矩形菱形正方形

玩转贵阳10年中考真题考点特训营中考试题中的核心素养矩形相关的证明与计算（结合图形的折叠和动态问题进行考查）玩转贵阳10年中考真题

命题点1基础训练1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为(

)A.7B.C.8D.第1题图B2.如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，∠ABD＝60°，延长BC到E使CE＝BD，连接AE，则∠AEB的度数为(

)A.15°B.20°C.30°D.60°3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF.将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF，连接GH.若AG，CH分别平分∠EAD和∠FCB，则GH长为(

)A.3B.4C.5D.7第2题图第3题图AB4.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF.(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4.求CG的长．第4题图4.(1)证明：∵F为BE中点，AF＝BF，∴AF＝BF＝EF，∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF，在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°，∴∠BAF＋∠FAE＝90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形；第4题解图(2)解：如解图，连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，∵F为BE的中点，FG⊥BE，∴BG＝GE，∵S△BFG＝5，CD＝4，∴S△BGE＝10＝

BG·EH，∴BG＝GE＝5，在Rt△EGH中，GH＝＝3，在Rt△BEH中，BE＝＝BC，∴CG＝BC－BG＝4－5.菱形的相关证明与计算（10年6考，近6年仅2016年未考，在解答题中考查时会涉及三角形全等）

命题点25.(2019贵阳4题3分)如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是(

)A.1cm

B.2cm

C.3cm

D.4cm第5题图A6.(2018贵阳5题3分)如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为(

)A.24B.18C.12D.9第6题图A7.(2014贵阳18题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，CD.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．第7题图7.(1)证明：根据题意，△ADE≌△CFE，∴AE＝CE，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，(2分)∵∠ACB＝90°，点D是AB中点，∴CD＝AD，∴四边形ADCF是菱形．(5分)(2)解：在Rt△ACB中，AB＝＝10，∴AD＝

AB＝5，(6分)∵四边形ADCF是菱形，∴AF＝CF＝DC＝AD＝5，(8分)∴AB＋BC＋CF＋FA＝10＋8＋5＋5＝28.∴四边形ABCF的周长是28.(10分)8.(2013贵阳20题10分)已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．第8题图8.(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABD＝∠CBD，AB＝CB.(2分)∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝EC；(5分)(2)解：点F位于BC的中点．理由如下：由(1)知△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE，∵∠ABC＝∠CEF＝60°，∴△CEF∽△ABF，(6分)∴∠CFE＝∠AFB＝

×180°＝90°，即EF⊥BC.又∵∠EBC＝

×60°＝30°，∠ECB＝90°－∠CEF＝30°，∴∠EBC＝∠ECB＝30°，(8分)∴△CEB为等腰三角形，又∵EF⊥BC，∴点F为BC的中点．(10分)9.(2015贵阳18题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB.(1)证明：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高(计算结果保留根号)．第9题图9.(1)证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝

AB，(2分)∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE为平行四边形．(4分)又∵CD＝AD，∴四边形ADCE为菱形；(5分)(2)解：如解图，过点D作DH⊥AE于点H，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD为等边三角形．(7分)∵BC＝6，∴AD＝CD＝BC＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°.∵四边形ADCE是菱形，∴∠DAH＝2∠BAC＝2×30°＝60°，(9分)∴∠ADH＝30°.第9题解图在Rt△ADH中，AD＝6，∴AH＝

AD＝

×6＝3，∴DH＝∴菱形ADCE的高为.(10分)10.(2017贵阳18题10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边BC、AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．第10题图10.(1)证明：∵在△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AC＝2DE，DE∥AC，∵EF＝2DE，∴AC＝EF，又∵DE∥AC，即EF∥AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE；(5分)(2)解：当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．理由如下：∵点E是Rt△ABC斜边AB的中点，∴AE＝CE＝BE＝

AB，∵∠B＝30°，∴∠BCE＝30°，∴∠ACE＝60°，∵AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴AC＝CE，由(1)知四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．(10分)拓展训练11.如图，在菱形ABCD中，点E为BC的中点，∠ACD＝60°，AE＝cm，则BC的长为(

)A.cmB.1cmC.2cmD.2cm第11题图C12.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．第12题图12.(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE.∴△AFE≌△DBE(AAS)．∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC；∠AFE＝∠DBE∠FAE＝∠BDE

，AE＝DE在△AFE和△DBE中，(2)解：四边形ADCF是菱形；证明：∵AF＝DC，AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵AD是BC边上的中线，∴AD＝

BC＝DC.∴四边形ADCF是菱形．13.(2017贵阳10题3分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠DCB＝90°，且BC＝2AD.以AB，BC，DC为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3.若S1＝3，S3＝9，则S2的值为(

)A.12B.18C.24D.48正方形的相关证明与计算（10年5考，在解答题中考查会涉及三角形全等）

命题点3第13题图D14.(2012贵阳21题10分)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．(1)求证：CE＝CF；(2)若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．第14题图14.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD.(1分)∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，(3分)∴BE＝DF，∵BC＝CD，∵BC－BE＝DC－DF，∴CE＝CF；(5分)(2)解：在Rt△EFC中，CE＝EF·sin∠CFE＝2×sin45°＝.(6分)设正方形ABCD的边长为x，则在Rt△ABE中，x2＋(x－)2＝22，(8分)解得x1＝

，x2＝(舍去)，(9分)∴正方形ABCD的周长为4×.(10分)拓展训练15．如图，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成▱KLMN，若中间的四边形OPQR恰好是正方形，且▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为________．第15题图25【对接教材】九上第一章P1－P29.

考点特训营矩形、菱形、正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系矩形性质判定面积菱形性质判定面积正方形性质判定面积考点精讲直角相等且互相平分2直角相等3具有平行四边形的所有性质边：对边平行且相等角：四个角都是_________对角线：对角线________________

对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有______条对称轴矩形性质判定有一个角是_________的平行四边形是矩形（定义）对角线_________的平行四边形是矩形有_________个角是直角的四边形是矩形面积：S＝ab（a，b分别为矩形的长和宽）返回思维导图具有平行四边形的所有性质边：四条边都相等对角线：对角线_______________，每条对角线平分一组对角对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有____条对称轴菱形性质判定有一组邻边_________的平行四边形是菱形（定义）对角线_________的平行四边形是菱形四条边都_________四边形是菱形面积：S＝，m，n分别为两条对角线的长，a为菱形的边长，h为菱形任意一边的高若已知m、n、a、h中任意三个可以用等面积法求出另一个）互相垂直且平分2相等互相垂直相等返回思维导图既有矩形的性质，又有菱形的性质边：四条边都相等角：四个角都是___________对角线：对角线互相________且相等，每条对角线_____一组对角对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有____条对称轴正方形性质判定有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形（定义）有一组邻边相等的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形面积：S＝，（a为正方形的边长，l为对角线的长）直角垂直平分平分4返回思维导图平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系【温馨提示】对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线,垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形.直角相等相等直角返回思维导图重难点突破一、矩形的相关证明与计算例1题图①例1已知，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.(1)如图①，添加一个条件_____________________________，可以使平行四边形ABCD为矩形；【判定依据】______________________________；(2)如图①，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，则∠ABC＝________度，BD＝________；AC＝BD或AO＝BO或DO＝CO对角线相等的平行四边形为矩形905(3)如图②，四边形ABCD为矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接OE，交BC于点G.①若∠BED＝60°，∠OGC＝________度；例1题图②120【解法提示】∵BE＝BD，∠BED＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵O为BD的中点，∴OE⊥BD，∵BC⊥DE，∴BC平分∠DBE，∴∠DBC＝30°，∴∠OBG＝30°，∴∠BGO＝60°，∴∠OGC＝120°.②取BE的中点F，连接OF，证明：OF⊥BC；③若AB＝6，BE＝10，求OE的长．②证明：∵点O、F分别为BD、BE的中点，∴OF为△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥DE，∴OF⊥BC；③解：如解图，过点O作OP⊥CD于点P，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AC＝BD，∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BE＝BC，例1题解图∴BE＝AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵BE＝BD＝10，∴CD＝CE＝6，同理，可得CP＝DP＝

CD＝3，∴EP＝9，在Rt△BCE中，由勾股定理可得：BC＝＝8，∵OB＝OD，∴OP为△BCD的中位线，∴OP＝

BC＝4，∵OP⊥CD，∴在Rt△OPE中，OE＝二、菱形的相关证明与计算例2

(1)如图①，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.添加一个条件________，可以使平行四边形ABCD为菱形；【判定依据】_________________________________．例2题图①AC⊥BD对角线互相垂直的平行四边形为菱形(2)如图②，菱形ABCD中，

H为BC上一点，连接OH，若AC＝16，BD＝12.①BC＝________，菱形ABCD的面积是________；例2题图②【解法提示】∵AC＝16，BD＝12，∴OB＝6，OC＝8，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，∴BC＝10.S＝

AC×BD＝96.