延伸】(1)相等，证明见解析；(2)AE-AO=2AC・cos

(180°-a),理由见解析

【分析】

简单应用：证明放△A8力会用△ACE("乙)，可得结论.

拓展延伸：(1)结论：AE=AD.如图(2)中，过点C作交BA的延长线于M,

过点N作BNLCA交CA的延长线于N.证明△CAM四△BAN(A4S),推出CM=BN,AM

=AN,证明/?/△CME学Rt4BND(HL),推出EM=DN,可得结论.

(2)如图(3)中，结论：AE-AD=2m>cos(180°-«).在AB上取一点E,使得BD=

CE',则AL>=A£.过点C作CTLAE于7.证明TE=7F,求出AT,可得结论.

【解析】

简单应用：解：如图(1)中，结论：AE=AD.

图⑴

理由：VZA=ZA=90°,AB=AC,BD=CE,

:.Rt^ABD迫RtAACE(HL),

：.AD=AE.

故答案为：AE=AD.

拓展延伸:(1)结论：AE=AD.

图⑵

理由：如图(2)中，过点。作CM，刚交区4的延长线于M,过点N作3NLCA交CA的

延长线于N.

•・・NM=NN=90。，4CAM=/BAN,CA=BAf

：./\CAM^/\BAN(AAS),

:,CM=BN,AM=AM

・・・NM=NN=90。，CE=BD,CM=BN,

.,./?/△CME*RmBND(HL),

:・EM=DN,

・・FM=AN,

：.AE=AD.

(2)如图(3)中，结论：A£-AD=2wcos(180°-a).

图⑶

理由：在48上取一点E,使得BD=CE,则AO=AE.过点C作CTLAE于T.

"：CE=BD,CE=BD,

：・CE=CE,

VCTVEE,

：.ET=TE',

,：AT=AC'cos(180°-«)=wcos(180°-a),

：.AE-AD=AE-AE'=2AT=2，％cos(180°-«).

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，

解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.

6.(2021•江苏镇江•中考真题)如图1,NA=NB=NC=ND=NE=NF=90。,AB,FE,

0c为铅直方向的边，AF,ED,BC为水平方向的边，点E在AB,8之间，且在4凡BC

之间，我们称这样的图形为乜图形“，记作乜图形ABC-OE尸若直线将L图形分成面积

相等的两个图形，则称这样的直线为该心图形的面积平分线.

【活动】

小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案:如图2,将这个人图形分成矩形AGEF、

矩形G8CD,这两个矩形的对称中心。7,。2所在直线是该心图形的面积平分线.请用无刻

度的直尺在图1中作出其他的面积平分线.(作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹)

【思考】

如图3,直线0/。2是小华作的面积平分线，它与边8C,AF分别交于点M,N,过的中

点。的直线分别交边BC,AF于点尸，Q,直线PQ(填“是”或“不是")L图形ABCCEF

的面积平分线.

图3图4

【应用】

在L图形A8CCEF形中，已知AB=4,BC=6.

(1)如图4,CD=AF=1.

①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P,Q,求PQ长的最大值；

②该L图形的面积平分线与边A8,CO分别相交于点G,H,当GH的长取最小值时，BG

的长为—.

(2)设qCD=r(f>0),在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边

AF

AB,CO相交的面积平分线，直接写出，的取值范围—.

【答案】【活动】见解析；【思考】是；【应用】(1)①加；②=；(2)4<r<<

433

【分析】

［活动］如图1,根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心。，02所在

直线是该L图形的面积平分线；

［思考］如图2,证明△OQN丝△0PM(A4S),根据割补法可得直线PQ是L图形ABCDEF

的面积平分线；

［应用］

(1)①建立平面直角坐标系，分两种情况：如图3-1和3-2,根据中点坐标公式和待定

系数法可得面积平分线的解析式，并计算P和。的坐标，利用两点的距离公式可得PQ的

长，并比较大小可得结论；

②当时，G”最小，设8G=x，根据面积相等列方程，解出即可;

(2)如图5,由已知得：CD=tAF,直线OE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于

下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边A8,C。相

交的面积平分线，列不等式可得，的取值.

【解析】

图1

【思考】

如图2,；/A=NB=90。,

J.AF//BC,

：.ZNQO=ZMPO,

••,点。是MN的中点，

：.ON=OM,

在4。。'和4OPM中,

Z.NQO=NMPO

■ZNOQ=NMOP,

ON=OW

：./\OQN^/\OPM(A4S),

A5AOQN=SAOPM,

,：Sfr,KABMN=SMNFEDC,

：.S^ABMN-SAOPM=SMNFEDC-SAOQN,

即SABPON=SCDEFQOM,

:.SABP0N+S4OQN=SCDEFQOM+S^OPM,

即SMiABPQ=SCDEFQP,

，直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线.

故答案为：是；

【应用】

(1)①如图3,当P与B重合时，PQ最大，过点Q作QHJ_BC于H,

L图形ABCDEF的面积=4x6-(4-1)x(6-1)=9,

VPQ是L图形ABCDEF的面积平分线，

19

・・・梯形CDQP的面积=：x(DQ+BC)xCD=-,

22

19

即4(DQ+6)xl=-,

ADQ=CH=3,

APH=6-3=3,

VQH=CD=1,

由勾股定理得：PQ=732+I2=VIO：

；.PQ长的最大值为加；

②如图4,当GH_LA8时GH最短，过点E作于M,

图4

设BG=x,则MG=l-x,

根据上下两部分面积相等可知，6x=(4-1)xl+(1-x)x6,

33

解得户“即BG="

3

故答案为：-

(2)V—(f>0),

AF

：.CD=tAF,

在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB,CO相交的面积平分线,

如图5,直线。E将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与

铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB,CO相交的面积平分线,

图5

即(4-/A尸)MF<6MF,

4,

・♦.AF>一一6,

t

V0<AF<6,

4

，0V--6V6,

t

.12

・・一<1<一.

33

故答案为：^]<r<2|.

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分,

三角形全等的性质和判定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积平分线的

画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键.

7.(2021・山东枣庄.中考真题)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABC。是垂

美四边形吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图1,垂美四边形ABC。的对角线AC,30交于点0.猜想：AB2+CD2

与有什么关系？并证明你的猜想.

⑶解决问题：如图3,分别以的直角边AC和斜边A3为边向外作正方形ACFG

和正方形连结CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

【答案】（1）四边形ABC。是垂美四边形，理由见解析；（2）AB2+CD2AD2+BC2,证

明见解析；（3）GE=J万.

【分析】

（1）连接AC8。，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线AC是线段80的垂直平分

线，再根据垂美四边形的定义即可得证；

（2）先根据垂美四边形的定义可得ACL8Z）,再利用勾股定理解答即可；

（3）设CE分别交AB于点交BG于点N,连接BE,CG,先证明△G43三△C4E,得

到NABG=NAEC,再根据角的和差可证4M0=90。，即,从而可得四边形CGEB

是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得.

【解析】

证明：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：

如图，连接ACBO,

'/AB=AD,

...点A在线段BD的垂直平分线上,

•••CB=CD,

点C在线段8。的垂直平分线上,

，直线AC是线段80的垂直平分线，即AC_LB。，

二四边形ABCD是垂美四边形；

（2）^AB-+CD-=AD2+BC-,证明如下：

•••四边形ABCD是垂美四边形，

ACLBD,

：.ZAOD=ZAOB=NBOC=NCOD=90°,

由勾股定理得：AD2+BC2=Ofic+OCT+OB-+OC2,

AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,

AB2+CD2AD2+BC2;

（3）如图，设CE分别交AB于点M,交BG于点、N,连接8瓦CG,

四边形ACFG和四边形ABE应都是正方形，

ZCAG=ZBAE=90°,AG=AC,AB=AE,

：.NC4G+ABAC=NBAE+ABAC,即ZGAB=ZCAE,

AG=AC

在△GAB和VC4£中，，NGAB=NCAE,

AB=AE

：.△GAB^AC4E（5A5）,

ZABG=ZAEC,

又：ZAEC+ZAME=90°,ZAME=ZBMN,

ZABG+NBMN=90°,

：.ZBNM=90°,即CEJLBG,

...四边形CG//是垂美四边形，

由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2,

：A8是的斜边，且AC=4,AB=5,

22

：.BC~=AB-AC=9,AG=AC=4yAE=AB=5,

在R/AACG中，CG2=AC2+AG2=32,

在R/AAJBE中，BE2=AB2+AE2=50,

9+GE?=32+50,

解得GE=J万或GE=->/万（不符题意，舍去），

故GE的长为/万.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定

理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键.

8.（2021•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相

等时往往可以通过旋转解决问题.

(1)尝试解决：如图①，在等腰及AABC中，N8AC=900,AB=AC,点M是BC上的一点，

BM=\cm,CM=2cm,将.ABM绕点A旋转后得到AAGV,连接MN,则AM=

cm.

(2)类比探究：如图②，在“筝形”四边形A8C。中，A8=AD=a,CB=8,ABJ.BC于点

B,ACCD于点。，点P、Q分别是A3、4)上的点，且NPCB+NQCD=NPCQ,求“PQ

的周长.(结果用。表示)

(3)拓展应用：如图③，已知四边形ABC。，

AD=CD,ZADC=60°,ZABC=75°,AB=2y/2,BC=2,求四边形ABCD的面积.

【答案】(1)巫；(2)2a；(3)56-2

2

【分析】

(1)由旋转的性质可得△ABMgZ\ACN,从而得出/MCN=NAC8+/ACN=90。，再根据勾

股得出AM的长；

(2)将ABCP绕点C旋转后得到ADCM,利用SAS得出△QCPWCM,从而得出“尸。

的周长

(3)连接BD,由于4氏CO,所以可将△BCO绕点。顺时针方向旋转60。，得到△D4B，，

连接BB，，延长8A,作B'ELBE；易证△是等腰直角三角形，A4E8是等腰直角三角

形，利用勾股定理计算AE=QE=应，BB'=2y/5,求△AB9和△BC夕的面积和即可.

【解析】

(1)VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZB=ZACB=45°,

将AABM绕点A旋转后得到"av,此时A8与AC重合，由旋转可得：

△ABM2AACN,

：.ZBAM=ZCAN,AM=AN,BM=CN=1,ZB=ZACN=45°,

：.NMCN=ZACB+ZACN=90°,/M4N=/ABC=90°,

MN=y/CM2+CN2=+产=75

AM=AN=—x>j5=—;

22

(2)VAD1.CD,CB=CD,AB上BC,

/.将ABCP绕点C旋转后得到△OCM,此时BC与£>C重合，

：./\BCP^/\DCM,

:.NDCM=4PCB,BP=DM,PC=CM,

,：ZPCB+NQCD=ZPCQ,

ZDCM+NQCD=NPCQ,

NQCM=ZPCQ,

,:PC=CM,QC=QC,

：./\QCP^^QCM,

：.PQ=QM,

：.AAPQ的周长=AQ+AP+PQ=AQ+AP+QM=AQ+AP+DQ+DM^AQ+AP+DQ+BP=AD+AB,

:AB=AD=a,

^APQ的周长二2”；

(3)如图，连接BD,由于AO=CQ,所以可将4绕点。顺时针方向旋转60。,得到△DAB',

连接BB，，延长氏4,作夕E_LBE；

AD=CD

"NCDB=NADB'

BD=B'D

**•S两边形ABCD=S四边形BDBA,

Q

VZABC=75fZADC=60°,

・・・NA4£=135。

ZBrAE=45°,

,:BA=BC=2

:.B，E=AE=4i,

BE=AB+AE=2历+⑪=3五，

BB=何+(3旬，=2小

•.•等边△。班r,上的高==2五x*=A，

.S.=-ABBE=-x2s/2xy/2=2

hA4BB22

・・・S\BDB=-X2-75XVL5=573,

2

•**S四边企ABCD二S四边形BDB，A=S△BDB-S^ABB=—5>/3—2；

【点^肯】

本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等.构造直

角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键.

9.(2021.内蒙古赤峰.中考真题)数学课上，有这样一道探究题.

如图，已知中，AB=AC=m,BC=n,/BAC=c(0°<a<18()°),点P为平面内不与点

A、C重合的任意一点，将线段CP绕点尸顺时针旋转m得线段P£),E、尸分别是C3、CD

的中点，设直线AP与直线E尸相交所成的较小角为人探究笠的值和夕的度数与〃?、〃、

AP

a的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1)填空：

【问题发现】

小明研究了a=60。时，如图1,求出了•；；；；=____________,尸=_____________：

PA

EF

小红研究了a=90。时，如图2,求出了==,B=

【类比探究】

他们又共同研究了a=120。时，如图3,也求出了一；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律：景=_________（用含〃?、〃的式子表示）；B=

PA

（用含Q的式子表示）.

（2）求出a=120。时理的值和夕的度数.

【答案】（1）【问题发现】；，60°；变，45。；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】

22

a,曾匕⑵3，30。

2m22

【分析】

（1）当。=60。时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACPsgCF,从而有空=L

AP2

NQ=0=NACB=60。；当。=90。时，△ABC和△POC都是等腰直角三角形，同理可证

△ACP^^ECF即可解决，依此可得出规律：

（2）当。=120°,可证式=立，空=且，从而有竽=?,由NEC~=NACP,可得

AC2CP2CFCP

△即可解决问题.

【解析】

（1）【问题发现】如图1,连接AE,PF,延长EEAP交于点Q,

当a=60。时，△ABC和△PDC都是等边三角形，

AZPCD=ZACB=60°,PC=CD,AC=CBt

•・,尸、E分别是C。、8C的中点，

.CF=J_CE_1

^~PC~2fAC-2J

.CFCE

-------=-----，

PCAC

又：NACP=NECF,

AACP^A£CF,

EF1

----=—,NCEF=/CAP,

AP2

・・・N0=P=NACB=6O。，

当a=90。时，△ABC和△P。。都是等腰直角三角形,

如图2,连接AE,PF,延长七/、4P交于点Q,

ZPCD=ZACB=45°,PC=—CD,AC=—CB

22f

・・・F、E分别是C。、3c的中点，

・CE-1CF-1

••就一行正一至'

.CFCE

••=,

PCAC

又・・・/ACP=/ECF,

J△ACPS/\EC尸，

NCEF=NCAP,

AP屈2

.,.NQ=P=NACB=45。，

【归纳总结】

由此，可归纳出EF_CE_5_n,/7=NACB=180°W；

———2

APACin2nt

(2)当。=120。，连接4EPF,延长ERAP交于点。，

•：AB=AC9E为8C的中点,

：.AE±BC,ZCAE=60°

..CE

..sinA6n0o°==—,

AC2

同理可得：生=走，

CP2

.CECF

•.---=---,

ACCP

.CECA

••---——,

CFCP

又•：4ECF=ZACPf

：./\PCA^/\FCEf

.•."=丝=且，ZCEF^ZCAP,

APAC2

.•.NQ=/?=NACB=30。.

【点睛】

本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的

方法不变，体会"变中不变’’的思想.

Ar

10.（2021.湖北襄阳•中考真题）在A45C中，NAC8=90。，—=w,。是边8c上一点，

BC

将△ABD沿AD折叠得到^AED,连接BE.

（1）特例发现：如图1,当m=l,4E落在直线AC上时，

①求证：ZDAC=ZEBC；

CD

②填空：的值为______；

CE

（2）类比探究:如图2,当mwl,AE与边3c相交时，在AO上取一点G,使NACG=NBCE,

CG交AE于点”.探究史的值（用含，〃的式子表示），并写出探究过程：

CE

（3）拓展运用：在（2）的条件下，当加=也，。是8c的中点时，若EBEH=6,求CG

2

的长.

【答案】（1）①见解析；②1；（2）洋=，"，见解析；（3）CG=42

CE

【分析】

CD

（1）①根据折叠性质证明即可；②当加=1,证明AAC丝ABCE,即可得出名的值；

。CE

（2）延长AQ交BE于点F,根据折叠性质证明△ACGS/XBCE,即可得出结论；

（3）由（2）可知型=空="="，设CG=x，则AG=5/IX，CE=3X，BE=2X,

BECEBC2

可得AAG“会△£CH,再由勾股定理列方程求解即可.

【解析】

解：（1）①证明：延长交BE于点尸.

由折叠得ZAFB=90°=ZACB.

：.ADAC+ZADC=ZBDF+NEBC=90°.

ZADC=NBDF,

：.ADAC=ZEBC.

AT

②当机=1,即=1时，

BC

可知AG8C

在△ACO和中,

ADAC=ZEBC

ZACD=ZBCE=90Q,

AC=BC

••△/4CD=△BC石（AAkS%

:・CD=CE,

故答案为：1；

⑵解：落.

理由：延长A0交盛于点尸，

由折叠得ZA九8=90。=ZAC8.

，ZADC+ZDAC=ZBDF+NCBE=90°,

•:ZADC=ZBDFf

：./DAC=/CBE,

■:ZACG=/BCE,

・•・AACG^ABCE,

.CGAC

••---=----=Hl.

CEBC

(3)解：由折叠得NAfB=90。，BF=FE,

'/。是BC的中点，

:.DF//CE,

JZ.BEC=ZBFD=90°，ZAGC=NECG,/GAH=4CEA，

由(2)知△ACGSZXBCE,

/.ZAGC=ZBEC=90°,

AGCGAC